【轉載】二進制編碼

本文轉載，原文連接不詳   負數： 原碼就是原來的表示方法 反碼是除符號位（最高位）外取反 補碼=反碼+1 之前學習二進制編碼時，老師講了一堆堆的什麼原碼啊反碼啊補碼啊xxxx轉換啊，還有負數的表示方式啊 老是記不零清，終於從網上找到了一種比較好的講解方式，保存再share一下，不過爲了系統化講解，又找來了一些編碼的基礎知識，若是隻想看負數編碼記憶法，請跳轉到 1.若是你不知道二進制怎麼編碼，請繼續，不然請跳到2     1字節 = 8位，因此它能表示的最大數固然是8位都是1（既然2進制的數只能是0或1,若是是咱們常見的10進制，那就8位都爲9，這樣說，你該懂了？） 1字節的二進制數中，最大的數：11111111。     這個數的大小是多少呢？讓咱們來把它轉換爲十進制數。     不管是什麼進制，都是左邊是高位，右邊是低位。10進制是咱們很是習慣的計數方式，第一位表明有幾個1（即幾個100），第二位表明有幾個10（即幾個101），第三位表明有幾個100（即有幾個102）…，用小學課本上的說法就是：個位上的數表示幾個1，十位上的數表示向個10，百位上的數表示幾個100……     同理可證，二進制數則是：第1位數表示幾個1 （20），第2位數表示幾個2（21），第3位數表示幾個4（22），第4位數表示向個8(23)……     之前咱們知道1個字節有8位，如今經過計算,咱們又得知：1個字節能夠表達的最大的數是255，也就是說表示0~255這256個數。      那麼兩個字節（雙字節數）呢？雙字節共16位。 1111111111111111，這個數並不大，但長得有點眼暈，從如今起，咱們要學會這樣來表達二制數： 1111 1111 1111 1111,即每4位隔一空格。 雙字節數最大值爲： 1 * 215 + 1 *214 + 1* 213 + 1 * 212 + 1 * 211 + 1 * 210 + …… + 1 * 22 + 1 * 21 + 1* 20 = 65535 　   很天然，咱們能夠想到，一種數據類型容許的最大值，和它的位數有關。具體的計算方法方法是，若是它有n位，那麼最大值就是： n位二進制數的最大值：1 * 2(n-1) + 1 * 2(n-2) + ... + 1 * 20 二、理解有符號數和無符號數 負數在計算機中如何表示呢？這一點，你可能聽過兩種不一樣的回答。 一種是教科書，它會告訴你：計算機用「補碼」表示負數。但是有關「補碼」的概念一說就得一節課，這一些咱們須要在第6章中用一章的篇幅講2進制的一切。再者，用「補碼」表示負數，其實一種公式，公式的做用在於告訴你，想得問題的答案，應該如何計算。卻並無告訴你爲何用這個公式就能夠和答案？ -----我就是被這個弄混淆的>_< 另外一種是一些程序員告訴你的：用二進制數的最高位表示符號，最高位是0，表示正數，最高位是1，表示負數。這種說法自己沒錯，但是若是沒有下文，那麼它就是錯的。至少它不能解釋，爲何字符類型的-1用二進制表示是「1111 1111」(16進製爲FF)；而不是咱們更能理解的「1000 0001」。（爲何說後者更好理解呢？由於既然說最高位是1時表示負數，那1000 0001不是正好是-1嗎？-----re！當初偶就是這麼想的，so一直在腦中打架，越打越混淆＝，＝）。 讓咱們從頭提及。 2.一、你自已決定是否須要有正負。 就像咱們必須決定某個量使用整數仍是實數，使用多大的範圍數同樣，咱們必須自已決定某個量是否須要正負。若是這個量不會有負值，那麼咱們能夠定它爲帶正負的類型。 在計算機中，能夠區分正負的類型，稱爲有符類型，無正負的類型（只有正值），稱爲無符類型。 數值類型分爲整型或實型，其中整型又分爲無符類型或有符類型，而實型則只有符類型。 字符類型也分爲有符和無符類型。 好比有兩個量，年齡和庫存，咱們能夠定前者爲無符的字符類型，後者定爲有符的整數類型。 二、使用二制數中的最高位表示正負。 首先得知道最高位是哪一位？1個字節的類型，如字符類型，最高位是第7位，2個字節的數，最高位是第15位，4個字節的數，最高位是第31位。不一樣長度的數值類型，其最高位也就不一樣，但老是最左邊的那位（以下示意）。字符類型固定是1個字節，因此最高位老是第7位。 (紅色爲最高位) 單字節數： 1111 1111 雙字節數： 1111 1111 1111 1111 四字節數： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 當咱們指定一個數量是無符號類型時，那麼其最高位的1或0，和其它位同樣，用來表示該數的大小。 當咱們指定一個數量是有符號類型時，此時，最高數稱爲「符號位」。爲1時，表示該數爲負值，爲0時表示爲正值。 　三、無符號數和有符號數的範圍區別。 無符號數中，全部的位都用於直接表示該值的大小。有符號數中最高位用於表示正負，因此，當爲正值時，該數的最大值就會變小。