Python小白的數學建模課-B6. 新冠疫情 SEIR 改進模型

時間 2021-07-23

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傳染病的數學模型是數學建模中的典型問題，常見的傳染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。html

SEIR 模型考慮存在易感者、暴露者、患病者和康復者四類人羣，適用於具備潛伏期、治癒後得到終身免疫的傳染病。python

本文詳細給出了幾種改進 SEIR 模型微分方程的思路、建模、例程和結果，讓小白學會模型分析與改進。編程

『Python小白的數學建模課 @ Youcans』帶你從數模小白成爲國賽達人。數組

Python小白的數學建模課-09.微分方程模型
 Python小白的數學建模課-B2.新冠疫情 SI模型
 Python小白的數學建模課-B3.新冠疫情 SIS模型
 Python小白的數學建模課-B4.新冠疫情 SIR模型
 Python小白的數學建模課-B5.新冠疫情 SEIR模型
 Python小白的數學建模課-B6.改進 SEIR疫情模型網絡

1. SEIR 基本模型

1.1 SEIR 模型的結構

SEIR 模型考慮存在易感者（Susceptible）、暴露者（Exposed）、患病者（Infectious）和康復者（Recovered）四類人羣，適用於具備潛伏期、治癒後得到終身免疫的傳染病。易感者（S 類）被感染後成爲潛伏者（E類），隨後發病成爲患病者（I 類），治癒後成爲康復者（R類）。這種狀況更爲複雜，也更爲接近實際狀況。ide

SEIR 模型的倉室結構示意圖以下：函數

1.2 SEIR 模型的假設

考察地區的總人數 N 不變，即不考慮生死或遷移；大數據
人羣分爲易感者（S 類）、暴露者（E 類）、患病者（I 類）和康復者（R 類）四類；spa
易感者（S 類）與患病者（I 類）有效接觸即變爲暴露者（E 類），暴露者（E 類）通過平均潛伏期後成爲患病者（I 類）；患病者（I 類）可被治癒，治癒後變爲康復者（R 類）；康復者（R類）得到終身免疫再也不易感；3d
將第 t 天時 S 類、E 類、I 類、R 類人羣的佔比記爲 \(s(t)\)、\(e(t)\)、\(i(t)\)、\(r(t)\)，數量分別爲 \(S(t)\)、\(E(t)\)、\(I(t)\)、\(R(t)\)；初始日期 \(t=0\) 時，各種人羣佔比的初值爲 \(s_0\)、\(e_0\)、\(i_0\)、\(r_0\)；
日接觸數 \(\lambda\)，每一個患病者天天有效接觸的易感者的平均人數；
日發病率 \(\delta\)，天天發病成爲患病者的暴露者佔暴露者總數的比例；
日治癒率 \(\mu\)，天天被治癒的患病者人數佔患病者總數的比例，即平均治癒天數爲 \(1/\mu\)；
傳染期接觸數 \(\sigma = \lambda / \mu\)，即每一個患病者在整個傳染期內有效接觸的易感者人數。

1.3 SEIR 模型的微分方程

\[\begin{cases} \begin{align*} & \frac{ds}{dt} = -\lambda s i, &s(0)=s_0\\ & \frac{de}{dt} = \lambda s i - \delta e, &e(0)=e_0\\ & \frac{di}{dt} = \delta e - \mu i, &i(0)=i_0 \end{align*} \end{cases} \]

2. 基於 SEIR 模型研究新冠疫情

2.1 基於 SEIR 模型的新冠疫情研究論文

2019年12月，武漢市出現新冠疫情（COVID-19）病例；2020年初，新冠疫情（COVID-19）在中國迅速蔓延。隨着嚴格的防疫措施，新冠疫情在中國整體被基本抑制；以後雖然在國內部分地區有零星散發，但均較快獲得控制，這都得益於疫情早期的防控。

所以，在疫情暴發早期迅速採起有效的防控措施，對於新冠疫情的防控具備重要做用。對疫情暴發與衰退進行精準預測，對防控措施的效果進行定量分析，爲研判疫情傳播發展態勢、科學實施疫情防控，積極穩妥恢復平常工做和生活，具備重要的理論意義和現實意義。

