[轉]勒貝格積分的框架與通俗理解

時間 2019-11-12

標籤積分框架通俗理解简体版

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爲何會出現勒貝格積分

這個問題等價于勒貝格積分和黎曼積分有什麼區別。其實這個區別沒有那麼玄，反而很好解釋。問題的根源在於黎曼積分的定義上。
黎曼積分：

$\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_{i})(x_{i+1}-x_{i})$ .

黎曼積分是在 $x$ 軸上作的分割，雖然能夠分割得很細，但只要被積函數在這個分割區間上的上界 $sub$ 和下界 $inf$ 的差不能被控制到很小時就有可能使得分割和不惟一。換言之，此時這種奇葩的函數在黎曼積分意義下不可積。這反過來也暗示了黎曼可積時被積函數不能變化太突兀。在這樣的定義下，狄利克雷函數做爲極品的表明沖垮了黎曼積分的防護範圍。

因此，爲了使更多奇葩的函數可積，須要新的角度去定義積分。既然值域不安定，那就在值域上分割吧。當值域分割得足夠小時，每一段值域所對應的定義域就不是區間，而是可測集。定義以下

勒貝格積分：
$S(f)=\sum_{i=0}^{n-1}\xi_{i}|E_{i}|$

因此，爲了準確地刻畫勒貝格積分，就要首先定義好可數，不可數，可測集，不可測集這些概念。
更重要的是，勒貝格積分此時也拓展了咱們對勒貝格可積函數的理解：它能夠很靈活。爲何這麼說呢？假設積分區間是[0,1]，咱們之前考慮黎曼可積函數時就只能從0開始到1，對應的值域也就只能從左邊呈現到右邊。但如今在勒貝格可積下，我能夠把[0,1]按對應值域的近似能夠打散成不少個可測子集，這些子集容許毫無順序，其對應的值域天然也會毫無順序。因此，在勒貝格可積意義下，根本就沒必要理會函數的總體性，根本沒必要理會這個函數是否連續(【 $Riemann$ 積分天然也不要求函數連續，我意在指出勒貝格積分從誕生的這一刻開始就已經不用考慮連續，但從黎曼積分的定義看，它受連續性質影響， $Riemann$ 積分在連續前提下堪稱完美】)。顯然咱們至此對函數的認識已經躍升到一個新的層次，進入到可測函數這塊領域。你看，勒貝格積分遠不止對函數的可積提供了一種新思路，更重要的是徹底拓展了支撐其這個理論的新體系。這，就是勒貝格積分的深入之處。

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3.不能不談的可測函數

對，咱們前面從勒貝格積分引出可測函數，而課本是先介紹好各類支撐體系的準備最後才進入到勒貝格積分的。這看起來彷佛跟教材的安排相反，不，這偏偏很天然。咱們須要研究可測函數才方便後面探討勒貝格積分的性質。這裏整篇文章都是執果索因，咱們從勒貝格積分出發，一步一步挖掘新的支撐理論。固然這是後話了。

咱們高中就已經知道函數的三要素是定義域，值域和對應法則。從前面的敘述咱們可能已經隱約感受到，研究可測函數，關鍵是函數的定義域，便可測集。因此咱們談可測函數前，首先得來認識什麼是可測集。

簡單來講，具備測度可加性的集合叫可測集。不具備可加性的集合天然就叫不可測集。

到這裏能夠打住了，能夠直接跳到可測函數那裏，若有興趣不妨看完*號裏面的內容。

********************補充「什麼叫可加性」*********************

集合的外測度：設 $E$ 是 $R^n$ 的點集， $\{I_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 是 $R^{n}$ 中的一列開長方體， $\bigcup_{n=1}^{\infty}I_{n}\supset E$ ，則 $\sum_{n=1}^{\infty}|I_{n}|$ 肯定一個非負的數 $u$ .記
$m^{*}E=inf\{u|u=\sum_{n=1}^{\infty}|I_{n}|,\bigcup_{n=1}^{\infty}I_{n}\supset E$ ， $I_{n}$ 是開長方體 $\}$
稱 $m^{*}E$ 爲 $E$ 的勒貝格外測度。

