OFDM與FFT的關係

文章轉載於：https://blog.csdn.net/zhaomengszu/article/details/72830983

章節一：時域上的OFDM

　　OFDM的」O」表明着」正交」，那麼就先說說正交吧。

　　首先說說最簡單的狀況，sin(t)和sin(2t)是正交的【證實：sin(t)·sin(2t)在區間[0,2π]上的積分爲0】，而正弦函數又是波的最直觀描述，所以咱們就以此做爲介入點。既然本文說的是圖示，那麼咱們就用圖形的方式來先理解一下正交性。【你若是能從向量空間的角度，高屋建瓴的看待這個問題的話，你也就不是」小白」了，R U?】

　　在下面的圖示中，在[0,2π]的時長內，採用最易懂的幅度調製方式傳送信號：sin(t)傳送信號a，所以發送a·sin(t)，sin(2t)傳送信號b，所以發送b·sin(2t)。其中，sin(t)和sin(2t)的用處是用來承載信號，是收發端預先規定好的信息，在本文中一概稱爲子載波；調製在子載波上的幅度信號a和b，纔是須要發送的信息。所以在信道中傳送的信號爲a·sin(t)+b·sin(2t)。在接收端，分別對接收到的信號做關於sin(t)和sin(2t)的積分檢測，就能夠獲得a和b了。（如下圖形採用google繪製）

圖一：發送a信號的sin(t)

圖二：發送b信號的sin(2t)【注意：在區間[0,2π]內發送了兩個完整波形】

圖三：發送在無線空間的疊加信號a·sin(t)+b·sin(2t)

圖四：接收信號乘sin(t)，積分解碼出a信號。【如前文所述，傳送b信號的sin(2t)項，在積分後爲0】

圖五：接收信號乘sin(2t)，積分解碼出b信號。【如前文所述，傳送a信號的sin(t)項，在積分後爲0】

圖六：流程圖

 

　　到了這裏，也許你會出現兩種狀態：

　　一種是：啊，原來是這樣，我懂了。

　　一種是：啊，怎麼會這樣，我徹底沒法想象。這裏要說的是，你根本用不着去想象（visualize）。數學中是如此定義正交的，數學證實了它們的正交性，那麼他們就是正交的，【他們就能夠互不干擾的承載各自的信息】。選取sin(t)和sin(2t)做爲例子，正是由於它們是介於直觀和抽象的過渡地帶，趟過去吧。

 

　　上面的圖示雖然簡單，可是倒是全部複雜的基礎。

　　1.1 下一步，將sin(t)和sin(2t)擴展到更多的子載波序列{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)} (例如k=16，256，1024等)，應該是很好理解的事情。其中，2π是常量；Δf是事先選好的載頻間隔，也是常量。1t,2t,3t,…,kt保證了正弦波序列的正交性。

　　1.2 再下一步，將cos(t)也引入。容易證實，cos(t)與sin(t)是正交的，也與整個sin(kt)的正交族相正交。一樣，cos(kt)也與整個sin(kt)的正交族相正交。所以發射序列擴展到{sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt),cos(2π·Δf·t),cos(2π·Δf·2t),cos(2π·Δf·3t),…,cos(2π·Δf·kt)}也就瓜熟蒂落了。

　　1.3 通過前兩步的擴充，選好了2組正交序列sin(kt)和cos(kt)，這只是傳輸的」介質」。真正要傳輸的信息還須要調製在這些載波上，即sin(t),sin(2t),…,sin(kt)分別幅度調製a1,a2,…,ak信號,cos(t),cos(2t),…,cos(kt)分別幅度調製b1,b2,…,bk信號。這2n組互相正交的信號同時發送出去，在空間上會疊加出怎樣的波形呢？作簡單的加法以下：

f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) + 
       a2·sin(2π·Δf·2t) + 
       a3·sin(2π·Δf·3t) + 
       …
       ak·sin(2π·Δf·kt) + 
       b1·cos(2π·Δf·t) + 
       b2·cos(2π·Δf·2t) + 
       b3·cos(2π·Δf·3t) + 
       …
       bk·cos(2π·Δf·kt) + 
     = ∑ak·sin(2π·Δf·kt) + ∑bk·cos(2π·Δf·kt) 【公式1-1：實數的表達】

爲了方便進行數學處理，上式有複數表達形式以下：
f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 【公式1-2：複數的表達，這編輯器找不到上角標…不過，你應該看得懂的】

