C語言程序設計100例之（13）：最大子段和

例13        最大子段和

題目描述

給出一段序列，選出其中連續且非空的一段使得這段和最大。例如在序列2,-4,3,-1,2,-4,3中，最大的子段和爲4，該子段爲3,-1,2。

輸入格式

第一行是一個正整數N，表示了序列的長度。

第二行包含N個絕對值不大於10000的整數Ai ，描述了這段序列。

輸出格式

一個整數，爲最大的子段和是多少。子段的最小長度爲1。

輸入樣例

7

2 -4 3 -1 2 -4 3

輸出樣例

4

        （1）編程思路。

        能夠從長度爲n的數列的最左端（設爲數組元素a[1]）開始掃描，一直到最右端（設爲數組元素a[n-1]）爲止，記下所遇到的最大總和的子序列。

        程序中定義變量maxsum保存最大連續子段和，cursum保存當前連續子段和。

        初始時，cursum=a[0]、maxsum=a[0]。用循環for (i=1;i<n;i++)對序列中的每個元素a[i]進行掃描處理。

        在這一掃描過程當中，從左到右記錄當前子序列的和（即cursum= cursum+a[i]），若這個和不斷增長（即當前a[i]爲正，從而使cursum+a[i]>maxsum成爲可能），那麼最大子序列的和maxsum也增長，從而更新maxsum。若是往右掃描中遇到負數，那麼當前子序列的和cursum會減少，此時cursum將會小於maxsum，maxsum也就不更新；若是掃描到a[i]時，cursum降到0時，說明前面已經掃描的那一段就能夠拋棄了，這時須要將cursum置爲0。這樣，cursum將從i以後的子段進行分析，如有比當前maxsum大的子段，須要更新maxsum。這樣一趟掃描結束後，就能夠獲得正確結果。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

   int a[200001];

   int n,i,maxsum,cursum;

   scanf("%d",&n);

   for (i=0;i<n;i++)

       scanf("%d",&a[i]);

   cursum=a[0];

   maxsum=a[0];

   for (i=1;i<n;i++)

   {

       if (cursum+a[i]>maxsum)

       {

             maxsum=cursum+a[i];

       }

       if (cursum+a[i]<0)

       {

            cursum=0;

       }

       else

          cursum= cursum+a[i] ;

   }

   printf("%d\n",maxsum);

   return 0;

}

習題13

13-1  最大差值

        本題選自洛谷題庫 （https://www.luogu.org/problem/P5146）

題目描述

HKE最近熱衷於研究序列，有一次他發現了一個有趣的問題：

對於一個序列A1 ,A2 ⋯An ，找出兩個數i,j，1≤i<j≤n，使得Aj −Ai 最大。

如今給出這個序列，請找出Aj −Ai 的最大值。

輸入格式

第一行爲一個正整數n。

接下來n個整數，第k+1個整數爲Ak 。

輸出格式

一行爲 (Aj −Ai )的最大值

輸入樣例

10

1 3 4 6 7 9 10 1 2 9

輸出樣例

9

        （1）編程思路。

        因爲求Aj −Ai 的最大值的要求是下標j>i，也就是說最大的數是在最小的數後面才符合要求，所以不能簡單地求序列的一個最大數max和一個最小數min（沒法保證max必定在min的後面），而後輸出max-min做爲答案。

        定義變量minnum保存序列的最小數，maxdiff保存最大差值，因爲輸入n>=2，所以能夠先輸入序列前兩個數a和b，賦minnum的初值爲a與b中的較小數，maxdiff的初值爲b-a。

        而後用循環for (i=3;i<=n;i++)對序列中的每個元素Ai進行掃描處理。處理時，若當前Ai與最小數minnum的差值大於maxdiff，則更新maxdiff，這個更新必定是有效的，由於保存的最小數minnum必定在當前數Ai以前；若當前數Ai比最小數小，則更新最小數minnum爲當前數Ai。

        這樣一趟掃描結束後，就能夠獲得正確結果。

       （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int minnum,maxdiff;

    int i,n,a,b;

    scanf("%d",&n);

    scanf("%d%d",&a,&b);

    minnum=a<b?a:b;

    maxdiff=b-a;

    for (i=3;i<=n;i++)

    {

        scanf("%d",&a);

        if (a<minnum) minnum=a;

        if (a-minnum>maxdiff) maxdiff=a-minnum;

