回溯算法思想與八皇后問題解的個數
八皇后問題：
在8*8的國際象棋棋盤上，皇后是威力較大的棋子，它能夠攻擊到與本身同行、同列以及同一斜線上的棋子，以下圖，全部橙色格子上的棋子，均可能會被皇后攻擊：java
而八皇后問題就是在8*8的棋盤上，找到合適的位置放置8個皇后，讓它們不會相互攻擊，並且須要找出這樣的放法共有多少種。算法
回溯法的思想：
回溯法就是當咱們肯定了一個問題的解空間的結構後，從根節點出發，以深度優先的方式去遍歷解空間，找到合適的解。因此用此方法分析八皇后問題以下：數組
解空間的結構：
將棋盤看做0-7的平面直角座標系，八皇后問題的解就是尋找八個點的座標（i,j）。先拋開具體問題的約束來看，咱們要尋找的第一個座標有64中可能，當第一個座標肯定後，第二個座標也有64中可能，第三個一樣如此......所以，全部可能的解造成了一個64叉樹（類比二叉樹的說法），這就是有可能的解（64^8種可能），解空間結構是64叉樹形狀的。jvm
基於此解空間的結構，才能以深度優先的方式去遍歷解空間，並尋找合適的解。工具
問題的解：
當咱們結合問題對解的約束來看，八皇后問題的解就是這個64叉樹上某些從根節點到葉子節點的路徑上的座標。具體約束就是皇后的攻擊規則（任意兩點不能在同一直線或斜線上）。ui
回溯遍歷解空間：
也就是將皇后一個個擺上去，當咱們擺到第n個皇后時，若發現按照約束條件，任何位置都不能擺放，那就說明第n-1個皇后在當前位置不能獲得正確的解，因此須要從新肯定第n-1個皇后的位置。若第n-1個皇后再無其餘位置可擺放，則須要從新肯定第n-2個皇后的位置......spa
這就是回溯遍歷解空間，在算法實現時，可使用遞歸或迭代進行回溯遍歷，分別被稱爲遞歸回溯和迭代回溯。code
八皇后問題算法解決：
算法使用名爲queen的二維int數組表示棋盤，數組的索引表示0-7的座標，值爲0表示空白，值爲1表示皇后的擺放位置。遞歸
因爲任意一行不能有兩個皇后，因此每一行必須擺放一個，所以程序在每一行依次嘗試：索引
package com.yawn.queen;
/**
* @author yawn
*/
public class QueenTest {
private static final int SIZE = 8;
private static int[][] queen = new int[SIZE][SIZE];
public static void main(String[] args) {
for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
// 每一行都從0位置開始嘗試放置
place(i, 0);
}
printQueen("結果爲");
}
/**
* 第i行的放置
*/
private static void place(int i, int start) {
// 是否放置成功
boolean placed = false;
for(int j = start; j < SIZE; j++) {
if (check(i, j)) {
queen[i][j] = 1;
placed = true;
printQueen("第 " + i + " 行放置");
break;
}
}
if (!placed) {
int index = seek(i - 1);
// 去掉已經放置的皇后
queen[i-1][index] = 0;
printQueen("回溯到第 " + (i-1) + " 行，從 " + (index+1) + " 開始");
place(i-1, index+1);
place(i, 0);
}
}
/// 如下爲工具方法，內容單一，淺顯易懂
/**
* 輸出棋盤
*/
private static void printQueen(String action) {
System.out.println("---> " + action);
for (int[] cells : queen) {
for (int cell : cells) {
System.out.print(cell + "\t");
}
System.out.println();
}
}
/**
* 尋找第i行放置皇后的位置
*/
private static int seek(int i) {
for (int j = 0; j < SIZE; j++) {
if (queen[i][j] == 1) {
return j;
}
}
return -1;
}
/**
* 檢查queen[i][j] 是否能夠放置皇后
*/
private static boolean check(int i, int j) {
for(int m = 0; m < SIZE; m++) {
for(int n = 0; n < SIZE; n++) {
if (queen[m][n]==1 && (i == m || j == n || Math.abs(i - m) == Math.abs(j - n))) {
// queen[m][n]==1 ：(m,n)位置有皇后
// i == m ：同行
// j == n ：同列
// Math.abs(i - m) == Math.abs(j - n) ：同一斜線（兩個位置連線的斜率絕對值爲1）
// 若是知足if條件，則(i,j)不可放置皇后
return false;
}
}
}
return true;
}
}
求解過程當中的輸出片斷以下：
---> 第 5 行放置 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ---> 回溯到第 5 行，從 3 開始 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ---> 第 5 行放置 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
咱們能夠看出：第5行放置在了（5，2）位置，而後嘗試放置第六行，結果第6行沒法放置，因此回溯到第5行，從（5，3）位置繼續嘗試放置，並在（5，3）放置成功。
