非對稱加密算法-RSA算法

  加密算法分爲對稱加密算法和非對稱加密算法，其中非對稱加密算法做爲計算機通訊安全的基石，在保證數據安全方面起着重要的做用。而相對於對稱加密算法的易理解性，非對稱加密算法存在必定的難度。下面經過對RSA算法的剖析，讓咱們更好的理解非對稱加密算法的原理。

1、對稱加密算法和非對稱加密算法

一、對稱加密算法

  對稱加密算法：加密和解密都使用一樣規則（密鑰）的算法。

  (1)、A選擇某一種規則對信息進行加密；

  (2)、B使用同一規則(逆規則)對信息進行解密；

二、非對稱加密算法

  非對稱加密算法：加密和解密可使用不一樣的規則，只要這兩種規則之間存在某種對應關係便可。

  (1)、B根據算法生成兩把密鑰（公鑰和私鑰），其中私鑰是保密的，公鑰是公開的，供要與B通訊的其它人使用；

  (2)、A從B處獲取公鑰，並用它來加密；

  (3)、B獲得A加密後的信息，用私鑰進行解密，完成通訊；

2、RSA算法的數學基礎

一、互質關係

  互質又稱爲互素，若是兩個或兩個以上的整數的最大公約數是 1，則稱它們爲互質。好比7和10，他們最大的公約數是1，因此他們互質。8和10最大的公約數是2，因此他們不是互質。並非只有兩個質數才能造成互質。
  根據互質關係，能夠得出如下結論（後面歐拉函數會用到）：

• 兩個不一樣的質數必定互質。例如，2與七、13與19。
• 一個質數，另外一個不爲它的倍數，這兩個數互質。例如，3與十、5與 26。
• 1和任何一個天然數都互質。如1和9908。
• 2的冪和任何一個奇數都互質。如32和7五、256與315。
• 相鄰兩個天然數互質。如15與16。
• 相鄰兩個奇數互質。如49與51。

二、歐拉函數

  歐拉函數指的是對正整數n，求小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目，記做φ(n)。好比1至10中，與10造成互質關係的有1，3，7，9，因此φ(10)=4。
  歐拉函數通用公式爲（除n=1外，φ(1)=1）：
\[ φ(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})......(1-\frac{1}{p_r}) \\ n={p_1}^{k_1}*{p_2}^{k_2}......{p_r}^{k_r}，其中p_一、p_2......p_r爲質數 \]
  好比φ(20)=8計算過程以下：
\[ φ(20)=φ(2^2\times5)=20(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})=8 \]
  歐拉函數證實以下：

• 當n=1時，φ(1) = 1

   由於1與任何數都構成互質關係，則 φ(1) = 1 。

• 當n是質數，φ(n) =n-1

   由於質數與小於它的每個數，都構成互質關係，則φ(n) =n-1。如φ(5)=5-1=4。

• 當n是質數的某個次方，公式以下，其中p爲質數，k爲大於1的整數
  \[ φ(p^k) =p^k(1-\frac{1}{p}) \]
  由於質數的某個次方與除與質數的倍數外都造成互質關係，而質數的倍數1 * p、2 * p、3 * p、……、p^(k-1) * p，即有p^(k-1)個，則
  \[ φ(p^k) =p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})，如φ(5^3)=5^3(1-\frac{1}{5})=100。 \]

• 當n能夠分解成兩個互質的整數之積，
  \[ φ({p_1}\times{p_2})= φ(p_1)φ(p_2) \]
  該定理用到中國剩餘定理便可證實，具體過程可參考其它文檔。如φ(15)=φ(3 * 5)=φ(3) φ(5) =2 * 4 =8。
  根據以上推論，由於任意一個大於1的正整數，均可以寫成一系列質數的積，能夠推導出當n爲大於1的整數時：
  \[ n={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}...{p_r}^{k_r} \]

  \[ φ(n)=φ({p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}...{p_r}^{k_r}) \]

  \[ φ(n)=φ({p_1}^{k_1})φ({p_2}^{k_2})...φ({p_r}^{k_r}) \]

  \[ φ(n)={p_1}^{k_1}(1-\frac{1}{p_1}){p_2}^{k_2}(1-\frac{1}{p_2})...{p_r}^{k_r}(1-\frac{1}{p_r}) \]

  \[ φ(n)={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}...{p_r}^{k_r}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_r}) \]

  \[ φ(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_r}) \]

