測度論與機率論筆記1：可測空間與可測函數

可測空間與可測函數

• Riemann積分的缺陷
• 機率的公理化定義
• 古典概型
• 幾何概型
• 機率的公理化定義
• 集合的運算
• 集系與集系的生成
• 集合形式的單調類定理
• 可測空間
• 可測空間定義
• 可測映射及可測函數
• 函數形式的單調類定理

Riemann積分的缺陷

在數學分析中咱們學過定積分和重積分，而且知道定積分的幾何意義的曲邊梯形的面積。然而，以如此方式定義面積，可能會產生某些本應該有面積的點集沒有面積。好比狄利克雷函數 $D(x)=\begin{cases}1&x\in Q\\0&x\notin Q\end{cases}$
咱們能夠這麼考慮，因爲有理數集 $Q$是可數的，咱們能夠將全體有理數排列爲 $q_1,q_2,\cdots,q_n,\cdots$定義 $f_i(x)=\begin{cases} 1& x=q_i\\ 0& x\neq q_i \end{cases}$那麼按照黎曼積分的定義 $\int_0^1f_i(x)dx=0$則 $\displaystyle D(x)=\sum_{n=1}^\infty f_i(x)$，顯然，以 $y=f_i(x)$爲邊的曲邊梯形實質上就是一條線段 $x=q_i,0\le y\le 1$，在二維平面上的面積應該是 $0$， $y=D(x),0\le x\le1$能夠看做可數條這樣的線段相加，那麼理應有 $\int_0^1D(x)dx=\sum_{n=1}^\infty \int_0^1f_n(x)dx=0$然而在黎曼積分的意義下，以上式子是不成立的，緣由是 $D(x)$在 $[0,1]$上是不可積的，由於對任意的區間 $[a,b]\subseteq [0,1]$， $D(x)$在 $[a,b]$上的上確界爲1，下确界爲0，這是由有理數和無理數的稠密性決定的。如此一來不論做任何分劃 $\Delta:0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1$，都有 $\overline{S}(D(x),\Delta)=1\\ \underline{S}(D(x),\Delta)=0$顯然 $D(x)$是不可積的，這說明黎曼積分以及黎曼積分背後的Jordan測度是有缺陷的。對於有界函數 $f(x)$，咱們知道Riemann可積的充要條件是 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^nw_k\Delta x_k=0$這個條件的實質是要求 $f(x)$幾乎是連續的，這樣，在咱們區間越分越細的過程當中，在大多數區間上， $f(x)$能夠視爲常數，如此一來 $f(x)$纔可積，可是若是 $f(x)$始終保持劇烈動盪的狀況下（如 $D(x)$，任何小區間既有有理數，又有無理數），就不可能知足上面的條件，咱們就有遺漏某些本應當可積的函數的可能性。對此，咱們的解決方案是，對Riemann積分進行推廣，產生一種新的積分，若是 $f(x)$是黎曼可積的，在這種新的積分定義下仍是可積的，而且積分值相等，同時，還存在某些黎曼不可積的函數在新積分下也可積，如 $D(x)$，如何定義這種新積分呢？Lebesgue積分給了咱們一種定義積分的全新思路！在黎曼積分下，咱們經過劃分定義域來定義積分，而後這種定義方式可能使得咱們在每一個小區間上 $f(x)$劇烈震盪，使得和式沒法收斂。Lebesgue採起的方式是劃分值域，即若是 $f(x)$是有界函數，而且 $a\le f(x)\le b$，則咱們劃分值域 $a=y_0<y_1<\cdots<y_n=b$，相應地也劃分了定義域 $E_i=\{x:y_{i-1}<f(x)\le y_i\}$，若是 $E_i$也有長度，設爲 $m(E_i)$，則估計和式爲 $\sum_{i=1}^ny_{i-1}m(E_i)$若是在值域越分越細的狀況下，以上和式極限存在，就是 $f(x)$的積分。這就產生了一個問題，如何定義 $m(E_i)$，在定義了 $m(E_i)$後，就能夠產生一種新的積分，即Lebesgue積分。可見，解決線段的長度、平面圖形的面積、立體的體積問題是定義新的積分的前提。咱們暫且先不談如何定義 $m(E_i)$，咱們首先談談長度、面積、體積應該知足什麼性質：

