遞歸調用在循環體內: 把循環展開, 這種狀況是先循環再遞歸

整理自陳莉君（翻譯深刻理解Linux內核的做者）老師文章。

阿里2015筆試中有這樣一道題目：

在一臺主流配置的PC上，調用f(35)所須要的時間大概是（ ）。

int f(int x){

int s = 0;

while(x++ >0) s+= f(x);

return max(s,1);

}

A．幾毫秒 B．幾秒 C．幾分鐘 D．幾小時

本題涉及到的知識點包括數據的表示和運算、時間複雜度。考查考生對帶符號整數的表示、遞歸調用的執行過程、計算機系統性能、虛擬存儲器、C語言語句等相關知識的理解和運用能力。

數學上的分析推導結果與計算機系統中的執行結果是有差別的。例如，在數學中一個數能夠無限大，但在計算機中受表示位數的限制，數的值是有限的。用數學分析的方法，本題的遞歸是能夠終止的，但受存儲容量的限制，在計算機中遞歸調用時會有棧溢出的問題，致使程序不能正常執行結束。相似的問題還有不少，這是平時編程時須要注意的。

假設題目中的函數用C語言書寫，要分析調用f(35)所需的時間，就得分析代碼執行中循環執行次數和遞歸調用次數等，下面深刻剖析f(35)執行過程當中存在的問題。

注意：如下231爲2的31次方。

（1）程序是否會終止？

調用f(35)時，入口參數x=35。從數學的角度理解while中的判斷表達式「x++ >0」，會認爲x在增量後永遠大於0，這是一個永真式，從而作出錯誤結論：程序死循環。在計算機中數值是有範圍的，int型數據用補碼錶示，佔4個字節，能表示的最大正數是231-1 = 7FFF FFFFH。231的機器數是8000 0000H，其值爲int型，能表示的最小負數-2147483648，所以當x = 8000 0000H 時，x > 0的值爲假，程序退出while循環，所以，若不考慮棧溢出，則程序能執行結束。

（2）使遞歸終止的最大x值是多少？

while(x++ >0)語句在Microsoft VC中的機器代碼以下，該語句的執行過程是：先把x的值分別保存到EDX和EAX寄存器；而後對EAX寄存器內容加1，以實現x = x+1操做；最後再用EDX的內容（x的舊值）進行x>0的條件判斷。

mov edx, dword ptr [ebp+8]

mov eax,dword ptr [ebp+8]

add eax, 1

mov dword ptr [ebp+8], eax

test edx, edx

jle f+77h (00401097)

所以，當調用f(231-1)時，x = 231-1=7FFF FFFFH，先執行x=7FFF FFFFH+1 = 8000 0000H=231，而後，用舊的x=7FFF FFFFH與0比較，比較結果爲真，故執行while循環體，在循環體中調用f(231)。

調用f(231)時，x爲231 = 8000 0000H，其真值爲負數，所以，與0比較的結果爲假，故跳出while循環體，程序結束。

綜上所述，使遞歸終止的最大x值是231，即執行f(231)時結束遞歸調用。

（3）函數f(x)的遞歸調用狀況如何？

f(x)是一個遞歸調用過程，而且遞歸調用在循環體內，所以調用關係較複雜。圖1顯示了f(231-4)執行中的遞歸調用狀況。

 

        圖1 f(231-4)執行中的遞歸調用狀況

在f(x)執行過程當中，把執行f(x)過程體的總次數記爲f(x)執行次數，把一次遞歸調用的最大次數記爲f(x)遞歸深度。表1給出了x爲不一樣值時，執行f(x)的次數和遞歸深度。這兩個參數顯示了f(x)函數的執行過程。

       表1  x爲不一樣值時，f(x)執行的次數和遞歸調用深度

	f(x)執行次數	遞歸深度
f(231)	1	1
f(231-1)	2	2
f(231-2)	4	3
f(231-3)	8	4
f(231-4)	16	5
……	……	……
f(231-n)	2n	n+1
f(35)=f(231-2147483613)	22147483613	2147483614