國內外學者開展了大量的疫情傳播和疫情防控的研究，這些研究主要是基於 SEIR 模型，並根據新冠疫情的病理特徵及傳播特色，對模型進行各類改進，使模型與實際狀況更加吻合，以便更準確地預測疫情發展趨勢。

2020年1月，英國 Jonathan 等估計武漢市 2月4日感染病例將達到 19萬例，高估了疫情發展態勢。2020年1月，西安交通大學 Shen 等估計新冠疫情的基本再生數，預測最終感染人數在 2萬人之內，明顯低於公佈的疫情數據。2020年1月31日，香港學者 Wu 等推測 1月25日感染人數超過6000，高於25日公佈的確診人數 1985例。

2020年 3月，鍾南山院士團隊在《Journal of thoracic disease》發表論文「Modified SEIR and AI prediction of the epidemics trend of COVID-19 in China under public health interventions（基於改進 SEIR 和 AI 模型對公共衛生干預下的 COVID-19 暴發趨勢預測）「，採用改進的 SEIR 模型來預測新冠疫情的發展。

該文結合 2020年 1月23日先後的人口遷移數據及最新的 COVID-19 流行病學數據，對 SEIR 模型參數進行估計和校訂，由此預測疫情發展的走勢，與實際報告數據的吻合度較高。

基於該模型的研究認爲，按照目前的干預措施疫情將在 2月28日達到峯值，4月底逐漸平緩，最終感染人數將達到 122,122 （89741～156794）人；若是干預措施能提前 5天，感染人數將減小 2/3 ，估計僅 40,991人；但若是干預措施推遲 5天，預計疫情規模將增長 3倍，感染人數會達到 351,874人。

該文指出，若是繼續嚴格的管控政策，提升診斷水平，推出使用藥物，疫情規模將獲得極大控制；若是當即在湖北省解除隔離，將在 3月中旬出現第二次疫情高峯，並使疫情延至 4月底，所以建議繼續採起有力措施進行防控。

該文是 2月27日投稿，文中數據基於2月9日（當時國內確診35,982例）。4月30日國內公佈累計確診 84,385例，疫情獲得有效控制，都在本文的預測範圍以內。

2020年 2月，中山大學胡延慶團隊在《科學通報》發表論文「新型冠狀病毒傳播的數學模型與預測」，採用分階段滾動 SEIR 模型對防控措施的效果進行分析，經過新冠疫情數據估算天然基本再生數爲 2.57，對疫情發展趨勢進行了預測，預計最終全國除湖北省之外的累計感染人數近 14000（到2020年末實際爲 18922），除武漢市之外的累計感染人數近 32000（到2020年末實際爲 36717）。

2020年 2月，西安交通大學呂軍團隊論文「基於 SEIR模型分析相關干預措施在新型冠狀病毒肺炎疫情中的做用」，對 SEIR模型加入潛伏期傳染率、感染人羣變化率等參數，經過新冠疫情數據估算基本再生數爲 2.4～2.7。基於模型分析防控手段的有效性，模型顯示基於嚴格限制出行的隔離措施可以減緩疫情發展的趨勢，使潛伏和感染人羣的峯值分別下降 45. 7%、29. 9%。所以，疫情一旦暴發應及時採起相應等級的應急響應措施，及時出臺強力的管控舉措，及早限制出行、居家隔離、提示及強制出行戴口罩等防禦措施切斷病毒傳染途徑，大幅度減小潛伏和感染人羣與易感人羣的接觸人數，以減緩疫情發展及減小疫情峯值發病人數。

此外，深圳大學林俊鋒的論文「基於引入隱形傳播者的 SEIR 模型的 COVID-19 疫情分析和預測」，考慮未監測、未隔離的病毒攜帶者，在 SEIR 模型中引入隱形傳播者（Undiscovered），提升了 SEIR 模型的精度。

中南大學李東傑團隊的論文「基於改進傳染病動力學易感-暴露-感染-恢復模型 (SEIR) 預測新型冠狀病毒肺炎疫情」，基於 SEIR 模型並經過易感人羣減小率來反映政府管控措施的效果。

