海量數據：判斷一棵樹是否爲另外一棵樹的子樹

T1是一棵含有幾百萬個節點的樹，T2含有幾百個節點。判斷T2是不是T1 的子樹。

首先考慮小數據量的狀況，能夠根據樹的前序和中序遍歷所得的字符串，來經過判斷T2生成的字符串是不是T1字符串的子串，來判斷T2是不是T1的子樹。假設T1的節點數爲N，T2的節點數爲M。遍歷兩棵樹算法時間複雜性是O(N + M)， 判斷字符串是否爲另外一個字符串的子串的複雜性也是O( N + M)（好比使用KMP算法）。所須要的空間也是O(N + M)。

這裏有一個問題須要注意：對於左節點或者右節點爲null的狀況，須要在字符串中插入特殊字符表示。不然對於下面這種情形將會判斷錯誤：

所以若是插入特殊字符，上述兩棵樹的中序和前序遍歷的結果是相同的。

因爲本例有幾百萬的節點，須要佔用O(N + M)的內存。

若是換一種思路，就是遍歷T1，每當T1的某個節點與T2的根節點值相同時，就判斷兩棵子樹是否相同。這個算法的複雜度是O(N*M)。咱們再仔細思考一下。由於只有在節點值與T2的根節點值相同纔會調用O(M)。假設有K次這種狀況，那麼算法的複雜度就是O(N + K*M)。下面是代碼實現：

struct TreeNode{
	TreeNode *leftChild;
	TreeNode *rightChild;
	int data;
};
// check sub tree n1 == sub tree n2
 bool checkSubTree(const TreeNode* n1, const TreeNode* n2){
	if( n1 == nullptr && n2 == nullptr )
		return true;
	
	if( n1 == nullptr || n2 == nullptr )
		return false;
	
	if( n1->data != n2->data )
		return false;
	
	return checkSubTree(n1->leftChild, n2->leftChild) && checkSubTree(n1->rightChild, n2->rightChild);
}
bool subTree(const TreeNode *n1, const TreeNode *n2){
	if( n1 == nullptr){
		return false; // the bigger tree is empty, so t2 is not subtree of t1
	}
	
	if( n1->data == n2->data){
		if( checkSubTree(n1, n2))
			return true;
	}
	
	return subTree(n1->leftChild, n2) || subTree(n2->rightChild, n2);
}
 

對於上面討論的2種解法，哪一種解法比較好呢？其實有必要好好討論一番：

1）方法一會佔用O(N + M)的內存，而另一種解法只會佔用O(logN + logM)的內存（遞歸的棧內存）。當考慮scalability擴展性時，內存使用的多寡是個很重要的因素。

2）方法一的時間複雜度爲O(N + M)，方法二最差的時間複雜度是O(N*M)。因此要經過工程實踐或者是歷史數據看一下哪一種方法更優。固然了，方法二也可能會很早發現兩棵樹的不一樣，早早的退出了checkSubTree。

總的來講，在空間使用上，方法二更好。在時間上，須要經過實際數據來驗證。