數論總結——更新ing

數論仍是有不少沒學完 只是小小的總結

1、同餘定理

1.反身性：\(a\equiv a (mod m)\)
2.對稱性：若\(a\equiv b(mod m)\)，則\(b\equiv a (mod m)\)
3.傳遞性：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(b\equiv c(mod m)\)，則\(a\equiv c(mod m)\)
4.同餘式相加：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(c\equiv d(mod m)\)，則\(ac\equiv bd(mod m)\)
5.同餘式相乘：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(c\equiv d(mod m)\)，則\(ac\equiv bd(mod m)\)

2、最小公倍數與最大公約數

最大公約數：GCD
展轉相除法：設\(gcd(a,b)\)爲\(a\)與\(b\)的最大公約數

\[gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\Rightarrow gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \]

當\(b\)爲0時，此時的\(a\)即爲兩者的最大公約數

long long gcd(long long a, long long b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }

最小公倍數：LCM
記\(d=gcd(a,b)\)，\(a=a'd\)，\(b=b'd\)，能夠看出 \(lcm(a,b)=\frac{ab}{gcd(a,b)}\)

3、整除

給定\(a\),\(b\)兩個數，若b能整除a，記做\(b\mid a\)，反之記做\(a\nmid b\)
簡單定理：

• 若\(b\mid a\)，且\(c\mid b\)，則\(c\mid a\)
• 若\(c\mid a\)，且\(c\mid b\)，則\(c\mid \left(na+mb\right)\)

4、素數與合數

對於任意一個大於1的天然數，只有1和它自己兩個因子，則稱爲素數
素數定理：小於等於x的素數個數 \(\approx \frac{x}{\ln x}\) ，能夠用來估計素數個數，進而估算所開數組的大小
不是素數的大於1的天然數稱爲合數

素數篩法：

一、暴力枚舉

複雜度：\(O(\log{n})\)
因爲任意一個數\(x\)的因子可看爲兩部分，小於\(\sqrt{x}\)與大於\(\sqrt{x}\)，所以能夠枚舉全部\(\{i\mid i\le \sqrt{x}\}\)，如若出現\(i\mid x\)，則不是素數，反之是素數。
通常用於對某單個數的素性斷定

bool check(int x)
{
	int end = sqrt(x);
	for (int i = 2; i <= end; ++i)
	{
		if (x % i == 0)
			return false;
	}
	return true;
}

拓展內容（求單個合數的最大質因數）
對於任何一個數\(x\)，能夠將他進行質因數分解，且同時保證\(prime[i]^2\le x_{cur}\)進行優化。
首先能夠預處理出全部\(\{prime\mid prime \le \sqrt{x}\}\)，這樣\(x\)的質因數分解必定是在這個集合中，或者只有最大質因數不在這個集合中。若是所剩下的最後一個數爲1，即完美的進行了質因數分解，則最大質因數爲最後一次除的質數，反之則最後剩下的數即爲最大質因數

const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn/10];

void Euler_Sieve()
{
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
		for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
		{
			vis[prime[j] * i] = true;
			if (i % prime[j] == 0)
				break;
		}
	}
}
int Maximum_prime_factor(int x)
{
	int ans;
	for (int i = 0; i < cnt && prime[i] * prime[i] <= x; ++i)
	{
		if (x % prime[i] == 0)
		{
			ans = prime[i];
			while (x % prime[i] == 0)
				x /= prime[i];
		}
	}
	return x == 1 ? ans : x;
}

二、埃氏篩法

複雜度：\(O(\log{\log{n}})\)
因爲對於任何合數而言，他們可以被任意\(prime\) 整除，因此，能夠經過枚舉\(k*prime(k*prime\le lim_{up})\)，來篩選出一些約數，而沒有被篩選過的天然就是素數
值得說明的是：當選中某個\(prime\)時，比\(prime\)小的質數的倍數已經被篩出了，因此爲了減少時間複雜度，能夠從\(prime^2\)開始篩選

const int maxn = 10000;
bool vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void Eratosthenes_Sieve()
{
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (vis[i]) continue;
		prime[cnt++] = i;
		for (int j = i * i; j < maxn; j += i)
			vis[j] = true;
	}
}

拓展內容（求出多個合數的最大質因數）
利用埃氏篩法是由小質數到大質數的篩選過程，每次大質數篩選時會覆蓋以前小質數的結果，所以能夠獲得實現代碼
注意：開始條件從\(i^2\)變爲了\(2i\)

#include<cstdio>
const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void get_Maximum_prime_factors()
{
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (vis[i]) continue;
		prime[cnt++] = i;
		for (int j = 2*i; j < maxn; j += i)
			vis[j] = i;
	}
}

三、歐拉篩

複雜度：\(O(n)\)
經過對每一個合數，只用其最小的質因數進行篩選的思想，每次將\(cur*prime[i]\)對應的數篩出，爲了保證最小的質因數篩出，當\(prime[i]\mid cur\)時，須要break
緣由在於設\(cur=k*prime[i]\)，那麼若是繼續篩即對於

\[n=cur*prime[i+1]=(prime[i]*k)*prime[i+1]=prime[i]*(k*prime[i+1]) \]

則能夠看出來，這個數\(n\)本應該在枚舉到數\(k*prime[i+1]\)(比\(cur\)大)被\(prime[i]\)篩出

void Euler_Sieve()
{
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
		for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
		{
			vis[prime[j] * i] = true;
			if (i % prime[j] == 0)
				break;
		}
	}
}

拓展內容（求出多個合數的最小質因數）
利用歐拉篩每一個數都被其最小質因數所篩去
注意：開始條件從\(i^2\)變爲了\(2i\)

#include<cstdio>
const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void get_Maximum_prime_factors()
{
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (!vis[i]) vis[i] = prime[cnt++] = i;
		for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
		{
			vis[prime[j] * i] = prime[j];
			if (i % prime[j] == 0)
				break;
		}
	}
}

四、杜教篩

待學

五、min25篩

待學

5、歐拉函數