最小生成樹

關於圖的幾個概念定義：

• 連通圖：在無向圖中，若任意兩個頂點vivi與vjvj都有路徑相通，則稱該無向圖爲連通圖。
• 強連通圖：在有向圖中，若任意兩個頂點vivi與vjvj都有路徑相通，則稱該有向圖爲強連通圖。
• 連通網：在連通圖中，若圖的邊具備必定的意義，每一條邊都對應着一個數，稱爲權；權表明着鏈接連個頂點的代價，稱這種連通圖叫作連通網。
• 生成樹：一個連通圖的生成樹是指一個連通子圖，它含有圖中所有n個頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。一顆有n個頂點的生成樹有且僅有n-1條邊，若是生成樹中再添加一條邊，則一定成環。
• 最小生成樹：在連通網的全部生成樹中，全部邊的代價和最小的生成樹，稱爲最小生成樹。 
  

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下面介紹兩種求最小生成樹算法

1.Kruskal算法

G=(V,E)，頂點數目共n個，令最小生成樹的初始狀態只有n個頂點無邊T=(V,TE)，TE爲空集，每一個頂點自成一格連通份量。在E中選擇代價最小的邊，若該邊依賦的兩個頂點在T中不一樣連通份量上，則加入該邊到T中，不然捨去，選擇下一條代價最小的邊。直到僅有一個連通份量爲止。

2.Prim算法

此算法能夠稱爲「加點法」，每次迭代選擇代價最小的邊對應的點，加入到最小生成樹中。算法從某一個頂點s開始，逐漸長大覆蓋整個連通網的全部頂點。

1. 圖G=(V,E)，T=(V,TE)是最小生成樹，U是最小生成樹所含的頂點集。
2. 初始，任取一頂點u加入U，U={u}，TE=空集。
3. 重複操做：找出U與V-U之間的一條最小邊（u，v），將v加入U，U=U並{v}，邊（u，v）加入TE，TE=TE並{（u，v）}，直到V=U爲止。
4. 最後獲得的T=(V,TE)就是G的一顆最小生成樹。