C語言程序設計100例之（23）：數列求和

例23  數列求和

問題描述

已知某數列前兩項爲2和3，其後繼項根據前面最後兩項的乘積，按下列規則生成：

① 若乘積爲一位數，則該乘積即爲數列的後繼項；

② 若乘積爲二位數，則該乘積的十位上的數字和個位上的數字依次做爲數列的兩個後繼項。

輸出該數列的前Ｎ項及它們的和。

輸入格式

一個整數N（2≤N≤1000）。

輸出格式

第1行輸出該數列的前Ｎ項的和。

第2行輸出該數列的前N項。

輸入樣例

10

輸出樣例

sum(10)=44

2 3 6 1 8 8 6 4 2 4

        （1）編程思路。

        編寫函數int sum(int *pa, int n)按數列的生成方法生成數列的前n項並保存在數組pa中，同時將前n項的和做爲函數值返回。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

#define MAXNUM 1001

int sum(int *pa, int n);

int main()

{

    int n,num[MAXNUM];

    scanf("%d",&n);

    printf("sum(%d)=%d\n",n,sum(num,n));

    for (int i=0;i<n;i++)

    {

        printf("%d ",num[i]);

    }

    printf("\n");

         return 0;

}

int sum(int *pa, int n)

{

    int count, total, temp;

    *pa = 2;

    *(++pa)=3;

    total=5;

    count=2;

    while (count++<n)

    {

       temp = *(pa-1) * (*pa);

       if (temp<10)

       {

           total+=temp;

           *(++pa) = temp;

       }

       else

       {

           *(++pa)= temp/10;

           total += *pa;

           if (count++<n)

           {

               *(++pa) = temp%10;

               total += *pa;

           }

        }

    }

    return total;

}

習題23

23-1  序列求和

問題描述

有一個序列，初始時只有兩個數x和y，以後每次操做時，在原序列的任意兩個相鄰數之間插入這兩個數的和，獲得新序列。舉例說明：

初始：1 2

操做1次：1 3 2

操做2次：1 4 3 5 2

……

問操做n次以後，獲得的序列的全部數之和是多少？

輸入格式

三個整數x，y，n，相鄰兩個數之間用單個空格隔開。0 <= x <= 5，0 <= y <= 5，1 < n <= 10。

輸出格式

一個整數，即最終序列中全部數之和。

樣例輸入

1 2 2

樣例輸出

15

        （1）編程思路1。

        像例23同樣將操做n次以後的序列生成出來再求和。要生成操做n次以後的序列須要進行二重循環，外循環控制操做次數，內循環經過在前一序列相鄰兩數間插入和的方式生成新序列。這個序列是不斷增加的，第1次操做後有3個數，第2次操做後有5個數，…，第10次操做後有288個數。

        因爲題目求最終序列中全部數之和，所以無需保留中間序列的狀況，只需保留最終序列的結果。所以爲了方便操做，定義一個二維數組a[2][300]，用滾動數組的方式進行操做。即初始時，a[0][0]=x，a[0][1]=y。而後進行

第1次操做，由a[0][0]~a[0][1]獲得a[1][0]~a[1][2]；

第2次操做，由a[1][0]~a[1][2]獲得a[0][0]~a[0][4]；

第3次操做，由a[0][0]~a[0][2]獲得a[1][0]~a[1][8]；

……

        第n次操做，由a[(n-1)%2][0]~a[(n-1)%2][ k-1 ]獲得 a[n%2][0]~a[n%2][ k-1+(n-1)*(n-1)]。（k表示上一次操做結束後的元素個數）

        （2）源程序1。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int a[2][300];

    int x,y,n;

    scanf("%d%d%d",&x,&y,&n);

    int i,j,k;

    a[0][0]=x;

    a[0][1]=y;

    k=2;

    for(i=1;i<=n;i++)

    {

        int cnt=0;

        for (j=0;j<k-1;j++)

        {

            a[i%2][cnt++]=a[(i-1)%2][j];

            a[i%2][cnt++]=a[(i-1)%2][j]+a[(i-1)%2][j+1];

        }

        a[i%2][cnt++]=a[(i-1)%2][j];

        k=cnt;

    }

    int s=0;

    for (i=0;i<k;i++)

      s+=a[n%2][i];

    printf("%d\n",s);

    return 0;

}

        （3）編程思路2。

        因爲題目求最終序列中全部數之和，所以咱們能夠經過找到各次操做後和之間的規律獲得結果，而無需生成整個最終序列。

        初始序列爲   ： x   y                      和S[0]爲 x+y

        第1次操做後 ：x， x+y， y                 和s[1]爲2x+2y

        第2次操做後 ：x， 2x+y，x+y，x+2y，y      和s[2]爲5x+5y

        第3次操做後 ：x，3x+y，2x+y，3x+2y，x+y，2x+3y，x+2y，x+3y，y，和s[3]爲14x+14y

        ……

        由上面能夠推出，若第n次操做後序列和爲S[n]，則第n+1次操做後的和S[n+1]必定爲3*S[n]-(x+y)。由於在由第n次操做後序列生成第n+1次操做序列時，除首尾兩個元素x和y外，中間每一個元素會在新序列中產生3次做用（與前一個元素的和，自身，與後一個元素的和），而首尾兩個元素x和y只做用兩次，x沒有前一個元素，y沒有後一個元素。