長安大學董是等的論文「基於系統動力學模型的 2019冠狀病毒病早期防控機制研究」，以廣義 SEIR 模型爲基礎，引入易感人羣、不易感人羣、暴露人羣（已感染但尚不具備傳染性，處於潛伏狀態）、感染人羣（具備傳染性，還沒有隔離）、隔離人羣（已感染和確診）、恢復人羣和死亡人羣 7個不一樣狀態，以中國、美國、英國、澳大利亞、塞爾維亞和意大利的疫情暴發早期數據對模型參數進行擬合。在此基礎上對嚴格集中管控模式和有限防控模式進行對比分析，認爲在疫情暴發的早期，提升保護率、下降感染率，縮短檢疫時間，採起嚴格的隔離政策能夠有效抑制疫情的傳播與擴散。

本文附錄參考文獻中給出了一些使用 SEIR 及其改進模型進行新冠疫情研究的論文。

2.2 針對新冠疫情的 SEIR 模型改進

分析和總結這些基於 SEIR 模型研究新冠疫情的論文，主要有三個方面的內容：一是對 SEIR 模型的改進，二是對模型參數的估計，三是對疫情傳播和防控措施的預測。這也是傳染病動力學模型進行疫情傳播研究的基本路徑。本節主要討論 SEIR 模型d 改進。

SEIR 模型的假設比 SI、SIS、SIR 模型更加複雜，也更符合實際狀況，於是模型結果每每也與實際數據更爲接近。但即使如此，相對於特定傳染病、實際疫情的具體狀況，SEIR 模型的基本假設仍然存在問題與不足。

發現特定傳染病和實際疫情的具體狀況，在 SEIR 模型的基礎上，考慮新的因素，就能夠對 SEIR 模型進行改進。大致來講，對於 SEIR 模型的改進主要有如下幾個方面：

一是對於模型結構的改進，主要是對人羣類型的細分。

SIR 模型較 SI 模型增長了康復者（R類），SEIR 模型較 SIR模型增長了潛伏者（E類）。相似地，結合新冠疫情傳播和防控的特徵，能夠並且須要對人羣進行進一步的細分。

「早發現、早診斷、早隔離、早治療」是新冠疫情防控的關鍵措施。儘早發現患病者和還沒有發病的潛伏者，對其進行隔離，能夠大幅下降日接觸數、傳染期接觸數。所以，潛伏者處於檢出後的隔離狀態仍是未檢出的正常活動狀態，對於疫情傳播的影響是具備本質差別的，由此能夠在 SEIR模型中引入「隱形傳播者（Undiscovered）」。

進一步地，能夠考慮增長隔離易感者、隔離接觸者、住院患者，並考察不一樣人羣之間的動力學關係。

新冠疫情患病者有必定的病死率，能夠考慮增長病死者人羣（Death），根據病死率數據創建患病者與病死者的動力學關係。

又如，考慮不一樣人羣對病毒的抵抗力不一樣，於是被感染的機率不一樣，能夠細分嬰兒、老人人羣，對其設定較高的接觸感染率；考慮不一樣人羣病死率的不一樣，能夠對具備基礎病的患者設置較高的病死率。

因而可知，只要認真分析新冠疫情發病機制的特徵，分析所考察區域和階段的特色，就能夠發現區別於 SEIR 的特徵人羣，進而提出新的細分人羣，從而對 SEIR 模型進行改進。固然，有些細分人羣對於結果影響並不大，或者很難找到該細分人羣與其它人羣的動力學關係，因此並非說人羣分的越多越好。

二是對疫情傳播特徵的改進，就是給微分方程表達式增長修正項。

SEIR 模型是單向模型，是對實際問題的簡化，便於分析和求解。考慮新冠疫情發病機制和傳播特色，能夠對各種人羣之間的傳播特性進行更科學、更細緻的研究。

例如，新冠疫情的重要病理特徵是在潛伏期具備傳染性，發病後 5天內傳染性較強。實際上，隨着疫情發展，患病者基本被收治隔離，日接觸數極低，這時疫情主要是經過潛伏者與易感者的接觸傳播的。針對這一特徵，SEIR 模型中僅考慮易感者與患病者接觸後感染顯然是重大的缺陷，須要考慮易感者與潛伏者接觸後感染的影響。