集合的可加性體如今外測度上：
若是 $A\cap B= \varnothing$ ，有 $m^{*}A\cupB=m^{*}A+m^{*}B$ ，則說外測度對集合 $A$ 和 $B$ 有可加性。

看到這裏可能有朋友吐槽了：擦，這不是很顯然嗎?!不，確實是有些集合的外測度不具可加性的，相關例子在《實變函數》或《實分析》均可以找到。
爲何要引入測度，可見：
http://www.doc88.com/p-052298310128.html
******************************************************
OK，回到可測函數上來。
定義：假設 $E\subset R^{n}$ , $f(x)$ 是 $E$ 上的函數，若是對任意常數 $a$ ，集合

$E\{f(x)>a\}\triangleq\{x|x\in E,f(x)>a\}$

都是可測集，則稱 $f$ 是 $E$ 上的可測函數。

考慮到咱們接觸到的集合都不算什麼極品，這個定義意味着：幾乎咱們接觸到的函數都是可測函數。

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4.可測函數的分析性質

這個分析性質主要是逼近方面的。咱們之前學習過數學分析，知道函數列也有極限，連續，收斂和一致收斂的相關定理。沒錯，勒貝格積分論就借鑑了這種思路，一樣探討可測函數列的極限，連續，收斂和一致收斂。

4.1 幾乎到處收斂的逆襲(相似屌絲の逆襲  )

對於函數列來講，一致收斂>收斂>幾乎到處收斂>依測度收斂(有限測度集下)。但只要可測函數列去掉一個測度幾乎爲0的可測集後，卻是能夠從幾乎到處收斂變成一致收斂的。很驚訝吧

$Egoroff$ 定理(兩個命題等價)

$\lim_{n \to \infty}f_{n}(x)=f(x) a.e.[E]$ $\Longleftrightarrow$
$\forall \delta>0$ ，存在可測子集 $E_{\delta}\subset E$ ，s.t. $m(E-E_{\delta})<\delta$ ，而在 $E_{\delta}$ 上， $f_{n}(x) \rightrightarrows f(x)$ .

---------------------勒貝格定理(幾乎到處收斂>依測度收斂)--------------
$f(x)$ ， $f_{1}(x)$ ， $f_{2}(x)$ ， $\dots$ 是 $E$ 幾乎到處可測，若 $f_{n}(x)\rightarrow f(x) a.e.[E]$

4.2 $Riesz$ 定理(依測度收斂到幾乎到處收斂の逆襲  )

但這個逆襲是局部的
設 $f_{n}(n=1,2,...)$ ， $f$ 是 $E$ 上的可測函數，若是 $f_{n}\Rightarrow f$ ，則 $\exsit$ 子序列 $\{f_{n_{i}}\}$ ,使得 ${f_{n_{i}}(x)\rightarrow f(x) a.e.[E]$ .

4.3 幾乎到處有限到連續

固然這個連續是勒貝格積分體系下的連續，不過其實其概念本質跟古典分析同樣，只是用集合來闡述。不過仔細想一想，古典分析其實也是用集合(區間)的。

這僅僅是代表的，事實上勒貝格積分定義下的連續跟古典分析中的定義有區別，他是否連續會很依賴於給出來的集合。換句話說，不一樣集合下，函數的連續性可能不同。

$Lusin$ 定理
具體我就不給出明確的數學描述了，大意是：可測函數 $f(x)$ 在有限測度集 $E$ 幾乎到處有限，存在一個測度幾乎等於 $mE$ 的閉集， $f(x)$ 在這個閉集上連續。

從前面看來，可測函數(列)彷佛在定義域上稍稍處理就能夠有很好的性質。但到這裏我開始有疑問：在勒貝格積分下並不能去掉的那非0可測集，若是不能去掉這些性質在勒貝格積分下還有什麼意義呢？
哈，如今這裏賣個關子，後面會繼續解釋。  (其實這是我後來補上的，當時確實很困惑)

函數

5.勒貝格積分的交換問題

5.1 極限 $\lim$ 與積分號 $\int$ 的交換

回憶一下咱們在數學分析中積分和極限的交換要求是什麼？
$\lim_{n \to \infty}\int_{E} f_{n}(x)=\int_{E}f(x)dx$ 即極限符號什麼狀況下能夠放到積分號裏面？
對，一致收斂。但一致收斂要求過高，不少狀況下實際上很難作到，咱們但願大部分函數均可以不用考慮一致收斂而直接放到積分號裏面算極限。
既然可測函數那麼靈活，是否能夠放寬這個交換條件呢？答案是確定的。