咱們舉一個字節的數值對比： 無符號數： 1111 1111   值：255 1* 27 + 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20 有符號數： 0111 1111   值：127         1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20 　 一樣是一個字節，無符號數的最大值是255，而有符號數的最大值是127。緣由是有符號數中的最高位被挪去表示符號了。而且，咱們知道，最高位的權值也是最高的（對於1字節數來講是2的7次方=128），因此僅僅少於一位，最大值一會兒減半。 不過，有符號數的長處是它能夠表示負數。所以，雖然它的在最大值縮水了，卻在負值的方向出現了伸展。咱們仍一個字節的數值對比： 無符號數：                       0 ----------------- 255 有符號數：        -128 --------- 0 ---------- 127 　 一樣是一個字節，無符號的最小值是 0 ，而有符號數的最小值是-128。因此兩者能表達的不一樣的數值的個數都同樣是256個。只不過前者表達的是0到255這256個數，後者表達的是-128到+127這256個數。 一個有符號的數據類型的最小值是如何計算出來的呢？ 有符號的數據類型的最大值的計算方法徹底和無符號同樣，只不過它少了一個最高位（見第3點）。但在負值範圍內，數值的計算方法不能直接使用1* 26 + 1* 25 的公式進行轉換。在計算機中，負數除爲最高位爲1之外，還採用補碼形式進行表達。因此在計算其值前，須要對補碼進行還原。這裏，先直觀地看一眼補碼的形式： 以咱們原有的數學經驗，在10進制中：1 表示正1，而加上負號：-1 表示和1相對的負值。 那麼，咱們會很容易認爲在2進制中（1個字節）： 0000 0001 表示正1，則高位爲1後：1000 0001應該表示-1。 然而，事實上計算機中的規定有些相反，請看下錶：     二進制值（1字節） 十進制值 1000 0000紅色的1表明負數藍色的是補碼(補碼=反碼+1) -128 1000 0001藍色部分表明多大的值？：將補碼還原爲原碼 -127想化成負數？：先減去1再按位取反 1000 0010還原方法：補碼-1再取反 -126 1000 0011 -125 ... ... 1111 1110 -2 1111 1111 -1   　 首先咱們看到，從-1到-128，其二進制的最高位都是1（表中標爲紅色），正如咱們前面的學。 而後咱們有些奇怪地發現，1000 0000 並無拿來表示 -0；而1000 0001也不是拿來直觀地表示-1。事實上，-1 用1111 1111來表示。 怎麼理解這個問題呢？先得問一句是-1大仍是-128大？ 固然是 -1 大。-1是最大的負整數。以此對應，計算機中不管是字符類型，或者是整數類型，也不管這個整數是幾個字節。它都用全1來表示 -1。好比一個字節的數值中：1111 1111表示-1，那麼，1111 1111 - 1 是什麼呢？和現實中的計算結果徹底一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。這樣一直減下去，當減到只剩最高位用於表示符號的1之外，其它低位全爲0時，就是最小的負值了，在一字節中，最小的負值是1000 0000，也就是-128。 --------小米批註：就是這部分藍色的文字，讓我終於能記清楚-1的編碼方式了，汗＝。＝ 咱們以-1爲例，來看看不一樣字節數的整數中，如何表達-1這個數：   字節數 二進制值 十進制值 單字節數 1111 1111紅色表示負數藍色部分的補碼爲值1 -1 負數：原碼就是原來的表示方法、反碼是除符號位（最高位）外取反、補碼=反碼+1雙字節數 1111 1111 1111 1111 -1 四字節數 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 -1   可能有同窗這時會混了：爲何 1111 1111 有時表示255，有時又表示-1？因此我再強調一下本節前面所說的第2點：你自已決定一個數是有符號仍是無符號的。寫程序時，指定一個量是有符號的，那麼當這個量的二進制各位上都是1時，它表示的數就是-1；相反，若是事選聲明這個量是無符號的，此時它表示的就是該量容許的最大值，對於一個字節的數來講，最大值就是255。 ok 摘抄暫告段落，其實原文對於c的一些基礎數據類型知識介紹的很是詳細，8過太長了，摘到我須要的內容後就沒全帖過來，若是有須要學習的同窗，建議參見原文：） 轉自http://blog.cersp.com/7892477/1201309.aspx 關鍵字： 二進制編碼，負數二進制，二進制