又如，新冠疫情中發現患病治癒者具備免疫期，不是終身免疫，所以能夠增長康復者向易感者轉變的鏈接路徑；疫情中發現一些潛伏者（暴露者）不必定都轉變爲患病者，而是也可能回到易感者，所以能夠增長潛伏者人羣返回易感者人羣的鏈接路徑。鍾南山團隊論文，就是在 SEIR 模型基礎上，基於進行隔離與解除隔離的數據而增長了易感者與潛伏者的雙向轉換路徑。

微分方程的表達式是各種人羣之間動力學關係的反映，是對倉室模型中各種人羣相互聯繫和轉換特徵的數學描述。基於改進模型提出各種人羣之間新的轉換關係，就是在微分方程表達式中增長一個修正項，來描述兩個倉室之間的動力學關係。後文將對此案例進行具體分析。

三是對基本假設的完善，就是補充或修正原有的假設。

模型的基本假設都是對實際問題的抽象和簡化。至於簡化是否合理，就是仁者見仁智者見智的事情了。通常來講，經典模型、基本模型都是對廣泛問題的抽象，結合具體實際問題的特色來考慮就顯得不盡合理、完善，所以能夠進行補充或修正。

例如，基本假設考察地區的總人數 N 不變，即不考慮生死或人口流動。對於嚴重的、長期的疫情，也能夠生死的影響。而疫情發生後人口流動幾乎是必然的，也是疫情傳播的主要途徑，疫情防控的主要措施。所以，結合交通流大數據，考慮人流遷移的影響，是研究疫情傳播重要內容。

又如，SEIR 模型中對日接觸數、日發病率、日治癒率設定爲常數，考慮新冠疫情的具體狀況，這些參數能夠是分段的（不一樣人羣、不一樣階段），能夠是時變的，也能夠是某種函數。

最後，須要指出的是，針對新冠疫情而對 SEIR 模型的改進，有的是很是重要並對結果產生重大影響的，例如潛伏期的傳染性、對密切接觸者的隔離、人員流動的影響；有的則不會有多大影響，反而使模型更爲複雜，只能說也是一種探索和嘗試吧。

可是，從數學建模和數模競賽的角度來看，咱們是一個練習而不是研究，只要仔細觀察、認真思考，就能對人羣更加細分，對某種傳播特性給出數學描述，從而提出本身的「改進的 SEIR模型「。再與現有 SEIR 模型作一些比較，與實際數據作一些比對，就很容易寫出一篇「較高水平」的數模論文。

說白了，這就是爲了改進而改進。但對於小白來講，仍是頗有價值的訓練。

3. 考慮潛伏期傳染性的 SEIR 改進模型

3.1 改進模型的假設和微分方程

考慮新冠疫情在潛伏期具備傳染性，易感者（S 類）除了與患病者（I 類）有效接觸而被感染，與潛伏者（E類）有效接觸也有可能被感染而轉變爲潛伏者（E類）。

對 SEIR 模型增長假設：

潛伏者日接觸數 \(\lambda_2\)，每一個潛伏者天天有效接觸的易感者的平均人數。

能夠創建以下微分方程：

\[\begin{align} & N \frac{ds}{dt} = - N \lambda s i - N \lambda_2 s e\\ & N \frac{de}{dt} = N \lambda s i + N \lambda_2 s e - N \delta e\\ & N \frac{di}{dt} = N \delta e - N \mu i\\ & N \frac{dr}{dt} = N \mu i\\ \end{align} \]

得：

\[\begin{cases} \begin{align*} & \frac{ds}{dt} = -\lambda s i - \lambda_2 s e, &s(0)=s_0\\ & \frac{de}{dt} = \lambda s i + \lambda_2 s e - \delta e, &e(0)=e_0\\ & \frac{di}{dt} = \delta e - \mu i, &i(0)=i_0 \end{align*} \end{cases} \]