(1)首先 $m(E)$應當是點集的函數，換句話說， $m$是冪集 $m(X)$到非負實數集的映射
(2)在中學學幾什麼時候，咱們就有一種樸素的解題方法，即割補法，即若是 $E_1,\cdots,E_n$兩兩不交，應當有 $m(\bigcup_{k=1}^nE_k)=\sum_{k=1}^nm(E_k)$(3)對於區間 $(a,b]$，應當有 $m(a,b]=b-a$

這些性質Jordan測度也具有，在數學分析重積分一章中，咱們已經論證過，若是 $A,B$都是J可測集， $A\cup B$也是J可測的，而且若是 $A\cap B$是J零測集，則 $|A\cup B|=|A|+|B|$。顯然只有以上的性質並不足以讓咱們產生一種新的積分，由於對於 $D(x)$來講， $\{x:\frac{n-1}{n}<D(x)\le 1\}=Q$，這是個J不可測集，也就是說，若是咱們採起將 $[0,1]$區間 $n$等分，而後按Lebesgue方式定義新積分，在 $n\to\infty$過程當中，和式的極限仍是不存在，根本緣由在於 $Q$是 $J$不可測的。顯然 $\displaystyle Q=\bigcup_{n=1}^\infty \{q_n\}$，而 $m(\{q_n\})=0,n=1,2,\cdots$。若是新的測度知足可列可加性，就應當有 $m(Q)=0$所以，咱們把(3)增強到可列可加性：對兩兩不交的 $\{A_n\}$，有 $m(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty m(A_n)$那麼就可能可以知足咱們的需求。下一個問題是 $m$的定義域，咱們固然但願 $m$是定義在整個冪集 $m(R)$上的，這樣全部的線段都有長度，然而這時不可能的，正如對Jordan測度而言， $m(R)$上存在大量的J不可集，如 $Q$，新的測度也存在可測與否的問題，對於Jordan測度而言，咱們僅僅要求有限可加性，相應地，咱們只要求全體J可測集對有限運算封閉便可，對於新測度而言不是如此，咱們要求可列可加性，所以咱們還要求新的可測空間對極限運算也封閉。
總結上面的討論，爲了克服Riemann積分的缺陷，定義一種新的積分——Lebesgue積分，那麼在定義Lebesgue積分以前，首先咱們要討論如何創建一種新的測度，咱們稱爲Lebesgue測度，要求知足，第一，它是某個冪集的子集 $\mathcal{M}$到非負廣義實數（對於無界集容許其測度爲正無窮）的映射。第二，咱們要求 $m$知足： $m(\emptyset)=0$，而且某些特殊集合的測度應當知足某些條件（至少要符合咱們對長度、面積、體積）的直覺。第三， $m$要知足可列可加性，僅僅是有限可加性是不夠的。第四，既然 $m$要知足可列可加性，那麼 $\mathcal{M}$就應當對可列並封閉，而不能僅僅對有限並封閉。
這裏的 $\mathcal{M}$就是 $m$的定義域，如同討論數學分析以前，咱們首先要創建對實函數的定義域實數域的一個認識，在討論Lebesgue測度以前，咱們要創建對冪集的子集，後面咱們稱爲集系的認識，並且 $\mathcal{M}$不能是任取的集系，它應當對集合的運算封閉，並且不只僅是有限運算，還應當是極限運算。

機率的公理化定義

如今咱們分析學的領域轉到初等機率論中，在初等機率論中，咱們每每首先要定義一個樣本空間 $\Omega$，其含義是隨機試驗可能出現的全部樣本點，咱們定義事件是 $\Omega$的子集，這樣，咱們就能夠用集合論的工具對事件進行運算。機率是事件的函數，描述事件發生的可能性大小。由此能夠看出，機率 $P$也是冪集 $P(\Omega)$的某個子集 $\mathcal{F}$（由於咱們不是關心全部的事件，而僅僅關心部分事件罷了，更況且可能也沒法定義整個冪集的機率函數）的函數，這和長度、面積、體積有幾分類似。下面咱們對古典概型和幾何概型做一個簡要的回顧，咱們將發現，機率和長度、面積、體積這些概念，不只僅只有他們都是冪集的某個子集的函數這一個共同點。

