線性代數筆記25——馬爾可夫矩陣

A^T的特徵值

　　矩陣A的特徵值和A^T的特徵值是同樣的。

　　求解特徵值的方法是det(A-λI) = 0，根據行列式的性質，矩陣的行列式等於矩陣轉置的行列式，所以：

　　所以λ也是A^T的特徵值。

馬爾可夫矩陣

　　矩陣A有2個特色：A中的全部元素都是非負的；A中的每一列之和都等於1。形如A的矩陣稱爲馬爾可夫矩陣。馬爾可夫矩陣主要應用在機率領域。將一個馬爾可夫矩陣進行方冪運算仍然獲得馬爾可夫矩陣。

　　當處理一個微分方程時，特徵值0意味着獲得了一個穩態。當進行矩陣的方冪運算時，穩態的條件包括：

1. λ₁=1是特徵值之一。
2. 其餘特徵值的絕對值比1小，|λ_i|<1

　　給定一個向量u₀和一個可以對角化的矩陣A，若是u_k+1=Au_k，那麼：

　　當λ₁=1，其餘特徵值的絕對值比1小時，則u_k在k增大的過程當中趨近於C₁x₁，即給出了一個穩態。x₁是A的特徵向量，它的每一個份量都是大於或等於0的值。

爲何必定有λ=1的特徵值

　　馬爾可夫矩陣的每一列之和爲1，這個性質保證了矩陣有一個λ=1的特徵值。

　　回顧前面的章節，咱們經過下式來計算A的特徵值：

　　若是λ=1時是一個特徵值，那麼A-λI必定是一個奇異矩陣：

　　A減去單位向量至關於把A的每一列之和減去1，此時全部行向量相加獲得0向量，這意味着一個行向量能夠用另外兩個行向量表示，所以行向量是線性相關的，A-I是奇異矩陣，必定會有det(A-I)=0。

人口的流動

　　對於方程u_k+1=Au_k，A是馬爾可夫矩陣，咱們用人口的流動解釋馬爾可夫矩陣。

　　u的份量分別表示兩個城市人口，A中的每一列表明人口的去留比例。第一列的0.9表示留在u_A的人口占u_A總人口的90%，剩餘10%流入u_B；第二列的0.2表示從u_B流入u_A的人口占u_B的20%，剩餘80%留在u_B。每一列的加和爲1保證了總人口不變。若是有一個初始值：

　　表示在t=0時刻，u_A的總人口是0，是個待開闢的新城市，u_B有1000人。通過一次遷徙，在t=1時刻：

 

　　此次遷徙主要是從u_B遷入u_A，有200人進入u_A，剩餘800人留在u_B。

 

　　咱們但願得到長時間遷徙後的人口分佈，這須要知道A的特徵值和特徵向量。A是馬爾可夫矩陣，所以一個特徵值是λ₁=1，經過矩陣的跡可知另外一個特徵值是λ₂=0.9+0.8-1=0.7。由此能夠求得兩個特徵向量：

　　因爲兩個特徵值符合方冪運算時達到穩態的條件，因此u_k在k增大的過程當中趨近於C₁x₁，即最後通過多年的遷徙，兩個城市的人口趨近於定值：

　　

綜合示例

　　一個顆粒能夠在A和B之中來回跳動，跳動的機率以下圖所示：

　　若是顆粒在A，下一次跳到B的機率是0.4，仍然留在A的機率是0.6；若是在B，下一次跳到A的機率是0.2，仍然留在B的機率是0.8。

　　若是顆粒最初在A，那麼它一步以後，n步以後，無窮步後留在A或移動到B的機率是多少？

　　

　　首先構建模型，將上圖構形成馬爾可夫矩陣：

　　第一列表示顆粒停留在A的機率是60%，從A跳到B的機率是40%；第二列表示從B跳到A的機率是20%，停留在B的機率是80%。

　　顆粒最初在A位置，所以初始條件是：

　　第一次移動後，停留在A的機率是60%，移動到B的機率是40%：

　　第n次移動後：

　　u_n的兩個份量分別表示第n次移動後停留在A的機率和移動到B的機率。

　　無窮步後，留在A的機率是33.33%。

　　

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　　做者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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