3.2 odeint() 求解 SEIR 模型的編程步驟

導入 scipy、numpy、matplotlib 包。
定義導數函數 \(f(y,t)\)。改進模型只是在 SEIR 模型微分方程中增長了一個修正項，具體編程並無很大區別，如下給出例程以供對比。

SEIR 模型的微分方程導數函數

def dySEIR(y, t, lamda, delta, mu):  # SEIR 模型，導數函數
    s, e, i = y
    ds_dt = - lamda*s*i  # ds/dt = -lamda*s*i
    de_dt = lamda*s*i - delta*e  # de/dt = lamda*s*i - delta*e
    di_dt = delta*e - mu*i  # di/dt = delta*e - mu*i
    return np.array([ds_dt,de_dt,di_dt])

SEIR 改進模型的微分方程導數函數

def dySEIR2(y, t, lamda, lam2, delta, mu):  # SEIR2 模型，導數函數
    s, e, i = y
    ds_dt = - lamda*s*i - lam2*s*e # ds/dt = -lamda*s*i - lam2*s*e
    de_dt = lamda*s*i + lam2*s*e - delta*e  # de/dt = lamda*s*i - delta*e
    di_dt = delta*e - mu*i  # di/dt = delta*e - mu*i
    return np.array([ds_dt,de_dt,di_dt])

Python 能夠直接對向量、向量函數進行定義和賦值，使程序更爲簡潔。但考慮讀者主要是 Python 小白，又涉及到看着就心煩的微分方程組，因此咱們寧願把程序寫得累贅一些，便於讀者將程序與前面的微分方程組逐項對應。

定義初值 \(y_0\) 和 \(y\) 的定義區間 \([t_0,\ t]\)，注意初值爲數組向量 \(y_0=[s_0,e_0,i_0]\)。
調用 odeint() 求 \(y\) 在定義區間 \([t_0,\ t]\) 的數值解。

3.3 Python 例程：考慮潛伏期傳染性的 SEIR 改進模型

# modelCovid5_v1.py
# Demo01 of mathematical modeling for Covid2019
# Improved SEIR model for epidemic diseases (改進的 SEIR 模型)
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-06-16
# Python小白的數學建模課 @ Youcans

# 1. SEIR2 模型，考慮潛伏期具備傳染性
from scipy.integrate import odeint  # 導入 scipy.integrate 模塊
import numpy as np  # 導入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt  # 導入 matplotlib包

def dySEIR(y, t, lamda, delta, mu):  # SEIR 模型，導數函數
    s, e, i = y
    ds_dt = - lamda*s*i  # ds/dt = -lamda*s*i
    de_dt = lamda*s*i - delta*e  # de/dt = lamda*s*i - delta*e
    di_dt = delta*e - mu*i  # di/dt = delta*e - mu*i
    return np.array([ds_dt,de_dt,di_dt])

def dySEIR2(y, t, lamda, lam2, delta, mu):  # SEIR2 模型，導數函數
    s, e, i = y
    ds_dt = - lamda*s*i - lam2*s*e # ds/dt = -lamda*s*i - lam2*s*e
    de_dt = lamda*s*i + lam2*s*e - delta*e  # de/dt = lamda*s*i - delta*e
    di_dt = delta*e - mu*i  # di/dt = delta*e - mu*i
    return np.array([ds_dt,de_dt,di_dt])

# 設置模型參數
number = 1e5  # 總人數
lamda = 1.0  # 日接觸率, 患病者天天有效接觸的易感者的平均人數
lam2 = 0.25  # 日接觸率2, 潛伏者天天有效接觸的易感者的平均人數
delta = 0.05  # 日發病率，天天發病成爲患病者的潛伏者佔潛伏者總數的比例
mu = 0.05  # 日治癒率, 天天治癒的患病者人數佔患病者總數的比例
sigma = lamda / mu  # 傳染期接觸數
fsig = 1-1/sigma
tEnd = 200  # 預測日期長度
t = np.arange(0.0, tEnd, 1)  # (start,stop,step)
i0 = 1e-3  # 患病者比例的初值
e0 = 0  # 潛伏者比例的初值
s0 = 1-i0  # 易感者比例的初值
Y0 = (s0, e0, i0)  # 微分方程組的初值