古典概型

若是樣本空間 $\Omega$是一個有限集，咱們記爲 $\Omega=\{w_1,\cdots,w_n\}$咱們的機率如此定義：首先定義一個 $\Omega$上的函數 $p$，知足 $p(w_i)=p_i>0,i=1,\cdots,n\\ \sum_{i=1}^np_i=1$則對任意的 $A\subset \Omega$，定義 $P(A)=\sum_{w\in A}p(w)\\ P(\emptyset)=0$容易驗證它知足：
(1) $P(\Omega)=1$
(2) $\forall A\subseteq \Omega,P(A)\in[0,1]$
(3) $P$知足有限可加性
固然， $P$可不只僅知足有限可加性，還知足可列可加性，這是由於若是集列 $\{A_n\}$兩兩不交，因爲 $\Omega$是有限集， $\{A_n\}$只能有有限個集合非空，從而由有限可加性能夠推得可列可加性也是成立的。如此一來， $P$能夠視爲是 $P(\Omega)$上的「長度、面積或體積」，咱們稱爲測度，只不過這個測度是有限的，由於 $P(\Omega)=1$。

幾何概型

幾何概型則更明顯了，假設咱們已經定義了Lebesgue測度 $m$，對於有限測度的某個子集 $A$，設樣本空間爲 $A$，咱們能夠創建一個 $A$的L可測子集 $B$的機率爲 $P(B)=\frac{m(B)}{m(A)}$由Lebesgue測度的性質 $P(B)$固然知足
(1) $P(A)=1,P(\emptyset)=0$
(2)對 $A$的任意的L可測子集 $B$，都有 $0\le P(B)\le 1$
(3) $P$知足可列可加性
因而可知， $P$也是一種測度，只不過這種測度 $P$是有限的， $P(A)=1$

機率的公理化定義

因而可知，機率和長度、面積、體積這些概念有共通之處，都知足：

(1) $m(\emptyset)=0$， $\forall A\in \mathcal{F},m(A)\ge 0$
(2) $m$知足可列可加性

對於 $m$其定義域 $\mathcal{F}$首先應當對可列並封閉，不然可列可加性就無從談起，其次，在機率論中，若是 $A\in \mathcal{F}$，那麼應當有 $A^c\in\mathcal{F}$，也就是說咱們對其對立事件也感興趣，再其次 $\mathcal{F}$還要囊括必然事件 $\Omega$和不可能事件 $\emptyset$，概括起來， $\mathcal{F}$應當知足：

(1) $\Omega \in \mathcal{F}$
(2)若是 $A\in \mathcal{F}$，那麼應當有 $A^c\in \mathcal{F}$
(3)若是 $A_n\in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$，那麼 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}$

咱們稱這類集係爲 $\sigma$代數，咱們把定義在某個 $\sigma$代數 $\mathcal{F}$上知足(1)(2)的（廣義）集函數 $m$稱爲 $\mathcal{F}$的測度，進一步地，若是 $m$還知足 $m(\Omega)=1$則稱 $m$爲機率測度，這就是機率的公理化定義。從這裏能夠看出，機率和長度、面積、體積都是測度，以測度、可測函數及可測函數積分爲基本研究對象的測度論是初等機率論和實變函數論的提升和抽象。本學習筆記的目的是利用測度論對機率論進行嚴格化的表述，在這個過程當中，澄清一些初等機率論不可能講清楚的一些概念（如條件機率、條件指望、隨機變量的分類），同時搭起初等機率論與公理化機率論的橋樑。

