2021寒假每日一題《整數集合劃分》

整數集合劃分

題目來源：PAT甲級真題1113
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題目描述

給定一個包含 \(N\) 個正整數的集合，請你將它劃分爲兩個集合 \(A_1\) 和 \(A_2\)，其中 \(A_1\) 包含 \(n_1\) 個元素，\(A_2\) 包含 \(n_2\) 個元素。
集合中能夠包含相同元素。
用 \(S_1\) 表示集合 \(A_1\) 內全部元素之和，\(S_2\) 表示集合 \(A_2\) 內全部元素之和。
請你妥善劃分，使得 \(|n_1−n_2|\) 儘量小，並在此基礎上 \(|S_1−S_2|\) 儘量大。

輸入格式

第一行包含整數 \(N\) 。
第二行包含 \(N\) 個正整數。

輸出格式

在一行中輸出 \(|n_1−n_2|\) 和 \(|S_1−S_2|\) ，兩數之間空格隔開。

數據範圍

\(2 ≤ N ≤ 10^5\) ,
保證集合中各元素以及全部元素之和小於 \(2^{31}\) 。

樣例輸入1

10
23 8 10 99 46 2333 46 1 666 555

樣例輸出1

0 3611

樣例輸入2

13
110 79 218 69 3721 100 29 135 2 6 13 5188 85

樣例輸出2

1 9359

解題思路：貪心

題目讓兩個集合的元素 個數之差最小 ， 數值總和之差最大 ，因此儘可能均分個數。
元素個數爲偶數的時候，分開後，兩個集合元素個數同樣，差值爲 \(0\) 。
元素個數爲奇數的時候，分開後，元素個數差值爲 \(1\) 。
而後要求子集合差值儘可能大，那麼一個集合裏放小的元素，一個集合裏放大的元素就好了。
\(N\) 爲奇數的時候，不能均分，就在大元素的集合裏，多放一個元素。
具體劃分兩個集合的思路以下：

• 將數組排序後，將 \([0,n/2)\) , \([n/2,n]\) 分別做爲 \(A_1\) , \(A_2\) 兩個集合。
• 數值總和之差 = 全部元素總和 - 兩倍的 \([0,n/2)\) 區間的總和。

讀入給定的數組，邊讀入邊計算全部元素的總和。
而後減去兩倍的 \([0,n/2)\) 區間的總和，即獲得最大的數值總和之差。
個數之差根據輸入的 \(N\) 來判斷，N爲偶數則個數之差最小爲0，不然爲1。

解題代碼-Java

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int n = input.nextInt();
        int[] a = new int[n];
        long s = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            a[i] = input.nextInt();
            s += a[i];
        }
        input.close();

        Arrays.sort(a);

        for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
            s -= 2L * a[i];
        }

        System.out.printf("%d %d\n", n % 2, s);
    }
}