八皇后問題解的個數：
以上代碼爲咱們找到了問題的一個解，但咱們想知道一共有多少解存在，這就須要咱們稍微修改代碼，具體以下：
在以上代碼中，若找到一個可行的解以後，程序就會執行結束。但咱們若要找到全部的解，就須要在找到可行解後，繼續讓程序嘗試下一個解便可。具體作法就是當最後一行均可以放置好皇后時，咱們只記錄這個解，而後再讓程序嘗試當前位置的下一個位置，而不退出程序。
當遍歷完全部可能的解以後，就能夠中止程序。因爲在遞歸調用過程當中，會產生很深的方法棧，致使棧滿報錯，因此棋盤不宜設置太大：
八皇后問題解的個數具體實現以下：
package com.yawn.queen;
/**
* @author yawn
*/
public class QueenTest2 {
private static final int SIZE = 12;
private static int count = 0;
private static int[][] queen = new int[SIZE][SIZE];
public static void main(String[] args) {
for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
place(i, 0);
}
}
/**
* 第i行的放置
*/
private static void place(int i, int start) {
if (i==0 && start== SIZE) {
System.out.println("結果集已經遍歷完畢，共找到結果數爲：" + count);
System.exit(0);
}
// 第i行是否放置成功
boolean rowPlaced = false;
// 遍歷第i行每一個位置是否能夠放置皇后
for(int j = start; j < SIZE; j++) {
if (check(i, j)) {
queen[i][j] = 1;
rowPlaced = true;
// 最後一行放置成功，則獲得一個結果，打印結果後從下一位置繼續回溯遍歷結果集
if (i== SIZE -1) {
count++;
printQueen("第" + count + "個結果，從(" + (SIZE-1) + "," + (j+1) + ")繼續回溯尋找...");
// 去掉已經放置的皇后
queen[i][j] = 0;
place(i, j+1);
}
break;
}
}
// 若是第i行沒有放置成功，則回溯到第i-1行（從新放置第i-1行）
if (!rowPlaced) {
int index = seek(i - 1);
reset(i-1, index);
// 回溯放置第i-1行
place(i-1, index+1);
// 直到第i-1行放置成功，再開始放置第i行（最終將全部結果集遍歷完畢後，只能使用exit(0)退出程序）
place(i, 0);
}
}
/// 如下爲工具方法，內容單一，淺顯易懂
/**
* 輸出棋盤
*/
private static void printQueen(String string) {
System.out.println("---> " + string);
for (int[] cells : queen) {
for (int cell : cells) {
System.out.print(cell + "\t");
}
System.out.println();
}
}
/**
* 去掉(i,j)位置已經放置的皇后
*/
private static void reset(int i, int j) {
queen[i][j] = 0;
}
/**
* 尋找第i行放置皇后的位置
*/
private static int seek(int i) {
for (int j = 0; j < SIZE; j++) {
if (queen[i][j] == 1) {
return j;
}
}
return -1;
}
/**
* 檢查queen[i][j] 是否能夠放置皇后
*/
private static boolean check(int i, int j) {
for(int m = 0; m < SIZE; m++) {
for(int n = 0; n < SIZE; n++) {
if (queen[m][n]==1) {
if (i == m || j == n || Math.abs(i - m) == Math.abs(j - n)) {
return false;
}
}
}
}
return true;
}
}
---> 第91個結果，從(7,4)繼續回溯尋找... 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ---> 第92個結果，從(7,5)繼續回溯尋找... 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 結果集已經遍歷完畢，共找到結果數爲：92
最終棋盤規格爲8*8時，共有92個解。
原文參考做者的博客：
- 1. 回溯算法-八皇后問題
- 2. 數據結構與算法--八皇后問題(回溯算法)
- 3. 回溯法與八皇后
- 4. 八皇后（N皇后）問題算法程序（回溯法）
- 5. 【算法分析】回溯法解八皇后問題（n皇后問題）
- 6. 用遞歸思想和回溯算法解決八皇后問題(java實現)
- 7. 八皇后問題之回溯法
- 8. 八皇后問題（經典回溯法）
- 9. 八皇后問題（回溯法）
- 10. 回溯法之八皇后問題
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- 3. 回溯法與八皇后
- 4. 八皇后（N皇后）問題算法程序（回溯法）
- 5. 【算法分析】回溯法解八皇后問題（n皇后問題）
- 6. 用遞歸思想和回溯算法解決八皇后問題(java實現)
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