R與金錢遊戲：美股與ARIMA模型預測

彷佛突如其來，彷佛合情合理，咱們和巴菲特老先生一塊兒親見了一次，又一次，雙一次，叒一次的美股熔斷。身處歷史的洪流，眇小的咱們會不由發問：那之後呢？還會有叕一次嗎？因而就有了這篇記錄：利用ARIMA模型來預測美股的走勢。

1. Get Train Dataset and Test Dataset

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本例子簡單地以2020年第一季度的道指的收盤價爲數據集（數據來源雅虎財經），將前面95%的數據用做本次預測的訓練集，後面5%的數據用做本次預測的測試集。

library(quantmod)
stock <- getSymbols("^DJI", from="2020-01-01", from="2020-03-31", auto.assign=FALSE)
names(stock) <- c("Open", "High", "Low", "Close", "Volume", "Adjusted")
stock <- stock$Close
stock <- na.omit(stock)
train.id <- 1: (0.95*length(stock))
train <- stock[train.id]
test <- stock[-train.id]

2. Stationarity Test

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因爲ARIMA預測要求輸入數據爲平穩時間序列。若是輸入數據爲非平穩時間序列，則須要對數據進行平穩化處理。識別數據集是否爲平穩時間序列，本例子用了兩種方法：1）簡單粗暴的觀察法；2）白噪聲檢驗。

其實對於屢次熔斷向下再向下的道指來講，撇開各類觀察和檢驗的方法，咱們都知道他必定是非平穩時間序列了。下面兩種方法就是打個版：當咱們遇到不太明顯的時間序列時能夠怎麼作？

2.1 Observational Method

下圖斷崖式降低的曲線代表訓練集爲非平穩時間序列。

library(ggplot2)
library(scales)
plot<-ggplot(data=train) +
      geom_line(aes(x=as.Date(Index), y=Close), size=1, color="#0072B2")+
      scale_x_date(labels=date_format("%m/%d/%Y"), breaks=date_breaks("2 weeks"))+
      ggtitle("Dow Jones Industrial Average") +
      xlab("")+
      theme_light()
print(plot)

2.2 Ljung‐Box Statistics Test

利用 Ljung–Box test 獲得 p-value = 2.2e-16 < 0.05, 由此拒絕時間序列爲白噪聲的假設。

Box.test(train, lag=1, type = "Ljung-Box")

3. Differencing

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上述咱們可知本訓練集爲非平穩時間序列，因此咱們利用差分對它進行平穩化處理。對訓練集分別進行一階差分和二階差分後，從下圖其實並不能很容易看出一階差分以及二階差分是否爲平穩序列。因而咱們對其進行了ADF檢驗。從檢驗結果可知： 原序列：p-value = 0.5336 > 0.05，拒絕它是平穩序列的假設； 一階差分：p-value = 0.4495 > 0.05，拒絕它是平穩序列的假設； 二階差分：p-value = 0.01 < 0.05，接受它是平穩序列的假設。

因此咱們將利用其二階差分序列進行ARIMA預測。

library("tseries")
train.diff1 <- diff(train, lag = 1, differences = 1)
train.diff2 <- diff(train, lag = 1, differences = 2)
adf.test(train)
adf.test(na.exclude(train.diff1))
adf.test(na.exclude(train.diff2))

4. ARIMA Model

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4.1 Choosing the order

當咱們肯定用二階差分序列進行預測後，則須要對模型進行定階。以下圖所示，對於ACF，滯後1-2階在2倍標準差外，因此q=2；對於PACF，一樣也是滯後1-2階都在2倍標準差外，因此p=2，因此將會選擇模型ARIMA(2,2,2)。

acf <- acf(na.omit(train.data.diff2$Close), plot=TRUE)
pacf <- pacf(na.omit(train.data.diff2$Close), plot=TRUE)

爲了保證選擇的模型是最優的，建議能夠多選擇接近的模型，而後根據AIC準則或者BIC準則選取最優的模型。好比利用自動定階的方法，得出一個模型ARIMA(1,1,0)

library(forecast)
auto.arima(train.data,trace=TRUE) #Best model is ARIMA(1,1,0)

通過比較發現仍是模型ARIMA(2,2,2)較優：

data.autofit<-arima(train.data,order=c(1,1,0))
AIC(data.autofit)
BIC(data.autofit)
data.fit<-arima(train.data,order=c(2,2,2))
AIC(data.fit)
BIC(data.fit)

Model	AIC	BIC
ARIMA(1,1,0)	930.5894	934.6755
ARIMA(2,2,2)	919.8881	930.0149

4.2 Model Validation

對擬合殘差進行白噪聲檢驗，獲得p-value = 0.8221 > 0.05，並且acf在lag=1後迅速減少，可得殘差爲白噪聲。

forecast <-forecast(data.fit, h=4, level=c(99.5))
forecast.data <- data.frame("Date"=index(train), "Input"=forecast$x, "Fitted"=forecast$fitted, "Residuals"=forecast$residuals)
acf(forecast.data$Residuals)
Box.test(forecast.data$Residuals, lag=sqrt(length(forecast.data$Residuals)), type = "Ljung-Box")

咱們將訓練集數據和擬合數據同時畫在圖上，能夠看到二者的差異是在可接受範圍的。

4.3 Forecast and Test Data

將預測結果與測試集對比，二者的最大相對偏差爲 0.056，可見模型是表達充分的，預測結果良好。

5. Forecast

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上述已經找到合適的預測模型了， 因而就能夠用這個模型ARIMA(2,2,2)來預測將來5天的道指走勢了。預測將來道指將在22000波動，均值微跌(呈下跌趨勢)，波動範圍爲16000-26000左右。簡單說，這個模型的預測是前景不容樂觀。

data.forecast<-arima(stock,order=c(2,2,2))
newforecast<-forecast(data.forecast, h=5, level=c(99.5))