據結構與算法(十) AVL樹

平衡二叉樹來源

二叉搜索樹的複雜度分析

和高度有關

O(h) = O(logn)

最壞複雜度是從小到大添加節點 （和鏈表差很少）

O(h) = O(n)

如何二叉搜索樹退化成鏈表？？

讓添加刪除搜索的複雜度維持在logn

平衡（Balance）

當節點固定時，左右字數高度就越接近，這可二叉樹就越平衡

理想平衡

最理想的平衡，例如 徹底二叉樹，滿二叉樹

如何改進二叉搜索樹

由於沒法改變添加刪除順序（用戶操做決定），因此在每次操做以後，讓二叉樹達到平衡狀態。

• 用最少的調整次數達到適度的平衡既可。

平衡二叉搜索樹(Balanced Binary Search Tree)

簡稱BBST

常見的平衡二叉搜索樹有

• AVL樹
  • Windows NT內核中管飯使用
• 紅黑樹
  • C++ STL(map set)
  • Java中的TreeMap、TreeSet、HashMap、HashSet
  • Linux 的進程調度
  • Ngix的timer

通常稱他們爲：自平衡的二叉搜索樹(Self-Balance Binary Search Tree)

AVL樹

介紹：

最先發明的自平衡二叉樹之一

取名爲G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis（來自蘇聯的科學家） 兩我的的名字稱呼

平衡因子：某節點的左右子樹高度差

特色：

• 每一個節點的左右高度差不超過1
• 搜索、添加、刪除的時間複雜度爲O(logn)

LL- 右旋轉（單旋）

• 注意維護T三、二、3的 parent的屬性

• 以及更新二、3的高度

RR-左旋轉

• 注意維護T三、三、4的 parent的屬性

• 以及更新三、4的高度

LR-RR左旋轉,LL右旋轉(雙旋)

• 首先對 LR的進行中的2 進行 RR左旋轉

• 對旋轉後對3進行LL右旋轉

  參考上方LL右旋轉

RL-LL右旋轉,RR左旋轉(雙旋)

• 參考上方LR-RR左旋轉,LL右旋轉(雙旋)。方法便是LR的對稱

刪除致使失衡

• 只可能致使父節點或者祖先節點（只有一個）失衡（緣由是由於 失衡因子= 子節點相減）

LL\RR\LR\RL狀況：

• 極端狀況 全部的祖先節點都會失衡 共（logn）次調整

解決方式：

在刪除後進行平衡操做

刪除

讓父節點恢復失衡後，可能致使更高節點的祖先接點失衡(最多須要log(n)次調整)

添加：

添加會致使全部祖先節點都失衡

處理：只要讓最低失衡節點回復平衡，整棵樹就回復平衡(O(n))

解決方式：

添加後進行平衡操做

時間複雜度

搜索：平均時間複雜度O(logn)

添加：平均時間複雜度O(logn) O(1)次旋轉

刪除：平均時間複雜度O(logn) O(logn)次旋轉

平衡代碼：

private void rebalance(Node<E> grand) {
  // 獲取子節點最高的節點
  Node<E> parent = ((AVLNode<E>)grand).tallChild();
  // 獲取子節點的子節點中最高的節點
  Node<E> node = ((AVLNode<E>)parent).tallChild();
  // 判斷旋轉狀況
  if (parent.isLeftChild() ) { //L
    if (node.isLeftChild()) { //LL
      rotateRight(grand);
    }else { //LR
      rotateLeft(parent);
      rotateRight(grand);
    }
  }else { //R
    if (node.isLeftChild()) { //RL
      rotateRight(parent);
      rotateLeft(grand);
    }else { //RR
      rotateLeft(grand);
    }
  }
}

// RR 右旋轉
private void rotateLeft(Node<E> grand) {
  Node<E> parent = grand.right;
  Node<E> child = parent.left;
  grand.right = child;
  parent.left = grand;

  afterRotate(grand, parent, child);
}
// LL 左旋轉
private void rotateRight(Node<E> grand) {

  Node<E> parent = grand.left;
  Node<E> child = parent.right;

  grand.left = child;
  parent.right = grand;
  afterRotate(grand, parent, child);

}
// 旋轉後更新操做(更新parent節點)，更新高度等；
private void afterRotate(Node<E> grand,Node<E> parent, Node<E> child) {
  parent.parent = grand.parent;

  if (grand.isLeftChild()) {
    grand.parent.left = parent;	
  }else if (grand.isRightChild()){
    grand.parent.right = parent;
  }else {
    root = parent;
  }
  if (child != null) {
    child.parent = grand;
  }
  grand.parent = parent;

  updateHeight(grand);
  updateHeight(parent);
}
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