二進制的編碼

　　一般計算機系統中討論二進制的編碼問題涉及到的有：原碼、反碼、補碼，這裏簡單探討一下他們之間的關係。

 

原碼與反碼

　　原碼是最早被提出的一種編碼方式，使用最高位表示符號（0表示正，1表示負），其他位表示數值。原碼存在一個問題，就是天然界中 +0 和 -0 是相同的，但 +0 的原碼是 0b00，而 -0 的原碼是 0b10，這樣 0 出現兩種編碼方式。

　　反碼是從原碼到補碼的過渡階段，對於任意一個整數 n ，它的反碼：

• n > 0：n的反碼和原碼相同
• n < 0：n的反碼等於原碼進行以下變換：1.符號位不變，2.其他位按位取反；

反碼一樣沒有解決 0 編碼格式不惟一的問題，但它只是一箇中間過渡；

 

模數與補數

　　補碼是系統使用的編碼形式，在介紹補碼前，須要瞭解一下模數和補數的概念。

　　一般稱：

　　x % y = z

　　爲 x 模 y，其中 % 是取模運算符，y 稱爲模數，z 稱爲 x 在模 y 下的補數。

　　咱們來看下面的時鐘，當前指向 8 點，若是隻考慮小時的話，那麼時鐘的模數就是12，對於當前指向 8 點的時針，假如咱們但願它走到 6 點，則至少有兩種方法：

　　1. 8 + (- 2) = 6

　　2. (8 + 10) % 12 = 6

也就是說，若是定義順時針爲正，逆時針爲負的話，咱們能夠順時針轉動時針10個小時，也能夠逆時針移動時針2個小時，時針最終都會停留在6點上。

　　此時對於 -2 而言，它的補數就是 10，10 = 12 - |-2|，也就是說 一個負數的補數 等於 模數 減去 負數 的絕對值。之因此引入補數，是但願在一個相似鐘面這樣刻度有限、會出現循環往復的系統中，將減法和加法統一塊兒來，使得減法運算能夠一致的使用加法運算來處理。

 

補碼

　　在計算機系統內，補碼和補數的概念是一致的，那模數是什麼？以一個32位長度的整數而言，模數就是 2^32。就比如把一個圓盤分紅了2^32份，在這個系統中，最小值是 0 ，最大值是2^32-1，當2^32-1再向前走1位時，又回到了0。這種使用定長內存表示數值的方式使得補碼成爲合適的編碼方式。

　　

　　回到以前的介紹上來，對於任意一個整數 n ，它的補碼：

• n 爲正數，補碼就是其原碼；
• n 爲負數，補碼 = （n的反碼 + 1） = （n的原碼的符號位不變（爲1），其他位取反） + 1 = （n的絕對值的原碼按位取反） + 1
• n 爲 0，補碼惟一肯定爲 0 ；

　　對於一個負數，它的反碼是本身絕對值的原碼按位取反後加1，爲何？

　　前面已經介紹過，負數的補數等於模數減去其絕對值，即 32 位負整數 n 的反碼就是 2^32 - |n|，等於 (2^32-1) - |n| + 1。而 2^32-1 使用二進制表示恰好爲32位1，它減去 |n|，其實就是對 n 的絕對值按位取反了！

　　此外，對於 -0 的二進制原碼 0b100...00，其補碼爲 0b1111...11 + 1 等於0，而 +0 的補碼仍是0，從而避免了正負0的編碼結果不一樣的問題。

　　總結起來，正數和0的補碼就是其原碼，而知道了原碼、反碼、補碼之間的關係和補數是怎麼求的，就不難求得負數的補碼了。補碼之間一致地使用加法運算，即加上一個負數（減法），等於加上這個負數的補碼。而拿到一個負數的補碼，再對這個補碼進行一遍求補的運算，就能夠獲得原數的原碼了！

　　仍是因爲補碼成立的基礎，即便用定長的位數表示一個整數，也不難理解爲何補碼的運算不可避免的會存在溢出——負 + 負變正 或 正+正變負 的狀況了。