最大公約數與最小公倍數

最大公約數與最小公倍數，又分別被稱爲gcd與lcm，在引入該概念以前，咱們先來看看整除性問題。

定義：設a，b是兩個整數，且b ≠ 0。若是存在整數c，使a=bc，則稱a被b整除，或b整除a，記做 b | a。

最大公約數與最小公倍數的性質：

（1）若a | m，b | m，則 lcm(a,b) | m 。

（2）若d | a，d | b，則d | gcd(a,b)。

（3）lcm(a,b) = ab / gcd(a,b)。

（4）設m，a，b是正整數，則 lcm(ma,mb) = m*gcd(a,b)。

（5）設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數

         則有：gcd(a,b) = gcd(b,r)

由性質5引申出展轉相除法，又稱歐幾里得算法

long long gcd(long long a, long long b)
{
    if (a < b)return gcd(b, a);
    if (b == 0)return a;
    else
        return gcd(b, a%b);
}

通過優化的分奇數和偶數的歐幾里得算法

long long gcd(long long x, long long y)
{
    if (x < y) return gcd(y, x);//大數放在前面
    if (y == 0) return x;
    else {
        if (!(x % 2)) {
            if (!(y % 2))
                return 2 * gcd(x >> 1, y >> 1);//x，y皆爲偶數
            else
                return gcd(x >> 1, y);//x爲偶數，y是奇數
        }
        else
        {
            if (!(y % 2))
                return gcd(x, y >> 1);//x是奇數，y是偶數
            else
                return gcd(y, x - y);//x，y都是奇數
        }
    }
}

求最小公倍數的算法，這裏直接套用公式，可是要注意，先除後乘，防止在運算過程爆數據

long long lcm(long long a, long long b)
{
    return a / lcm(a, b)*b;
}

拉梅定理

用歐幾里得算法計算兩個正整數的最大公因子時，所需的除法次數不會超過兩個整數中較小的那個十進制數的倍數的5倍。

拉梅定理推論：求兩個正整數a，b，a>b的最大公因子須要O(log2(a))^3次的位運算。