棧與卡特蘭數

棧（stack）是一種線性表，全部的插入和刪除都在表的一端進行。其中，插入被稱爲壓棧(push)，刪除被稱爲彈棧(pop)，因爲只能對最新被壓入的元素進行彈出，棧又被稱爲後入先出(LIFO)表。

對於棧，給定一個輸入序列\(1,2...n\) ，有兩個常常被說起的問題，

1. 長度無限的棧能夠有多少種輸出序列。
2. 給定一個輸出序列\(p_1,p_2...p_n\) ，如何斷定它是否有效？

好比，對於輸入序列\(1,2,3\)，咱們有如下輸出序列

• \(1,2,3\)
• \(1,3,2\)
• \(2,1,3\)
• \(2,3,1\)
• \(3,2,1\)

序列\(3,1,2\)是不合法的，由於輸出3時，1和2已經被壓進棧中，故而輸出時2必須在1前面，不可能出現\(3,1,2\)的輸出序列。

問題一

將問題一轉化一下，因爲輸入序列已經肯定，在棧上執行的操做將惟一地決定輸出的序列，於是能夠定義壓棧操做爲S，彈棧操做爲X，使用S和X的序列來表示輸出的序列。好比\(1,2,3\)能夠用\(SXSXSX\)表示。容易看出，對於長度爲\(n\)的輸入序列，SX的序列長爲\(2n\)，其中S和X各佔n個。能夠證實，SX序列和輸出序列一一對應。

下面解決問題1，不一樣的輸出序列的數量就是不一樣的合法SX操做序列的數量。合法的操做數等於n個S與n個X的組合數減去其中非法的組合數。根據SX在棧上的意義，非法的組合能夠以下斷定：

• 從左向右對S和X計數，若在某一點X的個數超出S的個數，則操做非法

好比\(XSSSXX\)就是一個非法的組合。

這個數目被稱之爲卡特蘭數，是一個頗有用的數學結論，下面給出一個不嚴謹的推導。

對於長度爲n的輸入序列，n個S與n個X的組合數爲\(\dbinom{2n}{n}\)，對於每一個非法的組合，從左向右記到第一個非法的X，將包括這個X在內的左邊所有S和X反轉，即將
\[ XSSSXX,SXXSSX \]
轉化爲
\[ SSSSXX,XSSSSX \]
這樣，因爲在第一個非法的X左邊，S和X的數目相等，右邊S的數目要比X的數目多1。進行反轉後，整體上S的數目要比X的數目多2，即變爲由(n+1)個S與(n-1)個X的組合。每一個不合法的SX序列均可以惟一轉化爲一個這樣的組合，每一個這樣的組合也能夠惟一轉化爲不合法的SX序列。易證對於不一樣的非法序列不會映射爲相同的結果，同理兩個不一樣的(n+1)S與(n-1)X的組合也不會映射爲相同的非法序列。故卡特蘭數的結果爲
\[ C(n)=\dbinom{2n}{n} - \dbinom{2n}{n-1} \]

問題二

命題：對於序列\(p_1p_2...p_n\)，其使用棧獲得輸出序列\(S\)的充要條件爲序列中不存在\(p_i...p_j...p_k\)，在\(T\)中的輸出順序爲\(p_k...p_i...p_j\)。

證實：

在輸出的任意時刻，咱們有還未入棧的剩餘序列\(p_m...p_n\)，棧內元素(棧底爲左)\(s_1...s_k\)，以及順序合法的已輸出元素\(t_1t_2...t_a\)，對於下一個將出如今輸出序列中的元素\(t_{a+1}\)，有兩種狀況

1. 存在於未入棧序列\(p_m...p_n\)中
2. 是棧頂元素\(s_k\)
3. 存在於棧中且不爲棧頂元素

對於狀況一，咱們只需不停地入棧直到\(t_{a+1}\)成爲棧頂元素，此時化歸爲狀況二

對於狀況二，咱們只需彈棧便可

對於狀況三，咱們證實在充分條件下其不存在。

使用反證法假設其存在。因爲\(t_{a+1}\)不爲棧頂元素，設從\(t_{a+1}\)到棧頂選取一個元素\(o_{temp}\)，因爲已經存在的序列是合法的，則\(t_{a+1}\) 的輸出順序應先於\(o_{temp}\)。即\(t{a}\)先於\(t{a+1}\)先於\(o_{temp}\)。因爲現有輸出序列均是由棧彈出得到，根據棧的性質可知入棧順序\(t{a+1}\)先於\(o_{temp}\)先於\(t_a\)，即在序列中，\(t{a+1}\)先於\(o_{temp}\)先於\(t_a\)。令
\[ \begin{align} t_{a+1} & = p_i \\ o_{temp}& = p_j \\ t_a & = p_k \end{align} \]

則與條件矛盾，故可證。

必要性略。

總結

卡特蘭數爲抽籤問題的特殊形式。除卡特蘭數以外，還有一種擴展是在規定了棧長度m之後求可能的輸出序列數，這個問題比較困難，筆者目前尚未頭緒。