仙人掌 && 圓方樹 && 虛樹 總結

仙人掌 && 圓方樹 && 虛樹 總結

Part1 仙人掌

定義

仙人掌是知足如下兩個限制的圖：

• 圖徹底聯通。
• 不存在一條邊處在兩個環中。

其中第二個限制讓仙人掌的題作起來十分舒服。

仙人掌的基環DP

首先勾出一棵有根生成樹。
那麼樹邊上正常轉移便可。
咱們把返祖邊造成的環歸到環上深度最淺的點上，即環頂。
那麼到環頂時，單獨跑一遍關於環的\(DP\)便可。
通常寫法爲：

void dfs(RG int u,RG int From) {
    dfn[u] = low[u] = ++ oo ; fa[u] = From ; 
    for(RG int i = head[u] ; i ; i = t[i].next) {
        RG int v = t[i].to ; 
        if(!dfn[v]) dfs(v , u) , low[u] = min(low[u] , low[v]);
        else if(v != From) low[u] = min(low[u] , dfn[v]) ;
        if(low[v] > dfn[u]) 正常的樹形DP(F(v) --> F(u))。
    }
    for(RG int i = head[u] ; i ; i = t[i].next)
        if(fa[t[i].to] != u && dfn[t[i].to] > dfn[u]) 基環DP(u,v)。
}

分清楚\(low\)、\(dfn\)的含義便可。
因爲記錄了\(fa_u\)，基環DP中的扣環也很是容易：

tot = 0 ;
for(RG int x = v; x ^ u; x = fa[x]) q[++tot] = x ;
q[++tot] = u ;

例題

例一：BZOJ4316 小\(C\)的獨立集

題意：求仙人掌的最大獨立集。
題解：作一遍正常的樹形\(DP\)，遇到環則把環拉出來單獨作一遍。

例二：BZOJ1023 SHOI2008仙人掌圖

題意：求仙人掌的直徑。
題解：
一樣的作正常樹形\(DP\)，碰到環頂則把環拉出來。
問題變爲在環上選兩個點，使其權值與距離和最大。顯然單調隊列便可。

Part2 圓方樹

概況

圓方樹是基於仙人掌的一種特殊數據結構。
其中圓點即圖中原來的點，方點則表明一個點雙。
咱們沿用上面處理仙人掌\(DP\)的作法。
若是是生成樹上的邊，則直接相連。
不然，把環摳出來，爲這個環新建一個方點，將環上的點與此方點連邊。
板子與上面的仙人掌DP基本同樣就不放了。
那麼咱們就能夠在圓點上維護本來圖單點信息，方點上維護點雙信息了。

例題：BZOJ2125 最短路

題意：詢問\(Q\)次，每次詢問仙人掌上兩點的最短路。
題解：
考慮建出圓方樹，方點向圓點的連邊 邊權爲此點到環頂的最短距離。
那麼查詢兩點\((u,v)\)時，咱們求出其\(lca\)，而後討論：

• 若\(lca\)爲圓點，答案即爲：\(dis[u] + dis[v] - 2*dis[lca]\)
• 若\(lca\)爲方點，則\(u,v\)的\(lca\)爲一個點雙。
• 此時倍增找到\(u,v\)的點雙進入點\(u',v'\)，再求\(Dist(u',v')\)便可。

Part3 廣義圓方樹

概況

對於任意圖，相似圓方樹，能夠創建出廣義圓方樹。
廣義圓方樹與圓方樹的差異在與，特別的，對於兩個點的聯通量，也創建一個方點。
因此廣義圓方樹上只有圓-方邊。
創建的方法與普通圓方樹建法仍是有所不一樣：

void Tarjan(int u,int From) {
    low[u] = dfn[u] = ++ oo ; stk[++Top] = u ;
    for(int e = G1.head[u] ; e ; e = G1.t[e].next) {
        if(e == (From ^ 1)) continue ;
        int v = G1.t[e].to ;
        if(!dfn[v]) {
            Tarjan(v , e) ; low[u] = min(low[u] , low[v]) ;
            if(low[v] >= dfn[u]) {
                G2.add(++N , u) ; int x = 0 ;
                blg[N] = sum ; 
                do {
                    x = stk[Top] ;
                    G2.add(x , N) ; Top -- ; 
                }while(x ^ v) ; 
            }
        }
        else low[u] = min(low[u] , dfn[v]) ; 
    }return ;
}