# odeint 數值解，求解微分方程初值問題
ySEIR = odeint(dySEIR, Y0, t, args=(lamda,delta,mu))  # SEIR 模型
ySEIR2 = odeint(dySEIR2, Y0, t, args=(lamda,lam2,delta,mu))  # SEIR2 模型

# 輸出繪圖
print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))
plt.title("Comparison between SEIR and improved SEIR model")
plt.xlabel('t-youcans')
plt.axis([0, tEnd, -0.1, 1.1])

plt.plot(t, ySEIR2[:,0], '-g', label='s(t)-iSEIR')  # 易感者比例
plt.plot(t, ySEIR2[:,1], '-b', label='e(t)-iSEIR')  # 潛伏者比例
plt.plot(t, ySEIR2[:,2], '-m', label='i(t)-iSEIR')  # 患病者比例
# plt.plot(t, 1-ySEIR2[:,0]-ySEIR2[:,1]-ySEIR2[:,2], '-b', label='r(t)-iSEIR')
plt.plot(t, ySEIR[:,0], '--g', label='s(t)-SEIR')
plt.plot(t, ySEIR[:,1], '--b', label='e(t)-SEIR')
plt.plot(t, ySEIR[:,2], '--m', label='i(t)-SEIR')
# plt.plot(t, 1-ySEIR[:,0]-ySEIR[:,1]-ySEIR[:,2], '--m', label='r(t)-SEIR')
plt.legend(loc='upper right')  # youcans
plt.show()

3.4 SEIR 改進模型的結果

上圖是對 SEIR 改進模型與 SEIR模型結果的比較，圖中實線爲 SEIR 改進模型、虛線爲 SEIR 模型，不一樣顏色分別表示易感者比例 s(t)、潛伏者比例 e(t) 和患病者比例 i(t)。

圖中，SEIR 改進模型潛伏者比例 e(t)、患病者比例 i(t) 出現的峯值比 SEIR 模型更早、更強，易感者比例 s(t) 下降的更快，但最終也都趨於穩定。這是因爲 SEIR 改進模型假設潛伏者在潛伏期的日接觸數 \(\lambda_2\)，至關於在整體上增大了日接觸數。所以SEIR 改進模型的結果，與在 SEIR 模型中增大日接觸率 \(\lambda\) 的狀況是相似的，能夠參見《B5-SEIR疫情模型》中的圖3.2。

4. 基於 SEIR 改進模型的防控措施分析

4.1 對患病者實施隔離措施的影響

上圖中 SEIR 改進模型與 SEIR 模型的結果雖然有差異，但差異並不大。若是增大 SEIR 模型中的日接觸率 \(\lambda\) ，也能獲得相似的結果。換個角度看，若是用實際疫情數據來擬合模型參數，SEIR 模型也能達到很好地擬合，只是在估計的日接觸率參數中反映了潛伏者的日接觸數的影響。

但若是考慮對患病者進行隔離的防控措施，則狀況將會出現很大變化。假設對患病者進行有效隔離——這是最基本、最廣泛的傳染病防控措施，使患病者的日接觸率 \(\lambda\) 下降到未隔離時的20%，而潛伏者在潛伏期的日接觸數 \(\lambda_2\)不變。

上圖是對 SEIR 改進模型與 SEIR模型結果的比較，所用的模型和程序與上圖相同，只是考慮對患病者進行有效隔離而將患病者的日接觸率 \(\lambda\) 從 1.0 下降爲 0.2。

此時，改進 SEIR 模型與 SEIR 模型的差別較上圖顯著增大。由於患病者的有效傳染數因爲隔離而大幅下降，SEIR模型中的疫情大爲緩解。若是考慮實際上患病者隔離先後的日接觸率的差別更大，採用更小的日接觸率 \(\lambda\) ，則疫情很容易受到控制。

