【基礎算法】回溯法與八皇后問題

 

 

　　在國際象棋中，皇后是最強大的一枚棋子，能夠吃掉與其在同一行、列和斜線的敵方棋子。比中國象棋裏的車強幾百倍，比她那沒用的老公更是強的飛起（國王只能先後左右斜線走一格）。上圖右邊高大的棋子即爲皇后。

 　　八皇后問題是這樣一個問題：將八個皇后擺在一張8*8的國際象棋棋盤上，使每一個皇后都沒法吃掉別的皇后，一共有多少種擺法？此問題在1848年由棋手馬克斯·貝瑟爾提出，豈止是有年頭，簡直就是有年頭，82年的拉菲分分鐘被秒的渣都不剩。

　　八皇后問題是典型的回溯法解決的問題，咱們以這個問題爲例介紹回溯法。

　　所謂回溯法，名字高大上，思想很樸素。設想把你放在一個迷宮裏，想要走出迷宮，最直接的辦法是什麼呢？沒錯，試。先選一條路走起，走不通就往回退嘗試別的路，走不通繼續往回退，直到找到出口或全部路都試過走不出去爲止。

是的你沒說錯，這就是暴力破解。對於BigMoyan這種簡單粗暴不喜歡動腦子的人來講實在是太合適了，盲僧李青說得好：若是暴力不是爲了解題，那就毫無心義了。

 

　　儘管回溯法也算是暴力方法，但也不是特別暴力，特別暴力的相關部門都不讓播，能播的都是能夠接受的暴力。怎麼說？考慮八皇后問題，解決這個問題最暴力的辦法是這樣的：

　　有關部門不讓播的方法：

　　從8*8=64個格子裏選8個格子，放皇后，測試是否知足條件，若知足則計數加1，不然換8個格子繼續試。

　　很顯然， 64中選8，並非個小數字，十億級別的嘗試次數，夠暴力。

　　這仍是8*8的格子，要是換圍棋棋盤……這畫面太美我都不敢算。

　　稍加分析，咱們能夠獲得一個不那麼暴力的辦法，顯然，每行每列最多隻能有一個皇后，若是基於這個事實進行暴力破解，那結果會好得多。安排皇后時，第一行有8種選法，一旦第一行選定，假設選爲（1，i），第二行只能選（2，j），其中j!=i，因此有7種選法。以此類推，須要窮舉的狀況有8！=40320種。

　　看起來這個結果已經不錯了，但嘗試的次數是隨問題規模按階乘水平提升的，BigMoyan仍然不滿意——咋可能滿意嘛！回溯法還沒出，我要是滿意了剩下的篇幅講啥。

　　8皇后太多，後宮太過豐富BigMoyan可hold不住，不如咱們先裁一半分析試試，因而BigMoyan與4位皇后辦了離婚手續，同時把家縮小了一半，那麼如今問題變成了4皇后問題，4個皇后在4*4的格子裏各自安排不打架，一共有多少種安排方法？

 

　　試着來窮舉一下，真的須要4！=24次嘗試嗎？

　　如今咱們把第一個皇后放在第一個格子，被塗黑的地方是不能放皇后的。

 

　　第二行的皇后只能放在第三格或第四格，比方咱們放第三格，則：

　　糟啦擼，前兩位皇后狼狽爲奸，已經把第三行所有鎖死了，第三位皇后不管放哪裏都難逃被吃掉的厄運。因而在第一個皇后位於1號，第二個皇后位於3號的狀況下問題無解。咱們只能返回上一步來，給2號皇后換個位置。

　　顯然，第三個皇后只有一個位置可選。當第三個皇后佔據第三行藍色空位時，第四行皇后無路可走，因而發生錯誤，返回上層調用（3號皇后），而3號也別無可去，繼續返回上層調用（2號），2號已然無路可去，繼續返回上層（1號），因而1號皇后改變位置以下，繼續搜索。

　　話說道這裏，想必讀者對「回溯法」已經有了基本概念。然而所謂知易行難，理解算法和將算法寫出來徹底是兩回事。按照BigMoyan的風格，下面該進行算法分析了，下面的代碼改寫自劉汝佳《算法競賽入門經典》，幾乎是BigMoyan看到的實現8皇后問題最簡潔的代碼，改寫後整個函數只有10行。

void queen(int row){
    if(row==n)
        total++;
    else
        for(int col=0;col!=n;col++){
            c[row]=col;
            if(is_ok(row))
                queen(row+1);
        }        
}

 

　　算法是逐行安排皇后的，其參數row爲如今正執行到第幾行。n是皇后數，在八皇后問題裏固然就是8啦。

　　第2行好理解，若是程序當前能正常執行到第8行，那天然是找到了一種解法，因而八皇后問題解法數加1。

　　若是當前還沒排到第八行，則進入else語句。遍歷全部列col，將當前col存儲在數組c裏，而後使用is_ok()檢查row行col列能不能擺皇后，若能擺皇后，則遞歸調用queen去安排下一列擺皇后的問題。

　　還不太清楚？再慢點來，剛開始的時候row=0，意思是要對第0行擺皇后了。

　　If判斷失敗，進入else，進入for循環，col初始化爲0

　　顯然，0行0列的位置必定能夠擺皇后的，由於這是第一個皇后啊，後宮空蕩她想怎麼折騰就怎麼折騰，因而is_ok(0)測試成功，遞歸調用queen(1)安排第1行的皇后問題。

　　第1行時row=1，進來if依然測試失敗，進入for循環，col初始化爲0。1行0列顯然是不能擺皇后的，由於0行0列已經有一個聖母皇太后在那擱着了，因而is_ok()測試失敗，循環什麼也不作空轉一圈，col變爲1。1行1列依然is_ok()測試失敗，一直到1行2列，發現能夠擺皇后，因而繼續遞歸queen(2)去安排第二個皇后位置。

　　若是在某種狀況下問題無解呢？例如前面在4皇后問題中，0行0列擺皇后是無解的。假設前面遞歸到queen(2)時候，發現第2行沒有地方能夠擺皇后，那怎麼辦呢？要注意queen(2)的調用是在queen(1)的for循環框架內的，queen(2)若無解，則天然而然queen(1)的for循環col自加1，即將第1行的皇后從1行2列改成1行3列的位置，檢查能否放皇后後繼續安排下一行的皇后。如此遞歸，當queen(0)的col自加到7，說明第一列的皇后已經遍歷了從0行1列到0行7列，此時for循環結束，程序退出。

　　在主函數中調用queen(0)，獲得正確結果，8皇后問題一共有92種解法。

　　所有程序以下：

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<math.h>
 3 using namespace std;
 4 
 5 int n=8;
 6 int total=0;
 7 int *c=new int(n);
 8 
 9 bool is_ok(int row){
10     for(int j=0;j!=row;j++){
11         if(c[row]==c[j] || row-c[row]==j-c[j] || row+c[row]==j+c[j])
12             return false;
13     }
14     return true;
15 }
16 
17 void queen(int row){
18     if(row==n)
19         total++;
20     else
21         for(int col=0;col!=n;col++){
22             c[row]=col;
23             if(is_ok(row))
24                 queen(row+1);
25         }       
26 }
27 
28 int main(){
29     queen(0);
30     cout<<total;
31     return 1;
32 }
33