　　上面的公式能夠這樣看：每一個子載波序列都在發送本身的信號，互相交疊在空中，最終在接收端看到的信號就是f(t)。接收端收到雜糅信號f(t)後，再在每一個子載波上分別做相乘後積分的操做，就能夠取出每一個子載波分別承載的信號了。

　　而後，多看看公式1-1和公式1-2！！！發現咯？這就是傅里葉級數嘛。若是將t離散化，那麼就是離散傅立葉變換。因此纔有OFDM以FFT來實現的故事。將在下面的章節進行更多的描述。

　　遵循古老的傳統，F表示頻域，f表示時域，因此能夠從公式1-2中看出，每一個子載波上面調製的幅度，就是頻域信息。相似的說法是：OFDM傳輸的是頻域信號。這種說法有些彆扭，可是不少教程或文章會使用這樣的說明方式，就看讀者如何理解了。若是純粹從公式或者子載波來看，這種說法其實也是很直接的闡述了。

　　上面1.1-1.3的擴展，可以下圖所示：

圖七：時域上的OFDM系統圖


　　1.4 還有這一步嗎？實際上是有的。」小白」你能夠先想一想，想不到的話先往下看，由於這須要在頻域中考量，因此我寫在後面了。【也可參考[1]】

 

　　將上述的時域分析配上LTE的實現，有以下狀況：
　　【注1：本段描述須要有LTE物理層的基本知識，若是看不明白，請暫時跳過，看完整篇文章後再回看】
　　【注2：LTE並不是時域的實現，下面僅僅是套用LTE的參數，作一個參考分析】

　　子載波的間隔Δf=15kHz，一個OFDM symbol的發送時間是66.7us，能夠發現，15kHz*66.67us=1，即基帶上一個OFDM symbol的發送時間正好發送一個一次諧波的完整波形。對於10M的LTE系統，採用的是1024個子載波，可是隻有中間600個（不含最中間的直流）子載波被用於傳送數據。在一個OFDM symbol的時間內（即66.67us)，靠近中間的兩個一次諧波傳輸一個完整波形，再靠外一點的兩個二次諧波傳輸兩個完整波形，以此類推至最外面的兩個300次諧波傳輸了300個完整的波形。在這66.67us內，600個子載波互相正交，其上分別承載了600個複數信號。

　　上面的說法有點囉嗦，不如圖示來得直觀。原本準備再畫一圖的，不過一來上面已經有了相似的圖，實是大同小異；二來，600個子載波，也太多了點。。。

　　OK，說到這裏，從時域上面來看OFDM，實際上是至關簡潔明快討人喜歡的。不過，一個系統若要從時域上來實現OFDM，難度太大，時延和頻偏都會嚴重破壞子載波的正交性，從而影響系統性能。這點在各類教材文章中都會有說起，我就不贅述了。

　　下面將轉入頻域來描述OFDM，因爲頻域不甚直觀，的確會稍稍讓人費解。不過只要時刻想着時域子載波間的疊加，一切都會好起來。

 

章節二：頻域上的OFDM

 

　　第一章節時域上的討論開始於OFDM中的」O」；本章節頻域上咱們從」FDM」開始。
　　先圖例一個常規FDM的系統圖：

圖11：常規FDM，兩路信號頻譜之間有間隔，互相不干擾

　　爲了更好的利用系統帶寬，子載波的間距能夠儘可能靠近些。

圖12：靠得很近的FDM，實際中考慮到硬件實現，解調第一路信號時，已經很難徹底去除第二路信號的影響了（電路的實現畢竟不能像剪刀裁紙同樣利落），兩路信號互相之間可能已經產生干擾了

　　還能再近些嗎？能夠的。這就是OFDM的來歷啊，近到徹底等同於奈奎斯特帶寬（後面有詳述），使頻帶的利用率達到了理論上的最大值。

圖13：繼續靠近，間隔頻率互相正交，所以頻譜雖然有重疊，可是仍然是沒有互相干擾的。神奇的OFDM

　　上面三個圖的確有點小兒科，不知道」小白」是否是已經在內心吶喊：這誰不知道呀！不過我在這裏花時間畫了三張圖，總仍是有所考量的：
a. 做爲上一個章節和本章節之間的補充和鏈接，說明一下OFDM在頻域上面的表現，亦即OFDM的本源來歷。
b. 引導思考：信號的帶寬是多少？
c. 引導思考：OFDM正交頻譜疊加部分到底有多寬呢？結合1.4，先想一想，再往下看，會更好。

