最小生成樹的一些證實

轉自：關於最小生成樹的一些理解

（1）       定義在一棵樹裏添加一條邊，並在產生的圈裏刪除一條邊叫作一次操做。（也就是說換掉一條邊而且保證結果是樹），則樹A和B是無向圖的兩個生成樹，則A能夠經過若干次操做變成B。

證：把樹看做邊的集合，若是B中有一條A沒有的邊，則把這條邊加到A上，A產生一個圈中至少有一條是B中沒有的邊，把這條邊刪掉，則A仍然是生成樹，A,B集合相同的邊多了一條，重複這個過程直到A B包含的邊相同。

 

注：這個命題比較容易證，它告訴咱們任何兩棵生成樹均可以經過不斷換邊獲得。（重要的是換邊的過程當中始終保持是樹。）

「能夠經過若干次操做」，這個「能夠」並無「特殊」的含義，也就是說咱們能夠隨便加一條B有而A沒有的邊，總能夠找到一條合適的邊刪掉。

 

（2）       把一個連通無向圖的生成樹邊按權值遞增排序，稱排好序的邊權列表爲有序邊權列表，則任意兩棵最小生成樹的有序邊權列表是相同的。（算法導論23.1-8）

 

證：設最小生成樹有n條邊，任意兩棵最小生成樹分別稱爲A, B, 若是e是一條邊，用w(e)表示該邊的權值。

A的邊按權值遞增排序後爲a₁, a₂,……a_n   w(a₁)≤w(a₂)≤……w(a_n)

B的邊按權值遞增排序後爲b₁, b₂,……b_n  w(b₁)≤w(b₂)≤……w(b_n)

設i是兩個邊列表中，第一次出現不一樣邊的位置，a_i≠b_i

不妨設w(a_i)≥w(b_i)

情形1  若是樹A中包含邊b_i，則必定有j>i使得  b_i=a_j ,事實上,這時有 w(b_i)=w(a_j)≥w(a_i) ≥w(b_i) 故 w(b_i)=w(a_j)=w(a_i)，在樹A的邊列表中交換邊a_i和 a_j的位置並不會影響樹A的邊權有序列表，兩棵樹在第i個位置的邊變成同一條邊。

 

情形2  樹A中並不包含邊b_i，則把b_i加到樹A上，造成一個圈，因爲A是最小生成樹，這個圈裏任意一條邊的權值都不大於w(b_i) ，另外，這個圈裏存在邊a_j不在樹B中。所以，有w(a_j)≤w(b_i)，且j>i (由於a_j不在B中)。因而，有w(b_i)≤w(a_i)≤w(a_j)≤w(b_i)，所以

w(a_i)= w(a_j) = w(b_i)。那麼在樹A中把a_j換成b_i仍然保持它是一棵最小生成樹，並不會影響樹A的邊權有序列表，而且轉換成情形1。

 

注：這個命題說明，若是無向圖的邊權都不相同，則最小生成樹是惟一的。可是其逆命題不成立。即若是無向圖的最小生成樹惟一，則無向圖的邊權是可能有相同的。例子，好比原圖自己就是一棵樹，而且有兩條邊的邊權相等。

 

（3）       A,B是同一個無向連通圖的兩棵不一樣的最小生成樹，則A能夠經過若干次（1）中定義的換邊操做，而且保證每次結果仍然是最小生成樹，最終轉換成B。

 

證：作法和（2）相似，也是要找一條樹B有可是樹A沒有的邊。事實上（2）的證實過程「情形2」的部分，就已經找到這樣一條邊了。按照（2）中給出的方法，就能夠把A轉換成B。

注：上述證實過程證得了和（1）中相似的結論，可是此時的「能夠」暫時有「特殊」的含義，至少證實中須要以必定的規則選邊。這顯得有點不「美觀」。那麼，是否能夠任意選邊呢？考慮任意選邊形成的「後果」：把任意一條B有而A沒有的邊加入到A，因爲A是最小生成樹，因此造成的圈裏全部的邊的權值都不大於新加的邊，那麼若是這個圈裏沒有其餘的這種權值的邊，換句話說，若是這個圈裏的這條邊是惟一權值最大的邊怎麼辦呢？或者，若是這個圈裏全部和這條邊權值相等的邊都也在B中，那麼該如何保證換邊後，A和B相同的邊數增多一條呢？下面證實，這些狀況不可能出現。

 

（4）       一個連通無向圖G,不會有一棵最小生成樹包含G的一個圈中所有最大權值的邊。

 

證：設圖的節點集合是V。反證，假設有一棵最小生成樹T包含G中某個圈的所有權值最大的邊，設其中一條邊是e, 則在樹中刪掉邊e，T-e是不連通的，它把節點分紅了兩部分（連通份量），A和B=V-A。在原圖G中，這條邊在一個圈C裏，且在C中權值是最大的。則(C-e)是G中一條路，這條路中有節點在A中，也有節點在B中，所以必然有一條邊e’，它一端在A中，一端在B中,顯然它不在T-e中。因而把e’加入到T-e中，這樣造成的是一棵樹T’。（|V|-1條邊的連通圖顯然是樹），而因爲w(e’)<w(e)，有w(T’)<w(T)，與T是最小生成樹矛盾。

 

注：特別地，若是一個圈中權值最大的邊惟一，則最小生成樹不包含這條邊。

（算法導論上習題23.1-5要證實：若是一條邊是一個圈中權值最大的邊，必定有一棵最小生成樹不包含它。由這個結論能夠馬上得出。當圈中最大權值的邊惟一時，算法導論上這個命題稍弱。）