集合的運算

集合是現代數學的基本概念，一羣能夠相互區別的事物就能夠構成集合，構成集合的事物稱爲元素\。某個元素和某個集合的關係只有兩種，屬於和不屬於。

交運算： $A\cap B$定義爲 $A\cap B=\{x:x\in A且x\in B\}$
並運算： $A\cup B$定義爲 $A\cup B=\{x:x\in A或x\in B\}$
差運算： $A-B$（或寫成 $A/\ B$）定義爲 $A-B=\{x:x\in A且x\notin B\}$
子集： $A\subseteq B$定義爲： $\forall x\in A,x\in B$
集合相等： $A=B$定義爲 $x\in A$和 $x\in B$是等價的
證實集合相等經常證實： $A\subseteq B$且 $B\subseteq A$
餘集：若是定義了全集 $X$，則對任意 $A\subseteq X$，定義 $A^c$爲 $A^c=X-A$
無窮交： $\{A_t:t\in T\}$爲一系列集合，其中 $T$爲指標集， $t$能夠用於對子集進行標號，則定義 $\displaystyle\bigcap_{t\in T}A_t=\{x:\forall t\in T,x\in A_t\}$
無窮並： $\{A_t:t\in T\}$爲一系列集合，其中 $T$爲指標集，定義 $\displaystyle\bigcup_{t\in T}A_t=\{x:\exists t_0\in T,x\in A_{t_0}\}$
單調列：若是集合列 $\{A_n,n=1,2,\cdots\}$知足： $A_n\subset A_{n+1}$，則稱 $\{A_n\}$爲單調遞增列，若是 $A_{n+1}\subset A_n$，則稱 $\{A_n\}$爲單調遞減列
單調列的極限： $\{A_n\}$爲單調增列，則定義 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$，若是 $\{A_n\}$爲單調減列，則定義 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n$
集列的上下極限：定義集列 $\{A_n\}$的上極限爲 $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k$，定義集列 $\{A_n\}$的下極限爲 $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k$，容易證實對任意集系 $\{A_n\}$都有 $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}A_n\subseteq \limsup_{n\to\infty}A_n$
集列的極限：若是對集系 $\{A_n\}$，有 $\displaystyle\liminf_{n\to\infty}A_n=\limsup_{n\to\infty}A_n$，則稱 $\{A_n\}$的極限存在，記爲 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\liminf_{n\to\infty}A_n=\limsup_{n\to\infty}A_n$
德摩根公式：
$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c\\ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c\\ (\bigcup_{t\in T}A_t)^c=\bigcap_{t\in T}A_t^c\\ (\bigcap_{t\in T}A_t)^c=\bigcup_{t\in T}A_t^c$
集合的運算還知足分配律: $A\cap(B\cup C)=(B\cup C)\cap A=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\ A\cup(B\cap C)=(B\cap C)\cup A=(A\cup C)\cap (A\cup B)\\ A\cap(\bigcup_{t\in T}B_t)=\bigcup_{t\in T}(A\cap B_t)\\ A\cup(\bigcap_{t\in T}B_t)=\bigcap_{t\in T}(A\cup B_t)$固然集合運算還知足交換律和結合律，這裏就不列舉了

集系與集系的生成

定義1.1 對於集合 $X$，定義 $X$全體子集構成的集合爲 $\mathscr{P}(X)$，稱爲 $X$的冪集，冪集的子集稱爲 $X$上的集系

通常而言，咱們習慣於將集系寫成花體字母 $\mathscr{A},\mathscr{B},\cdots$。對於測度論而言，咱們須要的不是任意的集系，而是對集合運算封閉的集系：
對有限交封閉：若是 $A,B\in \mathscr{A}$，則有 $A\cap B \in \mathscr{A}$
對有限並封閉：若是 $A,B\in \mathscr{A}$，則有 $A\cup B\in \mathscr{A}$
對差運算封閉：若是 $A,B\in \mathscr{A}$，則有 $A -B\in \mathscr{A}$
對有限不交併封閉：對任意 $A\cap B=\emptyset,A,B\in \mathscr{A}$，都有 $A\cup B\in \mathscr{A}$
相似地能夠寫出對可列交封閉，對可列並封閉等定義

下面，咱們將給出幾個經常使用的集系
$\pi$系：若是集系 $\mathscr{A}$對有限交封閉，則稱 $\mathscr{A}$是 $\pi$系
半環：若是集系 $\mathscr{R}$是 $\pi$系，而且對任意的 $A,B\in\mathscr{A}$，存在 $\mathscr{A}$中兩兩不交的 $m$個集合 $C_1,\cdots,C_m$，知足 $A-B=\bigcup_{k=1}^mC_k$則稱 $\mathscr{R}$爲半環
環：若是集系 $\mathscr{R}$對有限交和差運算封閉，則稱 $\mathscr{R}$爲環
代數（域）：若是集系 $\mathscr{R}$是 $\pi$系，而且若是 $A\in\mathscr{R},A^c\in\mathscr{R}$，則稱 $\mathscr{R}$爲代數或域
單調系：若是集系 $\mathscr{R}$對任何單調列的極限封閉，則稱 $\mathscr{R}$是單調系
$\lambda$系：若是 $\mathscr{A}$知足：
(1) $X\in \mathscr{A}$
(2) $A\in \mathscr{A}$則有 $A^c\in\mathscr{A}$
(3) $\{A_n\}$是 $\mathscr{A}$中的單調增列， $A_n\uparrow A$，則 $A\in\mathscr{A}$
$\sigma$代數或 $\sigma$域：若是集系 $\mathscr{F}$知足：
(1) $X\in\mathscr{F}$
(2) $\mathscr{F}$對餘運算封閉
(3) $\mathscr{F}$對可列不交併封閉
$\sigma$環：若是集系 $\mathscr{F}$對差運算可可列不交併運算封閉，則稱 $\mathscr{F}$是 $\sigma$環

