iOS開發浮點數計算精度問題

一、浮點數運算帶來的問題

CGFloat badnum = 1.05f;
NSLog(@"badnumX100 = %f",badnum*100);
//輸出
//badnumX100 = 104.999995  
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在平常工做中涉及到浮點數(float、double)的運算

二、浮點數運算精度的解決方案

NSDecimalNumber的實現

#define NSDecimalMaxSize (8)
    // Give a precision of at least 38 decimal digits, 128 binary positions.

#define NSDecimalNoScale SHRT_MAX

typedef struct {
    signed   int _exponent:8;//冪指數
    unsigned int _length:4;     // length == 0 && isNegative -> NaN
    unsigned int _isNegative:1;//符號
    unsigned int _isCompact:1;
    unsigned int _reserved:18;
    unsigned short _mantissa[NSDecimalMaxSize];//存儲數據
} NSDecimal;
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使用NSDecimalNumber進行浮點數的運算

//100.0轉化成NSDecimalNumber
    NSDecimalNumber *g_100 = [NSDecimalNumber decimalNumberWithString:@"100"];
    //1.05轉化成NSDecimalNumber
    NSDecimalNumber *g_105 = [NSDecimalNumber decimalNumberWithString:@"1.05"];
    //兩個數相乘 1.05X100
    NSDecimalNumber *goodnum = [g_105 decimalNumberByMultiplyingBy:g_100];
    NSLog(@"goodnum 1.05X100 = %@",goodnum);

    //輸出
    //goodnum 1.05X100 = 105
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浮點數判等

因爲浮點數內部存儲地不精確，在比較兩個浮點數是否相等時，不能簡單地使用 == 符號來判斷。 判斷兩個浮點數 A, B 是否相等，須要轉化成求這兩個浮點數差的絕對值 C，即 C = fabs(A - B)，而後看這個值 C 是否小於一個極小數。 若是小於一個極小數，則能夠認爲這兩個浮點數是相等的。 根據實際工程中的須要，一般這個極小數的參考值是 1e-6 或 1e-8 。

三、浮點數在計算機中的存儲方式致使精度問題

浮點數在計算機中的存儲方式

不管是 float 類型仍是 double 類型，在存儲方式上都是聽從IEEE的規範：

float 聽從的是 IEEE R32.24；double 聽從的是 IEEE R64.53；

單精度或雙精度在存儲中，都分爲三個部分：

符號位 (Sign)：0表明正數，1表明爲負數； 指數位 (Exponent)：用於存儲科學計數法中的指數數據； 尾數部分 (Mantissa)：採用移位存儲尾數部分；

R32.24 和 R64.53 的存儲方式都是用科學計數法來存儲數據的，好比：

8.25 用十進制表示爲：8.25 X 120.5 用十進制表示爲：1.205 X

而計算機根本不認識十進制的數據，他只認識0和1。因此在計算機存儲中，首先要將上面的數更改成二進制的科學計數法表示：

8.25 用二進制表示爲：1000.01 能夠表示爲1.0001 X 120.5 用二進制表示爲：1110110.1 能夠表示爲1.1101101 X

任何一個數的科學計數法表示都爲1. xxx * 2n ，尾數部分就能夠表示爲xxxx，因爲第一位都是1，因此將小數點前面的1省略。由此，23bit的尾數部分，能夠表示的精度卻變成了24bit，道理就是在這裏。

對於指數部分，由於指數可正可負(佔1位)，因此8位的指數位能表示的指數範圍就只能用7位，範圍是:-127至128。因此指數部分的存儲採用移位存儲，存儲的數據爲元數據 加上 127。

元數據 加上 127：

「指數」從00000000開始（表示-127）至11111111（表示+128） 因此，10000000表示指數1 (127 + 1 = 128 --> 10000000 ) ； 指數爲 3，則爲 127 + 3 = 130，表示爲 01111111 + 11 = 10000010 ；

二進制反推出浮點數： 以下內存數據：01000010111011010000000000000000， 將該數據分段：0  10000101  11011010000000000000000

計算出這樣一組數據表示爲：

1101101*10^(133-127=6) =1.1101101 * 2⁶ = 1110110.1=120.5

2.2和2.25的區別

單精度的 2.2 轉換爲雙精度後，精確到小數點後13位以後變爲了2.2000000476837 而單精度的 2.25 轉換爲雙精度後，變爲了2.2500000000000

2.25** 的單精度存儲方式表示爲：**0 10000001 00100000000000000000000

2.25** 的雙精度存儲方式表示爲：**0 10000000 0010010000000000000000000000000000000000000000000000000

這樣 2.25 在進行強制轉換的時候，數值是不會變的。

**將十進制的小數轉換爲二進制的小數的方法是：****將小數*2****，取整數部分。**

   0.2×2=0.4，因此二進制小數第一位爲0.4的整數部分0；

   0.4×2=0.8，第二位爲0.8的整數部分0；

   0.8×2=1.6，第三位爲1；

   0.6×2=1.2，第四位爲1；

   0.2×2=0.4，第五位爲0；

   ...... 這樣永遠也不可能乘到=1.0，獲得的二進制是一個無限循環的排列 00110011001100110011...
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對於單精度數據來講，尾數只能表示 24bit 的精度，因此2.2的 float 存儲爲:

可是這種存儲方式，換算成十進制的值，卻不會是2.2。

由於在十進制轉換爲二進制的時候可能會不許確（如：2.2），這樣就致使了偏差問題！

而且 double 類型的數據也存在一樣的問題！

因此在浮點數表示中，均可能會不可避免的產生些許偏差！

在單精度轉換爲雙精度的時候，也會存在一樣的偏差問題。