樣本方差的無偏估計與（n-1）的由來

假設X爲獨立同分布的一組隨機變量，整體爲M，隨機抽取N個隨機變量構成一個樣本，和是總體的均值和方差, 是常數。是對樣本的均值和方差，因爲樣本是隨機抽取的，也是隨機的。

既然是隨機變量，就能夠觀察他們的均值方差。

這裏須要注意的是，因爲樣本是隨機的，因此X₁，X₂，X₃...都是隨機的。 上式中能夠看出， 樣本均值這個變量的指望就是整體的均值，所以能夠說均值是無偏的。

接下來看樣本方差的均值：

根據方差公式，能夠獲得：

所以：

這裏能夠看出樣本方差的指望並非無偏的，要無偏估計，應該再乘上一個係數：

因此無偏估計的樣本的方差：

。

n-1既爲自由度，就是說，在一個容量爲n的樣本里，當肯定了n-1個變量之後，第n個變量就肯定了，由於樣本均值是無偏的。