（4） 遞歸調用過程的執行狀況

系統會給每個用戶進程分配存放代碼和數據的用戶空間，用戶空間中的棧區用來存放程序運行時過程調用的參數、返回地址、過程局部變量等。隨着程序的執行，棧區不斷動態地從高地址向低地址增加或向反方向減退。

用戶棧由若干個棧幀組成，每一個過程對應一個棧幀，幀指針寄存器EBP指定一個棧幀的起始地址，棧指針寄存器ESP指向棧頂，當前棧幀的範圍在EBP和ESP指向的區域之間。過程執行時，因爲不斷有數據入棧，因此棧指針ESP會動態移動，而幀指針EBP固定不變。在一個過程內對棧中信息的訪問大多經過幀指針EBP進行。

IA-32規定，寄存器EAX、ECX和EDX是調用者保存寄存器，EBX、ESI、EDI寄存器是被調用者保存寄存器。若過程P調用過程Q時，P在須要時先在本身的棧區保存EAX、ECX和EDX、入口參數和返回地址，接着跳轉到Q執行。Q在本身的棧幀中先保存P的EBP值，並設置EBP指向當前Q棧幀的棧低，根據須要保存EBX、ESI、EDI，再在棧中給Q的局部變量分配空間。

在遞歸調用執行中，每一個遞歸調用過程都有一個棧幀。棧幀中可能包含如圖2所示的信息。

 

……

調用者的EBP值

調用者的EBX、ESI、EDI

過程局部變量

本身的EAX、ECX和EDX

入口參數n …… 入口參數1

返回地址

           圖2 一次遞歸調用中的棧幀

圖3顯示了在windows系統中f(x)函數調用時的部分機器指令。能夠看出f(x)的棧幀至少有84B。系統分配給一個進程的用戶棧只有有限的空間，所以，遞歸調用的次數是有限的。f(35)的遞歸深度是2147483614，即至少須要2147483614×84字節，即大於170GB的棧幀空間。在32位系統中，最大虛擬地址空間僅有4GB，用戶棧只是其中的一部分，因此f(35)在執行過程當中會出現棧溢出的現象。

 

 

        圖3 f(x)函數調用時的部分機器指令

（5） f(35)在32位系統中的實際執行狀況

假設在Intel x86+windows+VC+C語言環境中執行f(35)。VC中默認分配棧的大小是1MB，雖然用戶能夠調整棧大小，但棧的容量是有限的。按2MB的棧空間、棧大小按80字節計算：2MB÷80B≈26214，所以f(x)遞歸調用的次數不會超過26214-1=26213次。從圖4.9中能夠看出，棧溢出時，f(x)函數體最多執行26213次。棧溢出時每一個f(x)函數體只在while語句中執行，假設每一個f(x)函數體執行100條指令，即便指令平均CPI爲3，時鐘頻率爲2.4GHz，f(35)的執行時間也只有26213×100×3÷2.4GHz ≈3.2 ms左右時間。

對f(35)的執行作了測試，在棧大小是1MB時，遞歸調用11244次後棧溢出；在棧設置爲2MB時，遞歸調用22642次後棧溢出，顯然運行時間只有幾毫秒。在Microsoft VisualStudio 2012環境中運行，出現如圖4所示結果，代表出現了棧溢出（Stack overflow）。

 

綜上所述，答案爲A。

以上整理自陳莉君老師的文章。對於其中不容易理解的圖1 f(231-4)執行中的遞歸調用狀況這裏給出註釋：

對於遞歸在循環體內咱們能夠把循環展開，這種狀況是先循環再遞歸：

while(x++ >0) s+= f(x);

等價寫法(當x=0x80000000-2)：

if(0x80000000 -2 >0) { // if(x >0)

0x80000000-1; //x++

s+=f(0x80000000-1); //f(x)

}

if(0x80000000-1 > 0) {

0x80000000;

s+=f(0x80000000);

}