可是，在 SEIR 改進模型中，雖然患病者的有效傳染數也因爲隔離而下降，但潛伏者的有效傳染數未受控制而不變，所以疫情較上圖（患病者未隔離）雖有推遲和減輕，但仍然很是嚴重。

以上的分析說明：一方面，對於潛伏期具備傳染性的傳染病，必須使用 SEIR改進模型，考慮潛伏者的日接觸數，才能更真實地反映疫情傳播特色；另外一方面，在疫情防控中，不只要及時對患病者採起隔離措施，也要對潛伏者採起隔離措施，才能控制疫情，這就要求對潛伏者"早發現、早診斷、早隔離"。

4.2 對潛伏者實施隔離措施的影響

對潛伏者採起隔離措施，就要求對潛伏者"早發現、早診斷、早隔離"。用考慮潛伏期傳染性的 SEIR 改進模型對發現和隔離潛伏者的防控措施的效果進行模擬研究。

比較如下三種狀況：（1）未採起防控措施，\(\lambda=1.0，\lambda2=0.25\)；（2）對患病者採起隔離措施，但未對潛伏者採起隔離措施，\(\lambda=0.2，\lambda2=0.25\)；（3）對患病者、潛伏者都採起隔離措施， \(\lambda=0.2，\lambda2=0.1\)。

上圖是採用考慮潛伏期傳染性的 SEIR 改進模型對 3 種狀況下疫情傳播的模擬結果，圖中實線、虛線和點劃線分別表示第一、二、3 種狀況，不一樣顏色不一樣顏色分別表示易感者、潛伏者和患病者的比例。

如 4.1 中的分析，對患病者採起隔離措施使患病者日接觸數減少（虛線），疫情較未隔離患病者（實線）時有所減輕，潛伏者、患病者比例的波峯的開始時間、峯值時間推後，峯值高度下降，但疫情仍然很嚴重。

進一步對潛伏者也採起隔離措施使潛伏者日接觸數減少（點劃線），疫情較未隔離潛伏者時顯著減弱，潛伏者、患病者比例的波峯的開始時間、峯值時間顯著推遲，峯值高度下降，說明發現和隔離潛伏者的措施對疫情控制是有效和必要的。

5. 總結

改進模型一般是針對特定傳染病和實際疫情的具體狀況，在基本模型的基礎上考慮新的因素，使模型的假設更符合實際狀況，模型的結果能接近實際數據，才能更準確地預測疫情發展趨勢、分析防控措施的影響。
結合新冠疫情對 SEIR 模型改進的主要方向是：對人羣類型的細分；對疫情傳播特徵的修正；對模型基本假設的完善。
以考慮潛伏期傳染性的 SEIR 改進模型爲例，給出了具體的數學模型、編程實現、結果討論。
重新冠疫情建模的角度分析看，須要考慮潛伏期傳染性對疫情傳播的影響；重新冠疫情防控的角度看，對潛伏者早發現、早診斷、早隔離，對於疫情防控是有效和必要的。

【本節完】

參考文獻：

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謝家榮等，新型冠狀病毒傳播的數學模型與預測，科學通報，2020，65(22)
林俊鋒，基於引入隱形傳播者的 SEIR 模型的 COVID-19 疫情分析和預測，電子科技大學學報，2020，49(3)
曹盛力等，修正 SEIR 傳染病動力學模型應用於湖北省2019冠狀病毒病（COVID-19）疫情預測和評估，浙江大學學報（醫學版），2020.4
耿輝等，基於 SEIR模型分析相關干預措施在新型冠狀病毒肺炎疫情中的做用，暨南大學學報，2020,41(2)
王思遠等，基於改進傳染病動力學易感-暴露-感染-恢復模型 (SEIR) 預測新型冠狀病毒肺炎疫情，第二軍醫大學學報，2020，41(6)
王晨曦等，傳染病動力學模型研究綜述，中國計算機用戶協會網絡應用分會2020年第二十四屆網絡新技術與應用年會論文集，2020.12
董是等，基於系統動力學模型的 2019冠狀病毒病早期防控機制研究，浙江大學學報（醫學版），2021.2

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