數據結構與算法--八皇后問題(回溯算法)

八皇后問題介紹

八皇后問題，是一個古老而著名的問題，是回溯算法的典型案例。該問題是國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾於1848年提出：

在8×8格的國際象棋上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即：任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法。

 

那麼咱們使用編程來算出有多少種擺法，這也是使用回溯算法。

分析：

1) 第一個皇后先放第一行第一列

2) 第二個皇后放在第二行第一列、而後判斷是否OK[即判斷是衝突]， 若是不OK，繼續放在第二列、第三列、依次把全部列都放完，找到一個合適

3) 繼續第三個皇后，仍是第一列、第二列……直到第8個皇后也能放在一個不衝突的位置，算是找到了一個正確解

4) 當獲得一個正確解時，在棧回退到上一個棧時，就會開始回溯，即將第一個皇后，放到第一列的全部正確解，所有獲得.

5) 而後回頭繼續第一個皇后放第二列，後面繼續循環執行 1,2,3,4的步驟

說明：理論上應該建立一個二維數組來表示棋盤，可是實際上能夠經過算法，用一個一維數組便可解決問題.

arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} //對應arr 下標 表示第幾行，即第幾個皇后，arr[i] = val , val 表示第i+1個皇后，放在第i+1行的第val+1列

實現代碼：

package com.recursion; /** * Created by wanbf on 2019/6/8. 八皇后問題 */
public class Queue8 { //定義一個max表示共有多少個皇后
    int max = 8; //定義數組array, 保存皇后放置位置的結果,好比 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
    int[] array = new int[max]; static int count = 0; static int judgeCount = 0; public static void main(String[] args) { //測試一把 ， 8皇后是否正確
        Queue8 queue8 = new Queue8(); queue8.check(0); System.out.printf("一共有%d解法", count); System.out.printf("一共判斷衝突的次數%d次", judgeCount); // 1.5w
 } //編寫一個方法，放置第n個皇后 //特別注意： check 是 每一次遞歸時，進入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，所以會有回溯
    private void check(int n) { if(n == max) {  //n = 8 , 其實8個皇后就既然放好
 print(); return; } //依次放入皇后，並判斷是否衝突
        for(int i = 0; i < max; i++) { //先把當前這個皇后 n , 放到該行的第1列
            array[n] = i; //判斷當放置第n個皇后到i列時，是否衝突
            if(judge(n)) { // 不衝突 //接着放n+1個皇后,即開始遞歸
                check(n+1); //  } //若是衝突，就繼續執行 array[n] = i; 即將第n個皇后，放置在本行得 後移的一個位置
 } } //查看當咱們放置第n個皇后, 就去檢測該皇后是否和前面已經擺放的皇后衝突
    /** * * @param n 表示第n個皇后 * @return
     */
    private boolean judge(int n) { judgeCount++; for(int i = 0; i < n; i++) { // 說明 //1. array[i] == array[n] 表示判斷 第n個皇后是否和前面的n-1個皇后在同一列 //2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判斷第n個皇后是否和第i皇后是否在同一斜線 // n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1 // Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1 //3. 判斷是否在同一行, 沒有必要，n 每次都在遞增
            if(array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) ) { return false; } } return true; } //寫一個方法，能夠將皇后擺放的位置輸出
    private void print() { count++; for (int i = 0; i < array.length; i++) { System.out.print(array[i] + " "); } System.out.println(); } }

輸出 0 4 7 5 2 6 1 3 
0 5 7 2 6 3 1 4 
0 6 3 5 7 1 4 2 
0 6 4 7 1 3 5 2 
1 3 5 7 2 0 6 4 
1 4 6 0 2 7 5 3 
1 4 6 3 0 7 5 2 
1 5 0 6 3 7 2 4 
1 5 7 2 0 3 6 4 
1 6 2 5 7 4 0 3 
1 6 4 7 0 3 5 2 
1 7 5 0 2 4 6 3 
2 0 6 4 7 1 3 5 
2 4 1 7 0 6 3 5 
2 4 1 7 5 3 6 0 
2 4 6 0 3 1 7 5 
2 4 7 3 0 6 1 5 
2 5 1 4 7 0 6 3 
2 5 1 6 0 3 7 4 
2 5 1 6 4 0 7 3 
2 5 3 0 7 4 6 1 
2 5 3 1 7 4 6 0 
2 5 7 0 3 6 4 1 
2 5 7 0 4 6 1 3 
2 5 7 1 3 0 6 4 
2 6 1 7 4 0 3 5 
2 6 1 7 5 3 0 4 
2 7 3 6 0 5 1 4 
3 0 4 7 1 6 2 5 
3 0 4 7 5 2 6 1 
3 1 4 7 5 0 2 6 
3 1 6 2 5 7 0 4 
3 1 6 2 5 7 4 0 
3 1 6 4 0 7 5 2 
3 1 7 4 6 0 2 5 
3 1 7 5 0 2 4 6 
3 5 0 4 1 7 2 6 
3 5 7 1 6 0 2 4 
3 5 7 2 0 6 4 1 
3 6 0 7 4 1 5 2 
3 6 2 7 1 4 0 5 
3 6 4 1 5 0 2 7 
3 6 4 2 0 5 7 1 
3 7 0 2 5 1 6 4 
3 7 0 4 6 1 5 2 
3 7 4 2 0 6 1 5 
4 0 3 5 7 1 6 2 
4 0 7 3 1 6 2 5 
4 0 7 5 2 6 1 3 
4 1 3 5 7 2 0 6 
4 1 3 6 2 7 5 0 
4 1 5 0 6 3 7 2 
4 1 7 0 3 6 2 5 
4 2 0 5 7 1 3 6 
4 2 0 6 1 7 5 3 
4 2 7 3 6 0 5 1 
4 6 0 2 7 5 3 1 
4 6 0 3 1 7 5 2 
4 6 1 3 7 0 2 5 
4 6 1 5 2 0 3 7 
4 6 1 5 2 0 7 3 
4 6 3 0 2 7 5 1 
4 7 3 0 2 5 1 6 
4 7 3 0 6 1 5 2 
5 0 4 1 7 2 6 3 
5 1 6 0 2 4 7 3 
5 1 6 0 3 7 4 2 
5 2 0 6 4 7 1 3 
5 2 0 7 3 1 6 4 
5 2 0 7 4 1 3 6 
5 2 4 6 0 3 1 7 
5 2 4 7 0 3 1 6 
5 2 6 1 3 7 0 4 
5 2 6 1 7 4 0 3 
5 2 6 3 0 7 1 4 
5 3 0 4 7 1 6 2 
5 3 1 7 4 6 0 2 
5 3 6 0 2 4 1 7 
5 3 6 0 7 1 4 2 
5 7 1 3 0 6 4 2 
6 0 2 7 5 3 1 4 
6 1 3 0 7 4 2 5 
6 1 5 2 0 3 7 4 
6 2 0 5 7 4 1 3 
6 2 7 1 4 0 5 3 
6 3 1 4 7 0 2 5 
6 3 1 7 5 0 2 4 
6 4 2 0 5 7 1 3 
7 1 3 0 6 4 2 5 
7 1 4 2 0 6 3 5 
7 2 0 5 1 4 6 3 
7 3 0 2 5 1 6 4 一共有92解法一共判斷衝突的次數15720次

從輸出結果能夠看出 一共有92中擺法，而且在執行過程當中一共判斷了15720次。