用Java寫算法之六：希爾排序

希爾排序（Shell's sort）是一種很是「神奇」的排序算法。說它「神奇」，是由於沒有任何人能清楚地說明它的性能到底能到什麼狀況。希爾排序因DL．Shell於1959年提出而得名。自從C. A. R. Hoare在1962年提出快速排序後，因爲其更爲簡單，通常採用快速排序。可是，很多數學家們仍是孜孜不倦地尋找希爾排序的最佳複雜度。做爲普通程序員，咱們能夠學習下希爾的思路。

順便說一句，在希爾排序出現以前，計算機界廣泛存在「排序算法不可能突破O(n²)」的觀點。希爾排序的出現打破了這個魔咒，很快，快速排序等算法相繼問世。從這個意義上說，希爾排序帶領咱們走向了一個新的時代。

算法概述/思路

希爾排序的提出，主要基於如下兩點：

1.插入排序算法在數組基本有序的狀況下，能夠近似達到O(n)複雜度，效率極高。

2.但插入排序每次只能將數據移動一位，在數組較大且基本無序的狀況下性能會迅速惡化。

基於此，咱們可使用一種分組的插入排序方法，具體作法是：（以一個16元素大小的數組爲例）

1.選擇一個增量delta，該增量大於1，從數組中按此增量選擇出子數組進行一次直接插入排序。例如，若選擇增量爲5，則對下標爲0，5，10，15的元素進行排序。

2.保留該增量delta並依次移動首個元素進行直接插入排序，直到一輪完成。對於上面的例子，則依次對數組[1，6，11]，[2，7，12]，[3，8，13]，[4，9，14]進行排序。

3.減少增量，不斷重複上述過程，直到增量減少爲1.顯然，最後一次爲直接插入排序。

4.排序完成。

從上面能夠看出，增量是不斷減少的，所以，希爾排序又被成爲「縮小增量排序」。

下面是希爾排序的示意圖（圖片來自維基百科）:

代碼實現

實現代碼1：

public static void shellSort(int[] arr){
    int temp;
    for (int delta = arr.length/2; delta>=1; delta/=2){                              //對每一個增量進行一次排序
        for (int i=delta; i<arr.length; i++){              
            for (int j=i; j>=delta && arr[j]<arr[j-delta]; j-=delta){ //注意每一個地方增量和差值都是delta
                temp = arr[j-delta];
                arr[j-delta] = arr[j];
                arr[j] = temp;
            }
        }//loop i
    }//loop delta
}

實現代碼2：

public static void shellSort2(int[] arr){
    int delta = 1;
    while (delta < arr.length/3){//generate delta
        delta=delta*3+1;    // <O(n^(3/2)) by Knuth,1973>: 1, 4, 13, 40, 121, ...
    }         
    int temp;
    for (; delta>=1; delta/=3){
        for (int i=delta; i<arr.length; i++){              
            for (int j=i; j>=delta && arr[j]<arr[j-delta]; j-=delta){
                temp = arr[j-delta];
                arr[j-delta] = arr[j];
                arr[j] = temp;
            }
        }//loop i
    }//loop delta
}

算法性能/複雜度

希爾排序的增量數列能夠任取，須要的惟一條件是最後一個必定爲1（由於要保證按1有序）。可是，不一樣的數列選取會對算法的性能形成極大的影響。上面的代碼演示了兩種增量。

切記：增量序列中每兩個元素最好不要出現1之外的公因子！（很顯然，按4有序的數列再去按2排序意義並不大）。

下面是一些常見的增量序列。

第一種增量是最初Donald Shell提出的增量，即折半下降直到1。據研究，使用希爾增量，其時間複雜度仍是O(n²)。

第二種增量Hibbard：{1, 3, ..., 2^k-1}。該增量序列的時間複雜度大約是O(n^1.5)。

第三種增量Sedgewick增量：(1, 5, 19, 41, 109,...)，其生成序列或者是9*4^i - 9*2^i + 1或者是4^i - 3*2^i + 1。

下面的表中有更多的增量（來自http://en.wikipedia.org/wiki/Shellsort）：

算法穩定性

咱們都知道插入排序是穩定算法。可是，Shell排序是一個屢次插入的過程。在一次插入中咱們能確保不移動相同元素的順序，但在屢次的插入中，相同元素徹底有可能在不一樣的插入輪次被移動，最後穩定性被破壞，所以，Shell排序不是一個穩定的算法。

算法適用場景

Shell排序雖然快，可是畢竟是插入排序，其數量級並無後起之秀--快速排序O(n㏒n)快。在大量數據面前，Shell排序不是一個好的算法。可是，中小型規模的數據徹底可使用它。

參考資料

1.維基百科 http://zh.wikipedia.org/zh/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E6%8E%92%E5%BA%8F