金融學-風險中性測度

風險中性測度是金融衍生產品訂價中一個很是關鍵的概念。對於你們衆所周知的Black Scholes訂價公式，能夠由兩種方法得出，其中一個是經過期權和現貨構造一個無風險的投資組合，經過構造出的組合和實際無風險標的的payoff一致性來推出期權價格所知足的一個偏微分方程，經過對偏微分方程的求解來得出期權價格。而另一個就是跟風險中性測度很是相關的鞅方法，經過構造一個風險中性測度，再對期權將來payoff經過風險中性測度求指望來獲得期權的價格。

那麼風險中性測度究竟是什麼呢？從比較嚴謹的角度講，就是經過風險中性測度進行折現的市場上的全部資產產品的價格都是鞅。而鞅是指一個隨機過程，他的在將來任意時間的取值的指望，等於如今的值。也就是說，若是資產產品的價格是鞅，那麼人們就沒法預測價格的將來走勢。用比較簡明的話來講，風險中性測度，就是一個資產的價格，該資產在某個事件發生時會有一個單位的無風險利率的payoff，而在其餘事件發生時的payoff是0 。咱們稱該資產爲Arrow資產。

而即使這樣說，也不是很可以理解，因此咱們經過風險中性測度的指望來進行闡述。假設一個資產，有n種可能產生的事件，那麼對於不一樣的事件該資產會有n種不一樣的payoff，其數值等於Y(n)個無風險利率的payoff，那麼咱們如何決定這個資產的價格呢？能夠採用複製payoff的方法，咱們對於每一個不一樣的事件，都用Y(n)個Arrow資產（若是事件發生payoff爲一個單位的無風險利率，其餘事件發生payoff爲0）進行復制，那麼最終的結果就是：

SUM（數量X價格）=SUM（Y(n)*p(n)）

其中p(n)是第n個用來複制的Arrow資產的價格，他知足測度的要求，因此能夠稱之爲風險中性測度，或是風險中性機率。而上述等式正好是Y經過風險中性測度取指望所得的值，而這樣理解時，p則是n發生的機率，也叫風險中性測度/機率。

風險中性測度和現實生活中實際的機率測度是等價的，即風險中性測度等於0的事件，在實際機率測度中也爲0，而在風險中性測度中大於0的事件，在實際機率測度中也大於0 。在上述風險中性測度的推導中，咱們使用Arrow資產進行訂價，其將來的payoff是以無風險利率爲單位進行衡量，其中無風險利率被稱爲numeraie，而咱們能夠經過對numeraie進行變化來使用其餘資產當作payoff的衡量單位，可是該資產必須是一個能夠交易的資產且他的價格過程必須是永遠大於零的。

對於風險中性測度，有兩個很是經典而有用的定理，第一個則是資產訂價基礎定理，包含兩個部分。第一部分說，若是一個市場上存在一個風險中性測度，那麼這個市場就是無套利的，也就是說，在使用Black Scholes公式進行訂價的時候，咱們已經假定了市場是無套利的，所以任何有偏離於BS公式所制訂價格的資產，理論上都會存在必定的套利機會，可是BS事實上還有一個隱含波動率的不肯定因素，這個部分較深，咱們在之後會慢慢介紹。第二部分說若是一個不存在套利的市場上有且只有一個風險中性測度，那麼這個市場就是完整的，即任何資產的價格都是能夠被複制的。

而第二個定理則是很是經典的Girsanov定理，對於：
\[ Z(t) = exp \begin{Bmatrix}- \int^t_0 \Theta(u). dW(u) - \frac{1}{2} \int^t_0|| \Theta(u)||^2du \end{Bmatrix} \]

\[ \widetilde{W}(t) = W(t) + \int^t_0 \Theta(u)du \]
其中Theta是一個多維的adapted隨機過程，W是一個布朗運動，咱們定義：
\[ \widetilde{P}(A) = \int_A Z(w)dP(w)for \quad all \quad A \in F \]

那麼Z在該測度下的指望是1，且上述定義的爲一個布朗運動。咱們能夠很容易觀察到該測度即爲風險中性測度的定義，和實際機率測度P等價，而新定義的布朗運動就是在風險中性測度定義下的布朗運動。經過上述定理咱們發現，風險中性測度相對於實際機率測度，改變的僅僅是測度的指望，而測度的二階矩波動率並無改變。

風險中性測度在衍生品的訂價中應用很是普遍，因此不光要對其有所耳聞，還要細緻的對其進行理解，而僅僅背下來BS公式，是沒法對其進行真正的理解的。