線段樹基本操做（Segment Tree）

線段樹（Segment Tree）

入門模板題 洛谷oj P3372

題目描述

　　如題，已知一個數列，你須要進行下面兩種操做：

　　1.將某區間每個數加上x

　　2.求出某區間每個數的和

輸入格式

　　第一行包含兩個整數N、M，分別表示該數列數字的個數和操做的總個數。

　　第二行包含N個用空格分隔的整數，其中第i個數字表示數列第i項的初始值。

　　接下來M行每行包含3或4個整數，表示一個操做，具體以下：

　　操做1： 格式：1 x y k 含義：將區間[x,y]內每一個數加上k

　　操做2： 格式：2 x y 含義：輸出區間[x,y]內每一個數的和

輸出格式

　　輸出包含若干行整數，即爲全部操做2的結果。

輸入樣例

5 5

1 5 4 2 3

2 2 4

1 2 3 2

2 3 4

1 1 5 1

2 1 4

輸出樣例

11

8

20

數據範圍

對於30%的數據：N<=8，M<=10

對於70%的數據：N<=1000，M<=10000

對於100%的數據：N<=100000，M<=100000

 

　　才學會寫線段樹不久……隨便扯一篇筆記orz

 

0x00 線段樹概念

　　線段樹是一種二叉搜索樹。它將一個區間劃分紅一些單元區間，每一個單元區間對應線段樹中的一個葉結點。

　　插入（刪除）操做的時間複雜度爲O（logn）。

 

0x01 樹形結構及建樹

　　做爲一棵樹，線段樹的結構體大概是這樣的：

struct SegmentTree{        //樹的結構體 
    long long l,r;    //覆蓋的區間的左右指針
    long long value;    //該節點上維護的值
    long long tag;    //lazy標記，下面會寫到，這也是線段樹的精髓
}node[MAX_N*4+5];

 

　　要想建一棵線段樹，能夠利用線段樹是個二叉樹的性質，進行遞歸建樹：

void build(REG long long p,REG long long l,REG long long r){    //遞歸建樹 
    node[p].l=l,node[p].r=r;
    if (l==r){    //訪問到了最底部，不可再分 
        node[p].value=read();
        return ;
    }
    long long mid=(l+r)>>1;
    build(p<<1,l,mid);
    build((p<<1)+1,mid+1,r);
    node[p].value=node[p<<1].value+node[(p<<1)+1].value;
}

　　

　　這樣咱們就擁有了一棵樹。

0x02 lazy標記（懶標記）

　　上面提到過，線段樹的精髓是lazy標記。無論是要查詢仍是更改數列，都繞不開它。

　　若是要修改一段區間（好比同時都增長k），最容易想到的方法是暴力枚舉，一個個修改。這樣操做m次，最壞時間複雜度是O(mn)。顯然是過不去的。

　　因此咱們能夠想：若是不修改那麼多節點呢？很容易想到，咱們只關心查詢須要用到的節點——並非每個被修改的節點都會在查詢中被訪問到的。打個比方：假設只有一次修改，一次詢問。修改修改[1,16]，而詢問只關心[1,8]，那麼咱們對於[9,16]的修改都是沒有意義的。

　　能夠想到，若是點i的兩個兒子都要同時增長k，考慮先不修改兩個兒子，而給點i打一個標記，標記一下i的兩個兒子都要被修改。

　　若是在下面的詢問裏要訪問到i的兩個兒子之一，咱們再對i的兩個兒子進行修改（或下傳標記），再把標記歸零。若是兩個兒子都會被訪問到，就直接取i的值（i點維護的value值是兩個兒子節點的和）。

　　這差很少就是lazy標記的思想，時間複雜度就降到了O(mlogn)。

　　寫一個下傳標記的函數：

 

void push_down(REG const long long& p){
    node[p<<1].value+=(node[p].tag*(node[p<<1].r-node[p<<1].l+1));
    node[(p<<1)+1].value+=(node[p].tag*(node[(p<<1)+1].r-node[(p<<1)+1].l+1));
    node[p<<1].tag+=node[p].tag;
    node[(p<<1)+1].tag+=node[p].tag;
    node[p].tag=0;
}

 

　　按照這樣的思想，咱們就能夠寫出線段樹了。其餘的在最終代碼裏寫了，再也不贅述。

 

0x03 AC代碼

#include <cstdio>
#define REG register
#define MAX_N 100000

using namespace std;

long long n,m;
long long a[MAX_N+5];

long long ch,x,y,z;

inline long long read(){    //快速讀入 
    REG long long ch=getchar(),x=0,f=1;
    while (ch<'0'||ch>'9'){
        if (ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    } while (ch<='9'&&ch>='0'){
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }return x*f;
}

struct SegmentTree{        //樹的結構體 
    long long l,r;
    long long value;
    long long tag;
}node[MAX_N*4+5];

void build(REG long long p,REG long long l,REG long long r){    //遞歸建樹 
    node[p].l=l,node[p].r=r;
    if (l==r){    //訪問到了最底部，不可再分 
        node[p].value=read();
        return ;
    }
    long long mid=(l+r)>>1;
    build(p<<1,l,mid);
    build((p<<1)+1,mid+1,r);
    node[p].value=node[p<<1].value+node[(p<<1)+1].value;
}

void push_down(REG const long long& p){
    node[p<<1].value+=(node[p].tag*(node[p<<1].r-node[p<<1].l+1));
    node[(p<<1)+1].value+=(node[p].tag*(node[(p<<1)+1].r-node[(p<<1)+1].l+1));
    node[p<<1].tag+=node[p].tag;
    node[(p<<1)+1].tag+=node[p].tag;
    node[p].tag=0;    //標記歸零 
}

void change(REG long long p,REG const long long& x,REG const long long& y,REG long long& z){
    if (x<=node[p].l&&y>=node[p].r){    //是否徹底在區間內 
        node[p].value+=(z*(node[p].r-node[p].l+1));
        node[p].tag+=z;
        return ;
    }
    if (node[p].tag)    push_down(p);    //不徹底在區間內，若是有lazy標記，下傳 
    REG long long mid=(node[p].l+node[p].r)>>1;
    if (x<=mid)    change(p<<1,x,y,z);
    if (y>mid)    change((p<<1)+1,x,y,z);
    node[p].value=node[p<<1].value+node[(p<<1)+1].value;
}

inline long long ask(REG long long p,REG const long long& x,REG const long long& y){
    if (x<=node[p].l&&y>=node[p].r)    return node[p].value;
    push_down(p);
    REG long long mid=(node[p].l+node[p].r)>>1;
    long long ans=0;
    if (x<=mid)    ans+=ask(p<<1,x,y);
    if (y>mid)    ans+=ask((p<<1)+1,x,y);
    return ans; 
}

int main(){
//    freopen("test1.txt","r",stdin);
    n=read(),m=read();
    build(1,1,n);
    REG long long ch;
    while (m--){
        ch=read();
        if (ch==1){
            x=read(),y=read(),z=read();
            change(1,x,y,z);
        }
        else{
            x=read(),y=read();
            printf("%lld\n",ask(1,x,y));
        }
    }
    return 0;
} 

 

 　　若是寫的有哪裏不對，歡迎指出，輕噴orz

 

 

 

[參考百度百科及網友講解]