        （4）源程序2。

#include <stdio.h>

int main()

{

   int x,y,n,s,i;

   scanf("%d%d%d",&x,&y,&n);

   s=x+y;

   for (i=1;i<=n;i++)

   {

      s=3*s-(x+y);

   }

   printf("%d\n",s);

   return 0;

}

23-2  序列

        本題選自洛谷題庫 （https://www.luogu.org/problem/P1732）

題目描述

設有數列A={a1, a2, …, an}，根據數列A計算數列B={b1, b2, …, bn}，其中：

   

 求數列B的前n項之和。

輸入格式

第一行是一個正整數t（0<t<=10），表示測試數據的組數。接下來有t行，每行表示一組測試數據。每行以一個正整數n（0<n<=100 000）開始，表示數列A中元素的個數；而後是n個非負整數，依次表示a1, a2, …, an的值（0<= ai<=65 536）。

輸出格式

對於每組測試數據，輸出數列B的全部的元素之和。

輸入樣例

2

5 1 2 3 4 5

7 2 9 7 4 6 2 6

輸出樣例

5

14

        （1）編程思路1。

         對每個a_i直接根據規則求b_i。具體說就是用循環求每個ai 與它前面各個數的差的最小絕對值。

        （2）源程序1。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

    int t;

    scanf("%d",&t);

    int a[100001];

    while(t--)

    {

        int n;

        scanf("%d",&n);

        for (int i=0;i<n;i++)

            scanf("%d",&a[i]);

        int sum=a[0];

        for (int i=1;i<n;i++)

        {

            int min=abs(a[i]-a[0]);

            for (int j=1;j<=i-1;j++)

                if (abs(a[i]-a[j])<min)

                   min=abs(a[i]-a[j]);

            sum+=min;

        }

        printf("%d\n",sum);

    }

    return 0;

}

        （3）編程思路2。

        按思路1編寫程序後，提交給洛谷OJ，只能得30分。10組測試數據中有7組數據顯示「TLE」超時。所以須要想另外的辦法。

        題目中給定0≤ai≤65536，這意味着能夠定義一個hash數組存儲對應數字是否已經出現過，hash[i]=0，表示數i在序列中沒出現，hash[i]=1表示數i在序列中出現過。這樣，每1個a[i]轉化成b[i]時，都在hash表中尋找距離它最近的、已經出現過的數。

        即從當前數字x（表示ai）開始向前（x-i）或向後（x+i）遍歷，找到對應hash[x-i]或hash[x+i]爲1的值，也就是找到了最近已經出現過的的數字aj。

       （4）源程序2。

#include <stdio.h>

#include <string.h>

int main()

{

    int t;

    scanf("%d",&t);

    int hash[65537];

    while(t--)

    {

        memset(hash,0,sizeof(hash));

        int n,x;

        scanf("%d%d",&n,&x);

        hash[x]=1;

        int sum=x;

        for (int k=2;k<=n;k++)

        {

            scanf("%d",&x);

            for(int i=0;;i++)

            {

                if (x-i>=0)

                    if (hash[x-i])

                    {

                        sum+=i;

                        break;

                    }

                if (x+i<=65536)

                    if (hash[x+i])

                    {

                        sum+=i;

                        break;

                    }

            }

            hash[x]=1;

        }

        printf("%d\n",sum);

    }

    return 0;

}

23-3  子序列的和求和

問題描述

給定一個正整數數列，求該數列中全部連續子序列和的和。例如，給定數列1,2,3，該數列中連續子序列有：[1], [2], [3], [1, 2], [2, 3]和[1, 2, 3]，這些連續子序列和的和爲：1 + 2 + 3 + 3 + 5 + 6 = 20。

輸入格式

第1行是一個正整數T，表明測試數據的組數。

每組測試數據包括兩行，首行爲一個正整數N，表示序列中元素的個數，接着一行給出序列的N個元素。

輸出格式

對每組測試用例，輸出序列的和模1 000 000 007後的結果。

輸入樣例

2

1

2

3

1 2 3

輸出樣例

2

20

        （1）編程思路。

        一樣找規律，規律很明顯，數列中每一個數ai都被加了i*(N+1-i)次。

         以數列1,2,3爲例，第1個數1被加了1*（3+1-1）=3次，第2個數2被加了2*（3+1-2）=4次，第3個數3被加了3*（3+1-3）=3次。因此和=1*3+2*4+3*3=20。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

#define MOD 1000000007

int main()

{

    int t,n;

    scanf("%d",&t);

    while (t--)

    {

        scanf("%d",&n);

        long long sum=0,x,ai;

        for (int i=1;i<=n;i++)

        {

            scanf("%lld",&ai);

            x=(i*ai)% MOD;

            x=(x*(n+1-i)) % MOD;

            sum=(sum+x) % MOD;

        }

        printf("%lld\n",sum);

    }

    return 0;

}