密碼學基礎（三）：非對稱加密（RSA算法原理）

什麼是RSA加密

加密和解密使用的是兩個不一樣的祕鑰，這種算法叫作非對稱加密。非對稱加密又稱爲公鑰加密，RSA只是公鑰加密的一種。

數字簽名 && 數字證書

現實生活中有簽名，互聯網中也存在簽名。簽名的做用有兩個，一個是身份驗證，一個是數據完整性驗證。數字簽名經過摘要算法來確保接收到的數據沒有被篡改，再經過簽名者的私鑰加密，只能使用對應的公鑰解密，以此來保證身份的一致性。

數字證書是將我的信息和數字簽名放到一塊兒，經由CA機構的私鑰加密以後生成。固然，不通過CA機構，由本身完成簽名的證書稱爲自簽名證書。CA機構做爲互聯網密碼體系中的基礎機構，擁有至關高級的安全防範能力，全部的證書體系中的基本條件就是CA機構的私鑰不被竊取。

CA證書的生成過程以下：

證書參與信息傳遞完成加密和解密的過程以下：

歐拉函數

互質關係：互質是公約數只有1的兩個整數，1和1互質，13和13就不互質了。 歐拉函數：表示任意給定正整數 n，在小於等於n的正整數之中，有多少個與 n 構成互質關係，其表達式爲：

其中，若P爲質數，則其表達式能夠簡寫爲：

狀況一：φ(1)=1;
1和任何數都互質，因此φ(1)=1；

狀況二：n 是質數， φ(n)=n-1;
由於 n 是質數，因此和小於本身的全部數都是互質關係，因此φ(n)=n-1；

狀況三：若是 n 是質數的某一個次方，即 n = p^k ( p 爲質數，k 爲大於等於1的整數)，則φ(n)=(p-1)p^(k-1);
由於 p 爲質數，因此除了 p 的倍數以外，小於 n 的全部數都是 n 的質數；

狀況四：若是 n 能夠分解成兩個互質的整數之積，n = p1 × p2，則φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2);
好比，φ(30)=φ(5×6)=φ(5)×φ(6)=4×2=8。此種狀況能夠經過"中國剩餘定理"證實，證實過程再也不本文討論範圍內。

狀況五：基於狀況四，若是 p1 和 p2 都是質數，且 n=p1 × p2，則φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)=(p1-1)(p2-1)
例如，φ(39) = φ(3×13) = φ(3)φ(13)=2 × 12 = 14;

而 RSA 算法的基本原理就是歐拉函數中的第五種狀況，即： φ(n)=(p1-1)(p2-1);

模反元素

若是兩個正整數 a 和 n 互質，那麼必定能夠找到整數 b，使得 ab-1 被 n 整除，或者說ab被n除的餘數是1。這時，b就叫作a的「模反元素」。歐拉定理能夠用來證實模反元素必然存在。

能夠看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a對模數n的模反元素。

RSA算法原理

一、隨機選擇兩個質數並計算乘積

n=p x q = 3233，3233寫成二進制是110010100001，一共有12位，因此這個密鑰就是12位。

在實際使用中，通常場景下選擇1024位長度的數字，更高安全要求的場景下，選擇2048位的數字，這裏做爲演示，選取p=61和q=53；

二、計算n的歐拉函數φ(n)。

由於n、p、q都爲質數，因此φ(n) = (p-1)(q-1)=60×52= 3120

三、隨機選擇一個整數e，條件是1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。

1< e <3120，注意，這裏是和φ(n) 互互質而不是n！假設選擇的值是17，即 e=17；

四、計算e對於φ(n)的模反元素 d

模反元素就是指有一個整數 d，可使得 ed 被 φ(n) 除的餘數爲1。表示爲：(ed-1)=φ(n)y --> 17d=3120y+1，算出一組解爲(2753,15)，即 d=2753，y=-15，也就是(172753-1)/3120=15。

注意，這裏不能選擇 3119，不然公私鑰相同.

五、生成結果

公鑰：(n,e)=(3233,2753) 私鑰：(n,d)=(3233,17)

爲何沒法破解

公鑰是公開的，也就是說 m=p*q=3233 是公開的，那麼怎麼求 e ？e 是經過模反函數求得，17d=3120y+1，e是公開的等於 17，這時候想要求d就要知道 3120，也就是 φ(n)，也就是 φ(3233)，說白了，3233 是公開的，你能對 3233 進行因數分解，你就能知道 d，也就能破解私鑰。

正常狀況下，3233 咱們能夠因數分解爲 61*53，可是對於很大的數字，人類只能經過枚舉的方法來因數分解，因此RSA安全性的本質就是：對極大整數作因數分解的難度決定了 RSA 算法的可靠性。換言之，對一極大整數作因數分解愈困難，RSA 算法愈可靠。

人類已經分解的最大整數是：

這我的類已經分解的最大整數爲 232 個十進制位，768 個二進制位，比它更大的因數分解，尚未被報道過，所以目前被破解的最長RSA密鑰就是 768 位。因此實際使用中的 1024 位祕鑰基本安全，2048 位祕鑰絕對安全。

RSA的加密和解密過程

已經得出公私鑰的組成： 公鑰：(n,e)=(3233,2753) 私鑰：(n,d)=(3233,17) 加密的過程就是

m^e ≡ c (mod n)
複製代碼

解密過程以下：

c^d ≡ m (mod n)
複製代碼

其中 m 是要被加密的數字，c 是加密以後輸出的結果，且 m < n ，其中解密過程必定成立能夠證實的，這裏省略證實過程。

總而言之，RSA的加密就是使用模反函數對數字進行加密和求解過程，在實際使用中由於 m < n必須成立，因此就有兩種加密方法：

• 分段加密

• 使用對稱加密加密原文，使用RSA加密對稱加密中使用的祕鑰

對稱加密和非對稱加密的區別和聯繫

對稱加密存在雖然快速，可是存在致命的缺點就是祕鑰須要傳遞。非對稱加密雖然不須要傳遞祕鑰就能夠完成加密和解密，可是其致命缺點是速度不夠快，不能用於高頻率，高容量的加密場景。因此纔有了二者的互補關係，在傳遞對稱加密的祕鑰時採用非對稱加密，完成祕鑰傳送以後採用對稱加密，如此就能夠完美互補。