上面只是列舉了這些集系的定義，下面咱們對集系之間的包含關係進行討論：
(1)顯然，半環是 $\pi$系，這是半環的定義規定的，而環也是 $\pi$系，這是由於設 $\mathscr{R}$是環，若是 $A,B\in\mathscr{R}$，則按照環的定義 $A\cup B,A-B,B-A\in\mathscr{R}$，而 $A\cap B=A\cup B-(A-B)-(B-A)$，從而 $A\cap B\in \mathscr{R}$，於是環是 $\pi$系，天然也是半環
(2)代數是環，設 $\mathscr{R}$是代數，首先若是 $A,B\in \mathscr{R}$，則 $A^c,B^c\in\mathscr{R}$，故 $A^c\cap B^c\in\mathscr{R}$，從而 $A\cup B=(A^c\cap B^c)^c\in\mathscr{R}$而對差運算封閉是顯然的
(3) $\sigma$環顯然是環，但不必定是代數， $\sigma$代數必定是代數，實際上，代數與環， $\sigma$代數和 $\sigma$環的差異就在因而否有 $X\in\mathscr{R}$
(4) $\lambda$系必定是單調類，實際上咱們只要驗證若是 $\{A_n\}$是單調減列， $A_n\downarrow A$，則有 $A\in \mathscr{A}$， $A_n^c\in \mathscr{A}$，且 $\{A_n^c\}$是單調增列，則 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\in\mathscr{R}$，故 $(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c)^c=\bigcap_{n=1}^\infty A_n\in \mathscr{R}$(5)顯然 $\sigma$代數必定是 $\lambda$系
因而，通過上面的討論，咱們能夠獲得以上幾類集系的關係圖以下：

下面咱們給出一個重要的定理

定理1.1 （1）若是集系 $\mathscr{F}$既是單調系又是代數（環），則 $\mathscr{F}$是 $\sigma$代數（ $\sigma$環）
（2）若是集系 $\mathscr{F}$既是 $\lambda$系又是 $\pi$系，則 $\mathscr{F}$是 $\sigma$代數

證：
(1)若是 $\mathscr{F}$既是單調系又是代數（環），則若是 $A_n\in \mathscr{F},n=1,2,\cdots$，那麼 $\bigcup_{k=1}^nA_k\in \mathscr{F}$而且集系 $\displaystyle\{\bigcup_{k=1}^nA_k\}$是單調增列，且 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^nA_k\uparrow \bigcup_{n=1}^\infty A_n$，則因爲 $\mathscr{F}$是一個單調系，有 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathscr{F}$，這就證實了 $\mathscr{F}$是 $\sigma$代數（ $\sigma$環）
(2)若是 $A_n\in\mathscr{F},n=1,\cdots,n,\cdots$，則 $A_n^c\in\mathscr{F},n=1,2,\cdots$，因爲 $\mathscr{F}$是 $\pi$系，就有 $\bigcap_{k=1}^nA_k^c\in\mathscr{F}$而 $\displaystyle\{\bigcap_{k=1}^nA_k^c\}$是單調減列， $\mathscr{F}$是 $\lambda$繫於是是單調系， $\displaystyle \bigcap_{k=1}^nA_k^c\downarrow\bigcap_{n=1}^\infty A_n^c$，從而 $\bigcap_{n=1}^\infty A_n^c\in \mathscr{F}$從而 $(\bigcap_{n=1}^\infty A_n^c)^c=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \mathscr{F}$故 $\mathscr{F}$是 $\sigma$代數

例1.1 由 $R^n$上全體有限開區間、有限左開右閉區間、有限左閉右開區間和閉區間構成的集合都是 $\pi$系，另外，全體有限左開右閉區間構成的集系是半環（只要分類討論很容易驗證）

例1.2 $R^n$上左開右閉矩體定義爲 $\prod_{k=1}^n(a_k,b_k]=\{(x_1,\cdots,x_n):a_k<x_k\le b_k,k=1,\cdots,n\}$全體 $R^n$上左開右閉矩體 $R^n$的一個半環