特別要注意重邊的問題(原圖中不能有重邊或自環)，一樣時刻分清\(low\)、\(dfn\)的做用便可理解。

例題

BZOJ3331

題意：給定一張圖與一些點對路徑，對於每一個點，求出必須通過此點的點對路徑的數量。
題解
把廣義圓方樹建出來，那麼一個點對路徑上必須通過的點即圓方樹上對應路徑的圓點。
直接在廣義圓方樹上差分一下就好了。

UOJ30 Tourist

題意：給定一張圖，兩種操做：修改點權 或者 詢問兩點路徑上的點權最小值。
題解
首先把廣義圓方樹建出來，考慮用方點維護\(SCC\)中的點權最小值。
可是這樣建的話，修改一個圓點時須要把與其相連的方點所有修改一遍。
這很容易被卡成\(O(n^2)\)。
因此對於方點，咱們不維護對應的環頂(即廣義圓方樹中方點的父親)。
這樣修改的時候，咱們就只用修改父親。
查詢時，若是兩點的\(lca\)爲方點，額外與\(lca\)的父親(環頂)取\(min\)便可。

[APIO2018] 鐵人兩項

題意：求有多少點對\((s,c,f)\)，知足存在一條u -> c -> f且路每一個點只通過一次的路徑 的個數。
題解
顯然枚舉一下\(c\)，而後算它的貢獻。
考慮廣義圓方樹上從一個圓點出發的不重複路徑有哪些。
除了普通的樹上路徑外，還能夠在與此點處於同一個方點的那些點中選出兩個。
這個好像DP一下就好了？
兩遍dfs，第一遍考慮兒子的貢獻，第二遍考慮父親的貢獻。
大力討論一下，第二邊dfs的時候記得刪去當前子樹的貢獻，簡單轉移就好了。

Part3 虛樹

概況

其實與上面的圖論沒有半毛錢關係......
虛樹是指在原樹上選出一些點構出一棵新樹，並保證新樹與原樹形態、性質相同。
通常來講，對於多組詢問，若 \(\sum\) 點數 較小，
那咱們不如對於每次詢問構出虛樹，而後就能夠\(O(n)\)進行DP啦。

實現

其實比較簡單，注意父子關係的保持便可。
首先對原樹進行一遍\(dfs\)搞定全部點的 \(dfs\)序\(dfn\) 與 子樹結尾\(ed\) 。
那麼對於每次詢問，咱們把這些點摳出來，而後：

• 按照\(dfn\)從小到大\(sort\)。
• 把相鄰兩個點的\(lca\)加入點集中。(由於保持樹的形態須要這些點)
• 把 根結點 加入點集中。 (爲了使最後的虛樹聯通)
• 按照\(dfn\)再進行一遍\(sort\)。
• 維護一個\(dfs\)順序的棧，時刻保持棧頂結點爲當前入棧點的父子關係。
• 把入棧點與棧頂鏈接(前提是棧頂存在)，而後把入棧點入棧。
• 重複以上操做直到全部點入棧，此時虛樹構建完成，虛樹的根就是原樹的根。

代碼以下：

IL bool cmp(int a , int b) {return dfn[a] < dfn[b] ; }
IL void Build(){
    dfs(1 , 0) ; //求 dfn 與 ed
    get_query_node , put it in 'p[]' .
    sort(p + 1 , p + n + 1 , cmp) ; 
    for(int i = 1; i < n; i ++) p[i + n] = LCA(p[i] , p[i + 1]) ; 
    p[2*n] = 1 ; n = n * 2 ; 
    sort(p + 1 , p + n + 1 , cmp) ; Top = 0 ;  
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        while(Top && ed[stk[Top]] < dfn[p[i]]) -- Top ; 
        if(Top) G2.add(stk[Top] , p[i] , E<stk[Top],p[i]>) ; stk[++ Top] = p[i] ; 
    }return ; 
}

虛樹上的邊壓縮了原樹上的路徑信息。
特別注意，因爲咱們會在虛樹的邊上壓縮信息以供後續處理，
而咱們爲了保證虛樹聯通因此可能額外引入了原樹的根。
因此必定要考慮額外引入點對答案的影響，如有影響，則要刪去其貢獻！(高頻錯點)

