線性代數與方程的關係（筆記）

本筆記在Gilbert Strang教授教學基礎上，增長了我本身的理解，若有不妥之處，還請你們批評指正。教授的學習視頻以下：
方程組的幾何解釋

一、線性代數的基本問題

求解線性方程組是線性代數的基本問題。下面咱們圍繞一個二元一次方程組討論相關內容。

$$ \left\{\begin{matrix}2x-y=0 & \\ -x+2y=3 \end{matrix}\right. $$

二、從行圖像理解方程組

從幾何意義角度出發，方程組中每個等式表明一個直線。
用python畫出兩個方程的圖像：

兩條直線相交於(1,2)。

三、從列圖像理解方程組

從係數角度來考慮問題，將變量和係數分開組成新的形式。

$$ x\begin{bmatrix}2\\ -1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1 \\ -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 3\end{bmatrix} $$

變量x、y的係數都是以向量的形式表示。這兩個向量通過x和y放大組合後變成向量

$$ \begin{bmatrix}0 \\ 3\end{bmatrix} $$

(1,2)是方程組的解，此時的線性組合的圖像以下：

四、方程組的矩陣形式

咱們再把列圖像的代數形式進一步深化，也就是已知的方程組係數放一塊兒，變量放一塊兒，因而造成了係數矩陣和變量向量相乘的形式。

$$ \begin{bmatrix}2& -1\\ -1& 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 3\end{bmatrix} $$

令：

$$ A=\begin{bmatrix}2& -1\\ -1& 2\end{bmatrix} $$

$$ X=\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix} $$

$$ b=\begin{bmatrix}0\\ 3\end{bmatrix} $$

方程組就簡化成了：

$$ AX=b $$

與此同時，咱們發現了兩種計算b的方式：

爲何X是列向量的形式而不是行向量的形式?
咱們將AX=b簡化成行和列的數量：A:(2,2)、X:(2,1)、b:(2,1)。在這樣的組合中，A是2行,X是兩行，相乘後b是2行；A是2列，X是1列，最後相乘b變成1列，咱們能夠理解爲A決定b的行數，X決定b的列數。若是咱們把X:(1,2),也就是行向量的形式[x, y]，那麼A是2行，X是1行，相乘b是2行；而A是2列，X是2列，最後b倒是1列，這個規則無法解釋。

1. 行計算

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行計算是根據方程組得到。
其中:

$$ 0 = 2x-y \\3 = -x+2y $$

咱們推廣到通常的形式

$$ b_{11}=A_{11}X_{11}+A_{12}X_{21} \\b_{21}=A_{21}X_{11}+A_{22}X_{21} $$

進一步咱們能夠推廣到三元一次方程...

1. 列計算

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列計算的方式是根據方程組的向量組合形式得到
$$ \begin{bmatrix}0\\ 3\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\ 2\end{bmatrix} $$
b就是A中列向量的線性組合。

五、小結

線性代數是由求解線性方程組引出。有兩種理解方程組的形式：第一種是咱們一直都學習的一個方程一個圖像的形式，方程組的解就是這些圖形相交的部分；第二種是向量的形式，向量形式將方程組簡化爲向量方程式，其解就是線性組合的係數。再第二種的基礎上，又延伸出方程組的矩陣形式，這種形式將方程組中已知的係數和未知的變量從形式上區分開來。同時有行圖像和列圖像，咱們理解了矩陣形式的乘法含義。