  以上即爲歐拉函數的通用計算公式。

三、歐拉定理

  歐拉定理也稱費馬-歐拉定理，指的是：若是兩個正整數a和n互質，則n的歐拉函數 φ(n) 可讓下面的等式成立。
\[ a^{φ(n)}=1(mod\ n) \]
  即a的φ(n)次方被n除的餘數爲1，或者說a的φ(n)次方減1，能被n整除。如7和5互質
\[ 7^{φ(5)}-1=7^4-1=2401-1=2400，能夠被5整除 \]

四、模反元素

  若是兩個正整數a和n互質，那麼必定能夠找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的餘數是1。這時，b就叫作a的模反元素。證實以下：
\[ a^{φ(n)}=a\times a^{φ(n-1)} = 1(mod\ n)，其中a^{φ(n-1)}就是a的模反元素 \]

3、RSA算法過程

一、生成密鑰對（公鑰和私鑰）

• 隨機找兩個質數a和b（a和b越大越安全），並計算他們的乘積n

  好比 a = 5 ，b = 11。計算他們的乘積 n = 5 * 11 = 55 ，轉化爲二進爲 110111，該加密算法即爲 6 位。本例子中是爲了計算方便，因此取的數比較小，實際算法是 1024 位 或 2048 位，位數越長，算法越難被破解。

• 計算n的歐拉函數m = φ(n)

  根據公式m = φ(55) = φ(5)φ(11) = (5-1)(11-1) = 40

• 隨機選擇一個整數e，條件是1<e<m，且e與m互質

  咱們隨機選擇e=17

• 計算e對於φ(n)（即m）的模反元素d

  即找一個整數 d，使得 (e * d ) % m = 1。 等價於 e * d - 1 = y * m ( y 爲整數） 找到 d ，實質就是對下面二元一次方程求解。 e * x - m * y = 1 。其中 e = 17，m = 40，17x - 40y = 1 這個方程能夠用"擴展歐幾里得算法"求解。具體求解過程略，算出一組整數解（x，y ）= （33，14），即 d=33。 到此密鑰對生成完畢。不一樣的e生成不一樣的d，所以能夠生成多個密鑰對。

  本例中公鑰爲（n，e) = (55 , 17)，私鑰爲（n，d) = (55 ，33) ，僅（n，e) =(55 , 17)是公開的，其他數字均不公開。能夠想像若是隻有 n 和 e，如何推導出 d，目前只能靠暴力破解，位數越長，暴力破解的時間越長。

二、加密生成密文

  對明文z採用公鑰（n，e)進行加密，其中明文必須轉換爲數字，且必須比n小。加密的公式以下：
\[ z^e=c(mod\ n) \]
  其中z爲明文，n和e爲公鑰，c爲加密後的密文，因此c能夠轉換爲：
\[ c=z^e \% n \]
  假如明文爲15，公鑰（n，e) = (55 , 17)，則加密後的密文c爲：
\[ c=15^{17}\%55=5 \]

三、解密生成明文

  對密文c採用公鑰（n，d)進行解密，解密的公示以下：
\[ c^d=z(mod\ n) \]
  其中c爲密文，n和d爲私鑰，z爲解密後的明文，因此z能夠轉換爲：
\[ z=c^d\%n \]
  根據上述條件，密文c爲5，私鑰（n，d) = (55 ，33) ，則解密後的明文z爲：
\[ z=5^{33}\%55=15 \]

4、RSA算法有效性證實

一、有效性問題

  根據上述RSA算法示例，要驗證RSA算法的有效性，即驗證根據加密公式：
\[ z^e=c(mod\ n) \]
  能夠推導出，解密公式是有效的：
\[ c^d=z(mod\ n) \]