例題

如下題目的通性：多組詢問，總點數 \(\leq\) \(n\)。

[SDOI2011]消耗戰

題意：一棵樹，邊有代價，每次詢問要求刪去最小代價的邊集，使得關鍵點不能到達根結點。
題解：
每次詢問建出虛樹，考慮如何\(O(n)\)進行\(DP\)。
貌似記錄一會兒樹內有無關鍵點，而後一路向上選擇切掉當前邊或累加兒子子樹最優解便可。

[HEOI2014]大工程

題意：
一棵樹，邊有邊權，每次詢問給出\(K\)個點，在它們之間修\(\binom{K}{2}\)條邊。
每次要求回答三個問題：(1)最長路 ; (2)最短路 ; (3)全部路徑的長度和是多少。
題解：
每次詢問建出虛樹。
最短路最長路基礎的直徑DP便可。路徑長度和考慮一下通過這條邊的點對數就好了。
特別注意最短路與最長路DP時，
起點與終點位置只能是詢問點(不能是引入點)，這個每一個點附初值時特殊處理一下就好了。

[SDOI2018]戰略遊戲

題意：一張圖，每次詢問給定點集，問有多少個點知足刪去後使得點集中任意兩點不聯通。
題解：
看到圖上連通性問題直接上圓方樹(那是什麼？上面就有......)
把圓方樹建出來，而後再建圓方樹的虛樹。
那麼答案就是"虛圓方樹"上除了詢問關鍵點外的圓點個數，直接建樹是統計便可。

[HNOI2014]世界樹

題意：
定義原樹上的一個點被其離的最近的關鍵點管轄。若距離相同則選擇編號小的。
對於每次詢問，給出一些關鍵點，試輸出每一個關鍵點管轄的點的數目。
題解：
首先把關鍵點建出虛樹。
那麼咱們是能夠O(n)DP出這些點的歸屬是吧。
這是經典的DP了，兩遍dfs，第一遍DP齣兒子最優值，第二遍再考慮父親。
而後考慮哪些沒有在虛樹中出現的點(都壓縮在邊上)。
對於虛樹上的邊，咱們分狀況討論：
若邊的兩端被同一個點管轄，那麼顯然這條邊上全部的點都歸那個點管轄。
若是兩端的點被不一樣的點管轄，那麼必定存在一個分界線。
咱們能夠倍增二分找到那個分界線，而後給兩個關鍵點加上對應貢獻便可。

CF809E Surprise me!

題意：
給定一棵 \(n\) 個節點的樹，個點有一個權值 \(a[i]\) ，保證 \(a[i]\) 是一個 \(1..n\) 的排列。

求 \[\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(a_i)·\varphi(a_j)·dist(i,j)\]

其中， \(\varphi(x)\) 是歐拉函數， \(dist(i,j)\) 表示 \(i,j\) 兩個節點在樹上的距離。
題解：
首先歐拉函數有個公式：\(\varphi(a*b) = \varphi(a)\varphi(b)\frac{d}{\varphi(d)}\)，其中\(d=gcd(a,b)\)。
因此式子化一化？
\[Ans = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{d=1}^n \frac{d}{\varphi(d)} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\ [gcd(a_i,a_j)=d]\ \varphi(a_i)\varphi(a_j)dist(i,j)\]
考慮後面這一坨東西：
\[f(d) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [gcd(a_i,a_j)=d]\ \varphi(a_i)\varphi(a_j)dist(i,j)\]
一種莫比烏斯反演既視感啊.....定義：
\[F(d) = \sum_{d|i} f(i) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [d|gcd(a_i,a_j)]\ \varphi(a_i)\varphi(a_j)dist(i,j)\]
那麼\(f(d) = \sum_{d|i} \mu(\frac{i}{d})F(i)\)。怎麼求\(F(d)\)？
貌似若是能\(O(n)\)求那麼總複雜度就是調和級數啊？
因此枚舉\(d\)，而後把知足\(a_i = kd\)的點拿出來進行虛樹DP。
\[E(d) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\varphi(a_i)\varphi(a_j)(dis_i + dis_j - dis_{LCA(i,j)})\]
維護一會兒樹內的\(\sum \varphi(u)\) 與子樹內的\(\sum dep_u\varphi(u)\)，而後在\(LCA\)處統計答案便可。

後記

終於寫完啦(QwQ)。 寫了這麼多，就是爲了證實學了這些毒瘤玩意後我還活着......