爲何樣本方差的分母是n-1？爲何它又叫作無偏估計？

 

爲何樣本方差的分母是n-1？最簡單的緣由，是由於由於均值已經用了n個數的平均來作估計在求方差時，只有(n-1)個數和均值信息是不相關的。而你的第ｎ個數已經能夠由前(n-1)個數和均值　來惟一肯定，實際上沒有信息量。因此在計算方差時，只除以(n-1)。

 

那麼更嚴格的證實呢？請耐心的看下去。

 

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樣本方差計算公式裏分母爲的目的是爲了讓方差的估計是無偏的。

無偏的估計(unbiased estimator)比有偏估計(biased estimator)更好是符合直覺的，儘管有的統計學家認爲讓mean square error即MSE最小才更有意義，這個問題咱們不在這裏探討；不符合直覺的是，爲何分母必須得是而不是才能使得該估計無偏。

首先，咱們假定隨機變量的數學指望是已知的，然而方差未知。在這個條件下，根據方差的定義咱們有

由此可得

 

 

 

所以

是方差的一個無偏估計，注意式中的分母不偏不倚正好是！這個結果符合直覺，而且在數學上也是顯而易見的。

如今，咱們考慮隨機變量的數學指望是未知的情形。這時，咱們會傾向於無腦直接用樣本均值替換掉上面式子中的。這樣作有什麼後果呢？後果就是，若是直接使用

 

 

 

做爲估計，那麼你會傾向於低估方差！這是由於：

 

 

 

換言之，除非正好，不然咱們必定有

 

 

而不等式右邊的那位纔是的對方差的「正確」估計！這個不等式說明了，爲何直接使用

 

 

會致使對方差的低估。

那麼，在不知道隨機變量真實數學指望的前提下，如何「正確」的估計方差呢？答案是把上式中的分母n換成n-1，經過這種方法把原來的偏小的估計「放大」一點點，咱們就能得到對方差的正確估計了：

 

 

至於爲何分母是n-1而不是n-2或者別的什麼數，最好仍是去看真正的數學證實，由於數學證實的根本目的就是告訴人們「爲何」；暫時我沒有辦法給出更「初等」的解釋了。

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