$Levi$ 定理
1) $f_n(x)$ 是 $E$ 上的非負可測遞增函數序列，即 $0\leq f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$
2) $\lim_{n \to \infty}f_{n}(x)=f(x) a.e.[E]$
則
$\lim_{n \to \infty}\int_{E} f_{n}(x)=\int_{E}f(x)dx$

5.2 逐項連和 $\sum$ 與積分號 $\int$ 的交換
即 $\int_{E}\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E}f_{n}(x)dx$ 什麼時候在勒貝格積分下成立？

其實這由 $Levi$ 定理能夠推出，即 $Lebesgue$ 基本定理，固然函數列依然要是非負可測函數列。這個推論並不困難
令 $S_{k}(x)=\sum_{n=1}^{k}f_{n}(x)$ ，這樣 $S_{k}$ 知足 $Levi$ 定理中的條件，有
$\int_{E}\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)dx=\lim_{k \to \infty}\int_{E}S_{k}(x)dx=\lim_{k \to \infty}\sum_{n=1}^k\int_{E}f_{n}(x)dx...$

嗯，這看起來什麼問題都解決了。不，其實下面是吐槽時間。你看看 $Levi$ 定理使用條件，先要是非負，還得是遞增序列，最後還得是幾乎到處收斂。。。擦，這不是坑爹嗎？有木有！有木有！！大佬，我就是想交換一下極限和積分符號而已，用得着這麼折磨人嗎？

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6.控制收斂定理最後的逆轉

前面在第四節我就提出了一個尖銳的問題：若是可測函數列的性質不能用在勒貝格積分中，那研究它還有神馬意思？但要用到它，必須正面回答一個問題，在那個測度差很少爲0的可測集上的積分是否可控在一個很小的範圍內？

積分的絕對連續性完美地回答了這個問題。

若 $f(x)$ 在 $E$ 上可積，則對 $\forall \varepsilon>0$ ， $\exists \delta>0$ ，使得 $A\subset E$ ，且 $mA<\delta$ 時， $|\int_{A}f(x)dx|<\varepsilon$ .

說實話，我以爲這是實變裏面很是重要的定理，雖然它沒有什麼響亮的名字。OK，既然那個很小的可測集沒有影響，那就好辦了。

update：後來我在曹廣福的博客裏看到了相似的分析，沒想到咱們都對這一點感到很是驚歎！ http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-234079.html

$Lebesgue$ 控制收斂定理指出：

若 $\{f_{m}\}$ 是 $E$ 上的可測函數列， $f_{m}(x)\leq F(x) a.e.[E]$ ，若是 $f_{m}\Rightarrow f$ ，則 $f$ 在 $E$ 上可積，且
$\lim_{m \to \infty}\int_{E}f_{m}(x)dx=\int_{E}\lim_{m \to \infty}f_{m}(x)dx=\int_{E}f(x)dx.$

看，這個定理比 $Levi$ 定理好不少了。固然定理中若是能找到一個常數(這天然是勒貝格可積的)的話就更好看了，事實上這就是有界收斂定理。
不少人在剛接觸這兩個定理的時候容易混淆，但其實很好理解。控制收斂定理裏面有個控制函數，而用一個有界數去代替的話就是有界收斂定理了。這很通俗易懂啦~~哈哈

囉嗦一下，控制收斂定理中並無說 $E$ 必定爲「有限可測集」，但若是是「無限可測集」的話，此時上幾乎到處收斂的函數列不必定是依測度收斂的。但不要緊，定理依然成立。

寫了這麼多，咱們已經有足夠的依據來講明爲何勒貝格積分要從黎曼積分中獨立出來了。由於勒貝格積分有更通常性完整的理論體系，而這個理論並不依賴黎曼積分。既然黎曼積分解決不了那就進入另外一個能解決的完總體系中處理啊，因此把勒貝格積分獨立出來是很天然的事。學習

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