至此證實了任何兩棵不一樣的最小生成樹A,B，能夠隨意選一條B有而A沒有的邊，添加到A上，由（4）的結論，造成的圈裏，至少有一條邊和這條新加的邊權值相同,而且它不在B中，刪掉它。這樣能夠最終把A轉化成B。

 

（5）       對於一個連通無向圖的生成樹，只考慮它的邊權，造成的有序邊權列表中，最小生成樹是有序邊權列表字典序最小的。（字典序就是一般的定義，兩個序列A,B的字典序相同當且僅當A=B。不然，序列A,B出現最先位置的不相等的元素時，若是序列A的該位置元素更小，則序列A字典序小，反之，則序列B的字典序更小。若是直到一個序列結束都沒有這樣的位置，則較短的序列字典序小）。

 

證：設A是一棵最小生成樹，而B是否是一棵最小生成樹。利用(2)的結論，由於任何最小生成樹的有序邊權列表是相同的，因此能夠用Krusal算法產生的最小生成樹的有序邊權列表。Krusal算法的優勢是按邊權順序加邊，而且當邊權相等時，只要不造成圈，加哪條邊均可以造成最小生成樹。把B的邊都按遞增順序排序：

B的邊按權值遞增排序後爲b₁, b₂,……b_n  w(b₁)≤w(b₂)≤……w(b_n)

用Krusal算法求原圖的一棵最小生成樹，

具體地，加第i條邊時(1≤i≤n),若是對該加的邊e，有w(e)=w(b_i),則選擇b_i代替e加入。不可能出現w(e)>w(b_i),由於Krusal算法是按邊權由小到大考慮加邊的，若是出現這種狀況，說明，選擇b_i加入是不合法的——會造成圈，而此時的圖是樹B的子圖，這與B是樹矛盾。

 

注：有了（2）的結論，結合Krusal算法的過程，知道Krusal算法加邊的順序構成的邊權列表就是一個有序邊權列表。因而，只考慮有序邊權列表時，能夠用Krusal算法產生的特殊的最小生成樹代替任何一棵最小生成樹。

 

若是一棵樹是最小生成樹，則對它採起一次（1）中的操做，顯然，它的總權值不減。那麼它的逆命題是否是成立？也就是若是說一棵生成樹，對它採起一次（1）中的操做後，它的總權值不減，它是不是最小生成樹？再換句話說，一棵非最小生成樹，是否必定能夠找到一條邊進行（1）中的操做後，總權值會減少？這個命題看起來是顯然的，可是是否有可能一棵非最小生成樹當前不管怎樣採起（1）中的操做都會形成總權值暫時的增大，而至少要操做兩次，才能把權值下降呢？答案是不會的。

 

（6）       一棵樹不是最小生成樹，則必定存在一個（1）中描述的操做，使得操做以後，它的總權值減少。

 

證：設A不是最小生成樹，A的邊按權值遞增排序後爲a₁, a₂,……a_n   w(a₁)≤w(a₂)≤……w(a_n)。利用Krusal算法，加第i條邊時(1≤i≤n),若是對該加的邊e_i，有w(e_i)=w(a_i),則選擇a_i代替e_i加入。直到第j次時(1≤j≤n)，有w(e_j)<w (a_j),則仍加入e_j,自此後仍執行普通的Krusal算法（即任意處理權值相同的邊），這樣生成的最小生成樹E，有w(e_j)<w( a_j) 且對全部1≤i<j有e_i=a_i，因爲權值遞增關係，e_j不在A中，那考慮把e_j加入到A中造成的圈，圈裏其餘任意的邊a_x,若w(a_x)≤w(e_j)<w (a_j),則有x<j，因而這些邊是在第j步以前和Krusal算法同樣加入的。所以，圈裏至少有一條邊a_y知足w(a_y)≥w (a_j)>w(e_j) （y≥j>x）,因而刪除a_y可讓A的總權值減少。

 

注：可見確實有這樣的操做。因而馬上得出如下結論：

 

（7）       一棵生成樹不是最小生成樹，則必定存在（1）中的操做，不斷進行把它轉換成一棵最小生成樹，並且每次操做後權樹的總權值都會減少。

 

證：由（6）知，存在一個這樣的操做，任選一個這樣的操做，總權值會減少。這樣不斷地進行下去，由於不一樣的生成樹的個數是有限的，因此總權值不可能一直減少下去，也不可能無限逼近與一個常數，最終可使其變成一棵最小生成樹。

 

注：由此可知，這種操做也是「任意」選邊的，並無特殊性。若是把一個圖的全部生成樹看做節點，把對每一個生成樹進行一次（1）中定義操做看做造成的樹做爲它的鄰居。

那麼綜合上述結論：造成的圖是個無向連通圖。任何「局部最優解」也是「全局最優解」(只進行一次操做不能減少總權值，則是最小生成樹，能夠隨意從任何一個「非最優勢」，保持權值減少地逐步達到「最優勢「)。

 

（8）       若是一棵生成樹，任何邊都在某棵最小生成樹上，則它不必定是最小生成樹。

反例：考慮一個長爲2，寬爲1的矩形。構造一個無向圖，節點就是矩形頂點，邊就是矩形的邊，邊權就是矩形邊長。顯然，原圖有兩棵最小生成樹（「兩寬與一長」），全部邊都在某棵最小生成樹上，可是有兩棵生成樹不是最小生成樹（「兩長與一寬」）。