二、證實過程

  根據加密規則，能夠推導出：
\[ c= z^e - kn \]
  將上述式子代入解密公式，即求證如下式子成立：
\[ (z^e-kn)^d = z(mod\ n) \]

\[ z^{ed} = z(mod\ n) \]

• 當z與n互質時

  根據歐拉定理
  \[ z^{φ(n)} = 1(mod\ n) \]
  則能夠推出
  \[ z\times {(z^{φ(n)})}^p=z(mod\ n) \]

  \[ z^{1+pφ(n)}=z(mod\ n) \]

  因爲
  \[ ed = 1(mod\ φ(n)) \]

  \[ ed = 1+pφ(n) \]

  因此能夠推導出
  \[ z^{ed} = z(mod\ n) \]

• 當z與n不爲互質時

  由於n=a*b，其中a和b都爲質數。由於z和n不爲互質，則z和n一定有一個公約數，因爲n爲兩個質數a和b的乘積，則z必定爲a或b的倍數，記做ka或者kb。

  假定z=ka(a=kb同理)。因爲b爲質數，若是k爲b的倍數，即k=hb，則z=hab，其中h爲正整數，則推導出z大於n，可是根據條件被加密的明文必須小於n，因此能夠推導出k不是b的倍數，因爲b爲質數，因此能夠推斷出k和b互質，同理，推導出ka與b互質，即z與b互質。

  根據歐拉定理，可知下列式子成立：
  \[ z^{φ(b)}≡1(mod\ b) \]
  可推導出：
  \[ z^{φ(b)}=(ka)^{φ(b)}=(ka)^{b-1}≡1(mod\ b) \]
  對於一個數求餘結果爲1，那麼它的n次方，求餘也爲1。根據這個定理，可推導出：
  \[ {[(ka)^{b-1}]}^{h(a-1)}≡1(mod\ b) \]

  \[ {[(ka)^{b-1}]}^{h(a-1)}\times ka≡ka(mod\ b) \]

  \[ {(ka)}^{ed}≡ka(mod\ b) \]

  \[ {(ka)}^{ed}=ka+ob \]

  因爲兩名等式成立，且a與b互質，能夠推導出o必定爲a的倍數，即0=ja，可推導出：
  \[ {(ka)}^{ed}=ka+ob=ka+jab \]
  由於z=ka，n=ab，因此能夠退出：
  \[ z^{ed}≡z(mon\ n) \]

5、RSA算法的安全性

  RSA算法的安全性，是基於目前的條件下，在空間和時間上，沒法對它進行有效破解。

  根據上述推導，RSA算法用到a、b、n、m、e、d六個數字。其中公鑰(n，e)是公開的，其他的4個數字是保密的。其中密鑰d是算法的核心。

• e*d ≡ 1 (mod m)。其中e是公開的，那就須要知道m，才能算出d。
• 根據公式φ(n)=(a-1)(b-1)=m，要計算出m，必須知道a和b。
• n=ab。只有將n因數分解，才能算出a和b。

  目前對於大數的因數分解，除了暴力破解，沒有更好的途徑。以現有的計算資源和能力，目前能被破解的最長RSA密鑰就是768位，因此只要保證RSA密鑰是1024位及以上，便可保證算法的安全性。

6、總結

一、RSA算法流程

二、RSA算法安全性

  目前對於大數的因數分解，除了暴力破解，沒有更好的途徑。以現有的計算資源和能力，目前能被破解的最長RSA密鑰就是768位，因此只要保證RSA密鑰是1024位及以上，便可保證算法的安全性。

三、RSA算法應用

  在RSA算法中，公鑰(n,e) 只能加密小於n的整數。對於大於n的整數，能夠採用兩種方法。一是把長信息分割成若干段短消息，每段分別加密；另外一種是先選擇一種對稱性加密算法加密信息，再用RSA公鑰加密對稱性加密算法的密鑰。

  另外，因爲RSA算法性能問題，一般加解密都比較慢，因此一般和對稱性加密算法一塊兒配合使用。