哈夫曼樹又稱最優二叉樹，是一種帶權路徑長度最短的二叉樹。所謂樹的帶權路徑長度，就是樹中全部的葉結點的權值乘上其到根結點的路徑長度（若根結點爲0層，葉結點到根結點的路徑長度爲葉結點的層數）。樹的帶權路徑長度記爲WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+ Wn*Ln)，N個權值Wi(i=1,2,...n)構成一棵有N個葉結點的二叉樹，相應的葉結點的路徑長度爲Li(i=1,2,...n)。能夠證實哈夫曼樹的WPL是最小的。
構造哈夫曼樹的算法以下：
1）對給定的n個權值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}構成n棵二叉樹的初始集合F={T1,T2,T3,...,Ti,..., Tn}，其中每棵二叉樹Ti中只有一個權值爲Wi的根結點，它的左右子樹均爲空。
2）在F中選取兩棵根結點權值最小的樹做爲新構造的二叉樹的左右子樹，新二叉樹的根結點的權值爲其左右子樹的根結點的權值之和。
3）從F中刪除這兩棵樹，並把這棵新的二叉樹一樣以升序排列加入到集合F中。
4）重複2）和3），直到集合F中只有一棵二叉樹爲止。java
例如，對於4個權值爲1、3、5、7的節點構造一棵哈夫曼樹，其構造過程以下圖所示：算法
能夠計算獲得該哈夫曼樹的路徑長度WPL＝(1+3)*3+2*5+1*7=26。數組
對於哈夫曼樹，有一個很重要的定理：對於具備n個葉子節點的哈夫曼樹，共有2*n-1個節點。post
這個定理的解釋以下：對於二叉樹來講，有三種類型節點，即度數（只算出度）爲2的節點，度數爲1的節點和度數爲0的葉節點。而哈夫曼樹的非葉子節點是由兩個節點生成的，所以不能出現度數爲1的節點，而生成的非葉子節點的個數爲葉子節點個數減一，於此定理就得證了。編碼
這裏給出構造哈夫曼樹的算法（算法實現使用C語言而不是java）。出於簡單性考慮，構造的哈夫曼樹不是採用鏈式存儲，而是以數組方式存儲，其中使用數組位置索引標識節點的連接。對於哈夫曼樹中的節點其數據類型以下：spa
typedef
struct
QHTNode{
char
c;
//存儲的數據，爲一個字符
double
weight;
//節點權重
int
parent;
//父節點在數組中的位置索引
int
lchild;
//左孩子在數組中的位置索引
int
rchild;
//右孩子在數組中的位置索引
}HTNode;
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構造哈夫曼樹的算法的實現原理以下：對於n個葉子節點，咱們根據上面的定理構造出大小爲2*n-1的數組來存放整個哈夫曼樹。這個數組的前n個位置存放的爲已知的葉子節點，後（n-1）個位置存放的爲動態生成的樹內節點。在算法的大循環過程當中，要作的事情就是根據位置i前面的已知節點（或者是葉節點或者是生成的樹內節點），找出parent爲－1（即節點尚且是一個子樹的根結點）的節點中權值最小的兩個節點，而後根據這兩個節點構造出位置爲i的新的父節點（也就是一棵新樹的根結點）。程序以下：code
void
creatHuffmanTree(HTNode ht[],
int
n){
int
i,j;
int
lchild,rchild;
double
minL,minR;
for
(i=0;i<2*n-1;i++){
ht[i].parent = ht[i].lchild = ht[i].rchild = -1;
}
for
(i=n;i<2*n-1;i++){
minL = minR = MAXNUMBER;
lchild = rchild = -1;
for
(j=0;j<i;j++){
if
(ht[j].parent == -1){
if
(ht[j].weight < minL){
minR = minL;
minL = ht[j].weight;
rchild = lchild;
lchild = j;
}
else
if
(ht[j].weight < minR){
minR = ht[j].weight;
rchild = j;
}
}
}
ht[lchild].parent = ht[rchild].parent = i;
ht[i].weight = minL + minR;
ht[i].lchild = lchild;
ht[i].rchild = rchild;
}
}
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哈夫曼樹的一個經典應用就是哈夫曼編碼。在數據通訊中，常常須要將傳送的文字轉換成二進制字符串，這個過程就是編碼。哈夫曼編碼是一種變長的編碼方案，其核心就是使頻率越高的碼元（這個詞不知用的是否準確，就是要編碼的對象，能夠是字符串等等了）採用越短的編碼。編碼過程就根據不一樣碼元的頻率（至關於權值）構造出哈夫曼樹，而後求葉子節點到根節點的路徑，其中節點的左孩子路徑標識爲0，右孩子路徑標識爲1。對於上面的例子，權值爲1的節點編碼爲000，權值爲3的節點編碼爲001，權值爲5的節點編碼爲01，權值爲7的節點編碼爲1。對象
下面的實現採用的方法是從葉子節點向上遍歷到根結點，其中數據類型 HCode中的 code存儲路徑信息，而start表示路徑信息是從code數組的start位置開始的，結束位置爲節點數n。blog
typedef
struct
QHCode{
char
* code;
int
start;
}Hcode;
void
createHuffmanCode(HTNode ht[],HCode hc[],
int
n){
int
i,f,c;
HCode father;
for
(i=0;i<n;i++){
hc[i].start = n;
c = i;
while
((f=ht[c].parent) != -1){
if
(ht[f].lchild == c){
hc[i].code[hc[i].start--] =
'0'
;
}
else
{
hc[i].code[hc[i].start--] =
'1'
;
}
c = f;
}
hc[i].start++;
}
}
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