　　再次回到正軌，請回看第一節中的圖一至圖六等時域波形圖，圖示了在時域上，波形的調製，疊加接收，以及最終的解碼。讓咱們看看圖一至圖三中的每一個步驟在頻域上是如何表現的。

　　首先來看sin(t)。」小白」呀」小白」，你且說說sin(t)的頻譜是啥呀？」小白」弱弱的說：是一個衝激。是的，sin(t)是個單一的正弦波，表明着單一的頻率，因此其頻譜天然是一個衝激。不過其實圖一中所示的sin(t)並非真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]以內的一小段。無限長度的信號被限制在一小截時間以內，【就比如從一個完整的人身上逮下一根頭髮，而後把整我的都丟掉，以發代人】其頻譜也再也不是一個衝激了。

　　對限制在[0,2π]內的sin(t)信號，至關於無限長的sin(t)信號乘以一個[0,2π]上的門信號（矩形脈衝），其頻譜爲二者頻譜的卷積。sin(t)的頻譜爲衝激，門信號的頻譜爲sinc信號（即sin(x)/x信號）。衝激信號卷積sinc信號，至關於對sinc信號的搬移。因此分析到這裏，能夠得出圖一的時域波形其對應的頻譜以下：

圖21：限定在[0,2π]內的a·sin(t)信號的頻譜，即以sin(t)爲載波的調製信號的頻譜

　　sin(2t)的頻譜分析基本相同。須要注意的是，因爲正交區間爲[0,2π]，所以sin(2t)在相同的時間內發送了兩個完整波形。相同的門函數保證了兩個函數的頻譜形狀相同，只是頻譜被搬移的位置變了：

圖22：限定在[0,2π]內的b·sin(2t)信號的頻譜，即以sin(2t)爲載波的調製信號的頻譜

　　將sin(t)和sin(2t)所傳信號的頻譜疊加在一塊兒，以下：

圖23：a·sin(t)+b·sin(2t)信號的頻譜


　　圖23和圖13，均是頻域上兩個正交子載波的頻譜圖。比一下，發現了嗎？不太同樣！

　　是的，想必你已經想起來了，這是由於基帶信號在傳輸前，通常會經過脈衝成型濾波器的結果。好比使用」升餘弦滾降濾波器」後，圖23所示的信號就會被修理成圖13所示的信號了。這樣能夠有效的限制帶寬外部的信號，在保證本路信號沒有碼間串擾的狀況下，既能最大限度的利用帶寬，又能減小子載波間的各路信號的相互干擾。這也是1.4中沒有說起的，更多的可參考[1]

　　貼士：脈衝成型濾波器做用於頻域，能夠」看做」時域中的每一個碼元都是以相似sinc信號發出的。不必糾結於發送端碼元的時域波形，只須要知道在接收端經過合適的採樣就能夠無失真的恢復信號就OK咯。

　　這裏用到的是奈奎斯特第一準則，在下面的框框內會稍做描述：

 

奈奎斯特第一準則請自行google，這裏說說其推論：碼元速率爲1/T(即每一個碼元的傳輸時長爲T)，進行無碼間串擾傳輸時，所需的最小帶寬稱爲奈奎斯特帶寬。 　　對於理想低通信道，奈奎斯特帶寬W = 1/(2T) 　　對於理想帶通信道，奈奎斯特帶寬W = 1/T 　　在下面的圖31中，能夠看出信號的實際帶寬B是要大於奈奎斯特帶寬W（低通的1/(2T)或者帶通的1/T）的，這就是理想和現實的距離。 　　補充說明：本文提到的」帶寬」，也即約定俗成的帶寬理解方式，指的是信號頻譜中>=0的部分。在從低通到帶通的搬移過程當中，由於將原信號負頻率部分也移出來了（也可理解爲同乘e(j2πfct) + e(-j2πfct)的結果，見參考[2]）【注：沒有上角標和下角標的編輯器，真不爽。不過，你應該看得懂的】，因此帶寬翻倍了。以下圖所示： 圖31：內涵豐富的圖，請參看上面和下面的說明文字

 

 

 

　　上面專門用框框列出奈奎斯特第一準則，還有一個重要目的就是說明下頻帶利用率的問題。頻帶利用率是碼元速率1/T和帶寬B(或者W)的比值。

　　理想狀況下，低通信道頻帶利用率爲2Baud/Hz；帶通信道頻帶利用率在傳輸實數信號時爲1Baud/Hz，傳送複數信號時爲2Baud/Hz（負頻率和正頻率都獨立攜帶信號）。因爲討論低通訊道時每每考慮的是實數信號，而討論帶通訊道時一般考慮的是複數信號，所以能夠簡單認爲：理想狀況下，信道的頻帶利用率爲2Baud/Hz。

