擴展盧卡斯定理(Exlucas)

題目連接

戳我

前置知識

1. 中國剩餘定理(crt)或擴展中國剩餘定理(excrt)
2. 乘法逆元
3. 組合數的基本運用
4. 擴展歐幾里得(exgcd)

說實話Lucas真的和這個沒有什麼太大的關係，可是Lucas仍是要學學的:戳我

正文

題目是要求: $$c_n^m mod \ p$$

若是這個p是質數的話那太簡單了,直接Lucas就行了，但問題是如今p不必定是一個質數。

咱們令 $P=\prod {p_i}^{c_i}$

咱們若是知道每一個$c_n^m mod \ p_i^{c_i}$的值的話就能夠根據中國剩餘定理求出答案 那咱們怎麼求出這個值呢？ 咱們能夠將$c_n^m$寫成$\frac{n!}{m!(n-m)!}$

如今咱們能夠處理階乘的模。那麼如何處理階乘的模呢？

舉個經典例子： $p=3,n=19,c=2$時 咱們能夠吧式子寫成這樣： $$(19181716151413121110987654321)$$ $$=(19171614131110875421)3^66!$$ 咱們能夠將他分爲幾個部分 $$19*(171614131110)(87542*1)3^66!$$

咱們會發現對於每個整的部分如$(87542*1)$的模數都是同樣的，因而這一塊咱們能夠運用快速冪，而剩餘的$19$咱們能夠進行暴力。對於$6!$咱們能夠繼續遞歸求解,那麼怎麼分組呢 咱們能夠把每一段的範圍定爲$p^c$。差很少就這樣吧。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define int long long
#define file(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
using namespace std;
int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
    return f*x;
}
inline void exgcd(int a,int b ,int &x,int &y){
    if(!b){x=1,y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y,y=t-(a/b)*y;
}
inline int inv(int a,int b){
    int x,y;
    return exgcd(a,b,x,y),(x%b+b)%b;
}
inline int ksm(int a,int b,int p){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=a*ans%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}
inline int crt(int x,int p,int mod){
    return inv(p/mod,mod)*(p/mod)*x;
}
inline int fac(int x,int a,int b){
    if(!x)
        return 1;
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=b;i++)
    if(i%a)
            ans*=i,ans%=b;
    ans=ksm(ans,x/b,b);
    for(int i=1;i<=x%b;i++)
        if(i%a)
            ans*=i,ans%=b;
    return ans*fac(x/a,a,b)%b;
}
inline int C(int n,int m,int a,int b){
    int N=fac(n,a,b),M=fac(m,a,b),Z=fac(n-m,a,b),sum=0;
    for(int i=n;i;i=i/a)
        sum+=i/a;
    for(int i=m;i;i=i/a)
        sum-=i/a;
    for(int i=n-m;i;i=i/a)
        sum-=i/a;
    return N*ksm(a,sum,b)%b*inv(M,b)%b*inv(Z,b)%b;
}
inline void exlucas(int n,int m,int p){
    int t=p,ans=0;
    for(int i=2;i*i<=p;i++){
        int k=1;
        while(t%i==0)
            k*=i,t/=i;
        ans+=crt(C(n,m,i,k),p,k),ans%=p;
    }
    if(t>1)
        ans+=crt(C(n,m,t,t),p,t),ans%=p;
    printf("%d",ans%p);
}
main(){
    int n=read(),m=read(),p=read();
    exlucas(n,m,p);
    return 0;
}