    }

    printf("%d\n",maxdiff);

    return 0;

}

13-2  連續天然數和

題目描述

對一個給定的天然數M，求出全部的連續的天然數段，這些連續的天然數段中的所有數之和爲M。

例子：1998+1999+2000+2001+2002 = 10000，因此從1998到2002的一個天然數段爲M=10000的一個解。

輸入格式

包含一個整數的單獨一行給出M的值（10≤M≤2,000,000）。

輸出格式

每行兩個天然數，給出一個知足條件的連續天然數段中的第一個數和最後一個數，兩數之間用一個空格隔開，全部輸出行的第一個按從小到大的升序排列，對於給定的輸入數據，保證至少有一個解。

輸入樣例

10000

輸出樣例

18 142

297 328

388 412

1998 2002

        （1）編程思路。

        定義兩個變量left和right用於指示待求子序列的最左端和最右端，初始時令left=1，right=(int)sqrt(2.0*n)，顯然此時1+2+…+right的和值sum（sum=(right-left+1)*(left+right)/2）會很是接近n。以後進行以下操做過程：

        1）比較sum與n，根據sum與n的大小關係進行不一樣處理。簡單描述就是若sum值大了，去掉子序列最左端的數，從而減小sum值；若sum值小了，將最右端數的下一個數加入子序列，從而增大sum值；若sum與n相等，則找到一個子序列的和等於n，輸出此時子序列的left和right值，輸出後和值sum中去掉子序列最左端的數以便繼續向後找到其餘的子序列。

        2）重複上面的過程，直到left==right，此時子序列中只有一個數，搜索結束，退出。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

     int left,right,sum,n;

     scanf("%d",&n);

     left=1;   right=(int)sqrt(2.0*n);

     sum=(right-left+1)*(left+right)/2;

     while (left<right)

     {

           if (sum==n)

           {

                    printf("%d %d\n",left,right);

                    sum-=left++;

           }

          else if (sum<n)

           {

                      right++;

                      sum+=right;

           }

           else

           {

                     sum-=left;

                     left++;

           }

     }

    return 0;

}

13-3  Subsequence

本題選自北大POJ 題庫（http://poj.org/problem?id=3061）。

Description

A sequence of N positive integers (10 < N < 100 000), each of them less than or equal 10000, and a positive integer S (S < 100 000 000) are given. Write a program to find the minimal length of the subsequence of consecutive elements of the sequence, the sum of which is greater than or equal to S.

Input

The first line is the number of test cases. For each test case the program has to read the numbers N and S, separated by an interval, from the first line. The numbers of the sequence are given in the second line of the test case, separated by intervals. The input will finish with the end of file.

Output

For each the case the program has to print the result on separate line of the output file.if no answer, print 0.

Sample Input

2

10 15

5 1 3 5 10 7 4 9 2 8

5 11

1 2 3 4 5

Sample Output

2

3

        （1）編程思路。

         本題題意是：輸入整數N和S，N表示數列中元素的個數，S表示一個和值，而後輸入數列中的N個元素，求一個子序列長度最短的連續子序列，使子序列中所有元素的和大於等於S。輸出這個子序列的長度。

        用兩個變量i和j表示子序列的兩個端點，初始時i和j的值均爲0，和值sum=0。

        這個搜索過程簡單描述爲：先讓右端點移動，並將右端點的值累加到和值sum中（語句爲sum+=a[j++]），直到sum大於等於S，按要求更新答案；而後再讓左端點移動，並將左端點的值從和值sum中減掉（語句爲sum-=a[i++];），也隨之更新答案，直到出現sum小於S後，右端點再移動。重複這個過程，直到右端點越過了原序列的最後一個數據。 

       （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

     int t,i,j,a[100001],n,s,sum,minx;

     scanf("%d",&t);

     while(t--)

     {

        scanf("%d%d",&n,&s);

        for(i=0;i<n;i++)

           scanf("%d",&a[i]);

        i=0;

        minx=0x7fffffff;

        sum=0;

        for (j=0;j<n;)

        {

             while(sum<s && j<n)

                 sum+=a[j++];

             while(sum>=s)

            {

                 if (minx>j-i) minx=j-i;

                 sum-=a[i++];

            }

        }

        if (minx==0x7fffffff)

             minx=0;

        printf("%d\n",minx);

    }

    return 0;

}