樹形結構基礎

如下 \(n\le 10^5\)

1 Codeforces 686D

給你一棵樹，求出這棵樹全部子樹的重心。

解

樹的重心性質：

1. 以這個點爲根，那麼全部的子樹（不算整個樹自身）的大小都不超過整個樹大小的一半。
2. 把兩棵樹連起來，新樹的重心一定在原來兩棵樹的重心連線的路徑上。

在dfs的過程當中，咱們利用性質一、2，設當前節點爲 \(u\) ， \(u\) 的其中一個子節點爲 \(v\) ，若是 \(v\) 的子樹大小超過了 \(u\) 的一半，那麼 \(u\) 的子樹的重心必定在 \(u\) 和 \(v\) 的子樹重心的連線上，咱們從 \(v\) 的子樹重心暴力往上跳，每次檢驗是否合法便可。

2 Codeforces 191C

給你一棵樹和若干對節點，問對於樹的每條邊，有多少對節點間的路徑通過它。

解

對於每一對點，在這兩個點上打上+1標記，在它們的lca上打上-2標記，最後用樹上差分查詢。

3 Codeforces 842C

定義一個節點的美麗值爲從它到根的路徑上的全部點的點權的gcd。有若干個詢問，詢問節點最大可能的美麗值。對於每一個詢問，你能將樹中某一個節點的點權改成0。\(gcd(a,0)=a\)。根節點美麗值爲其點權。
點權 \(\le 10^5\) 。

解

咱們發現點權不大，因而在dfs下去的過程當中，咱們維護目前掃過的點的全部因子出現的次數。
設當前節點深度爲 \(d\) ，根節點深度爲0。
在尋找當前數的因子的過程當中，若是有一個因子出現次數 \(≥d\) ，那麼這個因子必然就是當前節點的答案之一。
另外，還要考慮不選當前節點的狀況。
這樣能保證複雜度爲 \(O(n\sqrt{n})\) 。

4 Codeforces 813C

有A,B兩我的在一棵樹上van，A位於1節點，B位於x節點，B先手，每一次A,B能夠移動到相鄰的節點，也能夠不動。當A,B相遇時遊戲結束。如今A想要最小化遊戲次數，B想要最大化遊戲次數。輸出最終的遊戲次數。

解

找到知足 \(disB[u]<disA[u]\) 且 \(disA[u]\) 最大的節點便可。

5 Codeforces 682C

定義一個節點 \(v\) 是傷心的，若是它的子樹中存在一個節點 \(u\) ，使得 \(dis(v,u)>a[u]\) ，其中 \(a[u]\) 爲 \(u\) 的點權， \(dis(v,u)\) 爲從 \(v\) 到 \(u\) 路徑上的邊權和。如今你能夠進行若干次操做，每次能夠刪除當前樹中的一個葉節點，問最少刪除幾個節點能使樹中沒有一個節點是傷心的。

解

對於一個節點 \(u\) ，若是它到根節點的路徑上的某一段邊權後綴和大於它的點權，那麼這個節點必然會使某一個節點傷心，刪除這個節點。dp弄一下。

6 Codeforces 337D

有一本魔書在一棵樹的一個節點上，這棵樹上與它距離不超過 \(d\) 的點會被影響。如今告訴你目前發現已經被影響到的點（可能還有一些點也被影響，但沒有告訴你），請你判斷魔書有多少種可能的位置。沒有輸出0。

解

找到距離最遠的兩個被影響到的點，計算有多少個點到它們的距離 \(\le d\) 。

7 Codeforces 782C

給你一棵樹，要給每一個節點染色，要求任意相鄰的三個節點不能是相同的顏色。問最少使用幾種顏色。

解

對於每一個節點，顏色從1開始++，若是該顏色使用過就跳過。

8 Codeforces 739B

一棵樹，問對於全部的節點，它們各自能控制多少個節點。
節點 \(v\) 能控制節點 \(u\) ，當 \(u\) 在 \(v\) 的子樹中，且 \(dis(v,u)>a[u]\) ，其中 \(a[u]\) 爲 \(u\) 的點權， \(dis(v,u)\) 爲從 \(v\) 到 \(u\) 路徑上的邊權和。

解

咱們發現，對於一個節點 \(u\) ，能控制它的節點一定是它到根節點路徑上的點的一個後綴。因此掃到一個節點 \(u\) 時，咱們二分一個節點 \(v\) ，使 \(v\) 是深度最小的能控制 \(u\) 的節點，而後用樹上差分將從 \(v\) 到 \(u\) 的父親的全部節點都+1，最後統計每一個節點加了幾回。

9 Codeforces 980E

一棵樹，第 \(i\) 個節點的點權爲 \(2^i\) ，如今能夠進行 \(k\) 次操做，每次能夠刪除當前樹的一個葉節點，要最大化剩下節點的點權和。問應該刪除哪些節點。

解

首先考慮貪心，由於前 \(i-1\) 個節點的點權加起來還沒第 \(i\) 個節點的點權大。
咱們不妨設根節點爲 \(n\) 號節點，而後從大到小枚舉其餘節點，每次檢驗當前節點是否能保留。若是當前節點要保留，那麼它的全部祖先也要保留。然而，保留的節點個數不能超過 \(n-k\) 個。 怎麼統計當前要保留的節點個數？因爲保留的節點是單調的，因此用倍增找到第一個未被標記爲保留的節點，它到當前節點的距離+1就是須要保留的節點個數。