1-6 什麼叫機器數？計算機爲何要採用補碼？

 

2007-09-09 14:24:25

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標籤： 教育雜談

    在計算機內部，全部信息都是用二進制數串的形式表示的。整數一般都有正負之分，計算機中的整數分爲無符號的和帶符號的。無符號的整數用來表示0和正整數，帶符號的證書能夠表示全部的整數。因爲計算機中符號和數字同樣，都必須用二進制數串來表示，所以，正負號也必須用0、1來表示。一般咱們用最高的有效位來表示數的符號（當用8位來表示一個整數時，第8位即爲最高有效位，當用16位來表示一個整數時，第16位即爲最高有效位。）0表示正號、1表示負號，這種正負號數字化的機內表示形式就稱爲「機器數」，而相應的機器外部用正負號表示的數稱爲「真值」。將一個真值表示成二進制字串的機器數的過程就稱爲編碼。

    無符號數沒有原碼、反碼和補碼一說。只有帶符號數才存在不一樣的編碼方式。

帶符號整數有原碼、反碼、補碼等幾種編碼方式。原碼即直接將真值轉換爲其相應的二進制形式，而反碼和補碼是對原碼進行某種轉換編碼方式。正整數的原碼、反碼和補碼都同樣，負數的反碼是對原碼的除符號位外的其餘位進行取反後的結果（取反即若是該位爲0則變爲1，而該位爲1則變爲0的操做）。而補碼是先求原碼的反碼，而後在反碼的末尾位加1 後獲得的結果，即補碼是反碼+1。IBM-PC中帶符號整數都採用補碼形式表示。（注意，只是帶符號的整數採用補碼存儲表示的，浮點數另有其存儲方式。）

    採用補碼的緣由或好處以下。

    採用補碼運算具備以下兩個特徵：

    1）由於使用補碼能夠將符號位和其餘位統一處理，同時，減法也能夠按加法來處理，即若是是補碼錶示的數，無論是加減法都直接用加法運算便可實現。

    2）兩個用補碼錶示的數相加時，若是最高位（符號位）有進位，則進位被捨棄。

    這樣的運算有兩個好處：

    1）使符號位能與有效值部分一塊兒參加運算，從而簡化運算規則。從而能夠簡化運算器的結構，提升運算速度；（減法運算能夠用加法運算表示出來。）

    2）加法運算比減法運算更易於實現。使減法運算轉換爲加法運算，進一步簡化計算機中運算器的線路設計。

    下面深刻分析上面所陳述的採用補碼的緣由（目的）。

    用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題，以下：假設字長爲8bits

    ( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.。

    由於在兩個整數的加法運算中是沒有問題的，因而就發現問題出如今帶符號位的負數身上，對除符號位外的其他各位逐位取反就產生了反碼。反碼的取值空間和原碼相同且一一對應。下面是反碼的減法運算：

     ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

     (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問題。

    ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

     (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確

    問題出如今(+0)和(-0)上，在人們的計算概念中零是沒有正負之分的。

因而就引入了補碼概念。負數的補碼就是對反碼加一，而正數不變，正數的原碼反碼補碼是同樣的。在補碼中用(-128)代替了(-0)，因此補碼的表示範圍爲：

(-128~0~127)共256個。

    注意:(-128)沒有相對應的原碼和反碼， (-128) = (10000000) 補碼的加減運算以下：

    ( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)補 + (11111111)補 = (00000000)補 = ( 0 ) 正確

     ( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

    (00000001) 補+ (11111110) 補= (11111111)補 = ( -1 ) 正確

    採用補碼錶示還有另一個緣由，那就是爲了防止0的機器數有兩個編碼。原碼和反碼錶示的0有兩種形式+0和-0，而咱們知道，+0和-0是相同的。這樣，8位的原碼和反碼錶示的整數的範圍就是-127~+127（11111111~01111111），而採用補碼錶示的時候，00000000是+0，即0；10000000再也不是-0，而是-128，這樣，補碼錶示的數的範圍就是-128~+127了，不但增長了一個數得表示範圍，並且還保證了0編碼的惟一性。

    整數和0的原碼、反碼和補碼都相同，下面介紹手工快速求負數補碼的方法。這個方法在教材的第8頁已經提到了，這裏再寫出來以便能引發你們的注意。其方法以下：

    先寫出該負數的相反數（正數），再將該正數的二進制形式寫出來，而後對這個二進制位串按位取反，即如果1則改成0，如果0則改成1，最後在末位加1。

接下來的問題是，如何能將減法運算轉換成加法運算呢？

    咱們已經知道，原碼錶示簡單直觀，與真值轉換容易。但若是用原碼錶示，其符號位不能參加運算。在計算機中用原碼實現算術運算時，要取絕對值參加運算，符號位單獨處理，這對乘除運算是很容易實現的，但對加減運算是很是不方便的，如兩個異號數相加，實際是要作減法，而兩個異號數相減，實際是要作加法。在作減法時，還要判斷操做數絕對值的大小，這些都會使運算器的設計變得很複雜。而補碼這種編碼方式實際上正是針對上述問題的。經過用補碼進行表示，就能夠把減法運算化爲加法運算。

    在平常生活中，有許多化減爲加的例子。例如，時鐘是逢12進位，12點也可看做0點。當將時針從10點調整到5點時有如下兩種方法：

    一種方法是時針逆時針方向撥5格，至關於作減法：

        10－5＝5

    另外一種方法是時針順時針方向撥7格，至關於作加法：

      10＋7＝12＋5＝5    (MOD 12)

    這是因爲時鐘以12 爲模，在這個前提下，當和超過12時，可將12捨去。因而，減5至關於加7。同理，減4可表示成加8，減3可表示成加9，…。

    在數學中，用「同餘」概念描述上述關係，即兩整數A、B用同一個正整數M (M稱爲模)去除而餘數相等，則稱A、B對M同餘，記做：

       A＝B     (MOD M)

    具備同餘關係的兩個數爲互補關係，其中一個稱爲另外一個的補碼。當M＝12時，－5和＋7，－4和＋8，－3和＋9就是同餘的，它們互爲補碼。

    從同餘的概念和上述時鐘的例子，不可貴出結論：對於某一肯定的模，用某數減去小於模的另外一個數，總能夠用加上「模減去該數絕對值的差」來代替。所以，在有模運算中，減法就能夠化做加法來作。

    能夠看出，補碼的加法運算所依據的基本關係爲：

[x]補+ [y]補= [x+y]補

    補碼減法所依據的基本關係式：

[x-y]補 =[x+(-y)]補= [x]補+ [-y]補

    至於加法運算爲何比減法運算易於實現以及CPU如何實現各類算術運算等問題，則須要經過對數字電路的學習來理解CPU的運算器的硬件實現問題的相關內容了。