圓方樹總結

• 圓方樹：一種將由圖轉化而成的樹，從而大大了增長題目的可解性，且大多普遍用於仙人掌圖中。

• 針對仙人掌圖上的圓方樹：仙人掌是指一條邊至多隻被一個環包含的無向圖。

• 樹上的點：圓方樹上分爲兩類點，一類是圓點，一類是方點。圓點即原圖中全部的點，方點即爲了去環而新添加進去的，知足必定性質的點。

• 構造思路：圓圓邊直接加入，對於仙人掌中的任意一個環，每一個環上的點在圓方樹上對應的圓點向這個環對應的方點連邊，方點爲一個新建節點。

• 環的根：指定一個圓點爲圓方樹的根，把方點的父親叫作這個方點對應的環的根。

• 圓方邊邊權：若一個在環上的圓點不是環的根，它到對應方點的邊權爲到環的根的最短距離，環的根到環所對應的方點的邊權爲零。

解題：

• 多數是爲了能夠用樹上的算法，例如倍增、樹剖解決問題，以兩點間路徑的問題爲例：

• 若 \(lca\) 是圓點，那麼答案就是路徑上的貢獻；

• 若 \(lca\) 是方點，則找到進入這個環的兩個點，這兩個點之間的有兩條路徑，選擇合題意的一條加入貢獻。

• 在樹鏈剖分中，進入一個環的兩個點有兩種狀況：一是一個爲 \(dfs\) 序比 \(lca\) 大 \(1\) 的點，即 \(lca\) 所在重鏈上的兒子，另外一個爲最後通過的 \(top\)；二是最後通過的兩個 \(top\)。

洛谷模板題：

#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 40000 + 10;
int n, m, q, head_g[maxn], head_t[maxn], st[17][maxn], edge_num_g, edge_num_t, dfn_num, col_num, top;
int dfn[maxn], low[maxn], sta[maxn];
long long deep[maxn], dis[maxn], sum[maxn], sccsum[maxn];

struct Edge { int v, nxt; long long w; } edge_g[maxn << 2], edge_t[maxn << 2];

inline void Add_edge_g(int u, int v, long long w) {
  edge_g[++edge_num_g].v = v, edge_g[edge_num_g].w = w, edge_g[edge_num_g].nxt = head_g[u], head_g[u] = edge_num_g;
}

inline void Add_edge_t(int u, int v, long long w) {
  edge_t[++edge_num_t].v = v, edge_t[edge_num_t].w = w, edge_t[edge_num_t].nxt = head_t[u], head_t[u] = edge_num_t;
}

inline void Tarjan(int x, int p) {
  dfn[x] = low[x] = ++dfn_num, sta[++top] = x;
  for(int i = head_g[x]; i; i = edge_g[i].nxt) if( edge_g[i].v != p ) {
    if( dfn[edge_g[i].v] == 0 ) {
      sum[edge_g[i].v] = sum[x] + edge_g[i].w, Tarjan(edge_g[i].v, x), low[x] = min(low[x], low[edge_g[i].v]);
      if( low[edge_g[i].v] > dfn[x] ) Add_edge_t(x, edge_g[i].v, edge_g[i].w), Add_edge_t(edge_g[i].v, x, edge_g[i].w);  // 樹邊，圓圓邊加入
    }
    else if( dfn[edge_g[i].v] < low[x] ) {  // 返祖邊，得環，創建方點及圓方邊
      sccsum[++col_num] = sum[x] - sum[edge_g[i].v] + edge_g[i].w;  // 得環長，col_num 認爲是方點編號
      for(int j = top; sta[j] != edge_g[i].v; --j) {
        int _w = min(sum[sta[j]] - sum[edge_g[i].v], sccsum[col_num] - sum[sta[j]] + sum[edge_g[i].v]); // 到此環的根的距離，即圓方邊邊權
        Add_edge_t(n + col_num, sta[j], _w), Add_edge_t(sta[j], n + col_num, _w);
      }
      Add_edge_t(n + col_num, edge_g[i].v, 0), Add_edge_t(edge_g[i].v, n + col_num, 0); // 環的根所對應的圓方邊權爲 0
      low[x] = dfn[edge_g[i].v];
    }
  }
  --top;
}

inline void Deep_fs(int x, int p) {
  for(int i = 1; i < 17; ++i) st[i][x] = st[i - 1][st[i - 1][x]];
  for(int i = head_t[x]; i; i = edge_t[i].nxt) if( edge_t[i].v != p ) {
    st[0][edge_t[i].v] = x;
    dis[edge_t[i].v] = dis[x] + edge_t[i].w, deep[edge_t[i].v] = deep[x] + 1, Deep_fs(edge_t[i].v, x);
  }
}

inline long long Querry(int x, int y) {
  int lca = 0, res = dis[x] + dis[y];
  if( deep[x] < deep[y] ) swap(x, y);
  for(int i = 16; i >= 0; --i) if( deep[st[i][x]] >= deep[y] ) x = st[i][x];
  if( x == y ) lca = x;
  else {
    for(int i = 16; i >= 0; --i) if( st[i][x] != st[i][y] ) x = st[i][x], y = st[i][y];
    lca = st[0][x];
  }
  if( lca <= n ) return res - (dis[lca] << 1);
  if( dfn[x] > dfn[y] ) swap(x, y);
  return res - dis[x] - dis[y] + min(sum[y] - sum[x], sccsum[lca - n] - sum[y] + sum[x]);
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
  scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
  for(int u, v, w, i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d%d%d", &u, &v, &w), Add_edge_g(u, v, w), Add_edge_g(v, u, w);
  deep[1] = 1, Tarjan(1, 0), Deep_fs(1, 0);
  for(int u, v, i = 1; i <= q; ++i) scanf("%d%d", &u, &v), printf("%lld\n", Querry(u, v));

  return 0;
}