　　實際狀況下，由於實際帶寬B要大於奈奎斯特帶寬W，因此實際FDM系統的頻帶利用率會低於理想狀況。

　　【說到這裏，終於能夠圖窮匕見了】而OFDM的子載波間隔最低能達到奈奎斯特帶寬，也就是說（在不考慮最旁邊的兩個子載波狀況下），OFDM達到了理想信道的頻帶利用率。

圖32：OFDM正交子載波，載頻間距爲奈奎斯特帶寬，保證了最大的頻帶利用率


　　將上述的頻域分析配上LTE的實現，有以下狀況：
　　【注：本段描述須要有LTE物理層的基本知識】

　　子載波的間隔Δf=15kHz，一個OFDM symbol的發送時間是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子幀共傳輸14個OFDM symbol【不是15個，留空給CP了】，每個OFDM symbol攜帶600個複數信息，所以：
　　1. 從整個系統來看，波特率爲600*14*2/1ms = 16.8MBaud，佔據帶寬10MHz，所以帶寬利用率爲16.8MBaud/10MHz = 1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想狀況。【注：一是CP佔用了每一個OFDM Symbol約1/15的資源，二是10MHz的頻帶並非滿打滿算的用於傳輸數據，其邊界頻帶須要留空以減小與鄰近信道的干擾】
　　2. 單從OFDM一個symbol來看，波特率爲600*2/66.7us = 18MBaud，佔據帶寬600*15kHz=9MHz【不考慮邊界子載波帶外問題】，所以其帶寬利用率爲18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的討論。
　　附：5M帶寬的WCDMA的chip rate = 3.84M/s，即碼率爲3.84M*2 = 7.68MBaud，帶寬5M，因此帶寬利用率爲7.68MBaud/5MHz = 1.536Baud/Hz，略遜於LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脈衝成型採用滾降係數爲0.22的升餘弦濾波器，奈奎斯特帶寬爲3.84M】

 

章節三：用IFFT實現OFDM

　　其實前兩章，我已經將本身的理解盡數表達了：第一節是從時域上來講子載波正交的原理；第二節是從頻域上來解釋子載波正交後，達到理想頻帶利用率的特性。想來，雖然前兩章寫得較長【沒預料到會寫這麼長的…太長了沒人看…】，可是應該仍是很簡單、清晰、易懂的。
　　不過」小白」的卡殼，彷佛並不在於最基本的正交原理和頻帶利用率上，反而是IFFT變換中，充斥的各類時域頻域角色變換讓其眼花繚亂。

　　我的以爲要理解IFFT實現OFDM，最好的辦法仍是看公式。好比第一章節中的公式1-1和公式1-2，配上時域波形圖的疊加，不要太好理解喲。固然，這裏的IFFT須要將時域離散化，所以公式IFFT ≈ IDFT –> 

fn = 1/N·∑Fk·e(j·2π·k·n/N) 【公式3-1，n爲時域離散後的序號，N爲總的IFFT個數，n∈[1,N]】

　　關於公式3-1的理解方法，能夠是這樣的。其中一種理解方式是聯繫第一章節的公式1-2：能夠發現公式3-1等號右側所表達的物理意義和公式1-2是相同的，均表明了不一樣子載波e(j·2π·k·n/N)發送各自的信號Fk，而後在時域上的疊加造成fn，只不過如今疊加出來的時域不是連續波形，而是離散的時序抽樣點。

　　另外一種更容易，更可愛的理解方式是：在一個OFDM symbol的時長T內，用N個子載波各自發送一個信號F(k)（k∈[1,N]），等效於直接在時域上連續發送fn（n∈[1,N]）N個信號，每一個信號發送T/N的時長。

　　在IFFT實現OFDM中，發送端添加了IFFT模塊、接收端添加了FFT模塊。IFFT模塊的功能至關於說：別麻煩發送N個子載波信號了，我直接算出大家在空中會疊加成啥樣子吧；FFT模塊的功能至關於說：別用老式的積分方法來去除其他的正交子載波了，我幫你一次把N個攜帶信號全算出來吧。就是這樣，IFFT實現OFDM的系統用」數學的方法「，在發送端計算信號的疊加波形，在接收端去除正交子載波，從而大大簡化了系統的複雜度。

圖八：用IFFT實現OFDM。請自行對比圖七

 

補充章節：從頻譜上來看正交性

　　本文最開始發表時是沒有這一段的，由於原文已然十分自恰，已將OFDM的原理說的很是清楚到位了。然而，這一段的內容倒是別的文章中講解OFDM時常常出現的橋段，所以以爲仍是有必要補充陳述一下本身的觀點。

　　【注：本小節爲補充章節，與本文邏輯沒有必然聯繫，可直接略過。】

　　從正文章節中，能夠發現做者的思路：從時域角度講解子載波的正交性；從頻域角度講解OFDM的頻帶利用率。做者以爲這是最容易理解OFDM原理的方式。可是教材中、網絡上，還有一種很是主流的講解方式：從頻域上「直觀的」看待子載波的正交性。好比下面這個圖：

圖51：從OFDM頻譜看待正交性（ 本圖來自網絡，比我畫的圖好些，還有文字說明）

 

　　這種觀點的說法是： 在每一個子載波的抽樣點上，其它的子載波信號抽樣值均爲0（即上圖中的subcarrier Nulls對應某個子載波的Subcarrier Peak）。這種說法在圖示上有很是醒目的直觀效果，因此是各教材講義中的常客，可是至少從做者的角度來看，這種說法在涉及到後面的解調信號時，將變得很是難以理解和說明。因此本文最開始的版本中是沒打算寫本小節的。

　　若是你看到這裏，以爲這種說法正中下懷，那麼恭喜你。

　　若是你看到這裏，以爲這種說法已經讓你的腦殼成了漿糊，那麼能夠回顧第一章節：時域上的正交性，而後繼續閱讀下面部分以解毒。

 

　　時域上的正交性和頻域上的正交性之間的關係該如何聯繫起來呢？回顧前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【證實：sin(t)·sin(2t)在區間[0,2π]上的積分爲0】，推廣到更通常的狀況是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)}在區間[0, 1/Δf]上正交（注：教材上通常寫爲u(t)在[-T/2,T/2]區間上怎麼怎麼着，本文就用不着那麼學術了）。能夠看出，這裏有一個關鍵的參數Δf：它既是頻域上子載波的間距，又肯定了時域上的信號傳輸時間。回顧時域頻域轉換圖：

圖52：同前面的圖21，時域波形和頻域的轉換

 

　　聯繫上圖的時頻轉換，能夠發現Δf既肯定了子載波自己(即上圖中第一排的兩個圖)，又肯定了待發信號的傳輸時間(即上圖中第二排的兩個圖中信號的寬度)，從而決定了信號頻譜的主瓣寬度以及旁瓣爲0的位置。這也意味着， OFDM系統中一旦選定了子載波間隔，時域上的正交性以及頻域上的正交性也就瓜熟蒂落的聯繫起來了。以下圖：

圖53：同前面的圖23，兩路信號的間隔Δf，保證了時域上的正交性、肯定了頻域上的旁瓣0點位置

 

　　其實對本做者而言，從頻譜上來看待OFDM的正交性有點顛倒因果的嫌疑。按個人理解： OFDM選用的正交子載波是因，頻譜中出現「其他子載波攜帶信號的旁瓣0點處於當前子載波攜帶信號主瓣峯值處」的現象是果。以果推因，謬矣。

 

 

 

繼續說明：關於物理層的信號

回覆留言時一直出錯，幸虧保存了，就直接寫在這裏了。 要弄清楚信號的含義，能夠將整個物理層信號傳輸的過程給分解開來，能夠看到，不一樣的步驟對信號的處理是不一樣的。 信源編碼着重於對信號的容量進行壓縮，提升傳輸效率（比特流）； 信道編碼針對多變的信道插入冗餘信息，增長傳輸的穩定性（比特流）； 信號調製則是將比特流轉成了特定的波形進行傳輸，根據調製方式的不一樣，便可能是一個比特對應一個波形，也有多是數個比特對應一個波形（高階調製）。因此有個問題說不知道0對應什麼波形，1對應什麼波形，是由於沒弄清調製過程。在採用好比QAM64調製後，出來的symbol就是複數了，這也是複數信號的來歷。通常的文章會將一個symbol看做一個輸入來看待和討論下面的步驟，而我這篇文章由於是從sin和cos入手來討論正交性的，所以我這篇文章中將一個symbol當作了兩個實數，故而在討論信道利用率時和主流「結論」有點出入，但實際上是各自的假設不一樣而已。 在實際的系統中，QAM symbol 進行了針對天線陣列的precoding和資源分配的mapping後，就會進入OFDM調製了（就是上面圖八的一站式IFFT計算）