證：
設 $I_1^1,I_2^1,\cdots,I_n^1,I_1^2,I_2^2,\cdots,I_n^2$是 $R$中 $2n$個左開右閉的區間，如今咱們要求 $\displaystyle(\prod_{k=1}^nI_k^2)^c$，實際咱們只要考察一下笛卡爾積的定義便可， $\displaystyle(x_1,\cdots,x_n)\in \prod_{k=1}^nI_k^2$等價於對任意的 $k=1,\cdots,n$，都有 $x_k\in I_k^2$，所以， $\displaystyle(x_1,\cdots,x_n)\in (\prod_{k=1}^nI_k^2)^c$等價於存在 $k_0=1,2,\cdots$或 $n$， $x_{k_0}\in I_k^c$，故咱們能夠把 $\displaystyle(\prod_{k=1}^nI_k^2)^c$寫成 $(\prod_{k=1}^nI_k^2)^c=\bigcup_{k=1}^n\prod_{i=1}^{k-1}I_i^2\times (I_k^{2} )^c\times\prod_{i=k+1}^nR$分解式右邊的 $n$個集合兩兩不交（由構造能夠看出來），而對 $k=1,\cdots,n$，有 $(\prod_{i=1}^{k-1}I_i^2\times (I_k^2)^c \times\prod_{i=k+1}^nR)\cap\prod_{i=1}^n I_i^1=\prod_{i=1}^{k-1}(I_i^1\cap I_i^2)\times(I_k^1-I_k^2)\times\prod_{i=k+1}^nI_i^1$存在有限個兩兩不交的左開右閉區間 $I_{k1},\cdots,I_{kn_k}$，知足 $I_k^1-I_k^2=\bigcup_{j=1}^{n_k}I_{kj}$因而 $\begin{aligned} &(\prod_{i=1}^{k-1}I_i^2\times (I_k^2)^c \times\prod_{i=k+1}^nR)\cap\prod_{i=1}^n I_i^1\\=&\bigcup_{j=1}^{n_k}\prod_{i=1}^{k-1}(I_i^1\cap I_i^2)\times I_{kj}\times\prod_{i=k+1}^nI_i^1 \end{aligned}$所以 $\prod_{k=1}^nI_k^1-\prod_{k=1}^nI_k^2=\bigcup_{k=1}^n\bigcup_{j=1}^{n_k}\prod_{i=1}^{k-1}(I_i^1\cap I_i^2)\times I_{kj}\times\prod_{i=k+1}^nI_i^1$分解式右邊是 $\displaystyle N=\sum_{k=1}^nn_k$個兩兩不交的 $R^n$中的區間，顯然這個集系是 $\pi$系，故全體 $R^n$中的左開右閉矩體構成一個半環

例1.3 顯然從例1.2的證實能夠看出，若是 $\mathscr{A_i}$是 $X_i$的半環 $(i=1,\cdots,n)$，則全體構造如 $\prod_{k=1}^nA_k,A_k\in\mathscr{A_k},k=1,\cdots,n$構成的集系是 $\prod_{k=1}^nX_k$的半環，只須要將例1.2中的左開右閉區間換成 $\mathscr{A_i}$的集合便可證得

例1.4 $\mathscr{R}$是 $X$上的半環，則對於任意的 $A,B\in\mathscr{R}$，有 $A\cup B$可表爲 $\mathscr{R}$中兩兩不交集合之並，這是由於 $A-B,B-A,A\cap B$兩兩不交，因爲 $\mathscr{R}$是 $\pi$系， $A\cap B\in \mathscr{R}$，同時 $A-B,B-A$可表爲 $\mathscr{R}$中有限個兩兩不交的集合之並

例1.5 由全體有限個 $R$上兩兩不交的左開右閉區間之並構成是集合是 $R$上的環，這個集系能夠寫成 $\mathscr{R}=\bigcup_{n=1}^\infty\{\bigcup_{k=1}^nI_k:I_1,\cdots,I_n爲兩兩不交的左開右閉區間\}$

證：
假設 $I_1^1,\cdots,I_n^1$是 $n$個兩兩不交的左開右閉區間， $I_1^2,\cdots,I_m^2$是 $m$個兩兩不交的左開右閉區間，則 $\bigcup_{k=1}^nI_k^1\cup\bigcup_{k=1}^mI_k^2=\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^mI_i^1\cap I_j^2$顯然右邊的分解式兩兩不交，故 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^nI_k^1\cup\bigcup_{k=1}^mI_k^2\in\mathscr{R}$，再證實 $\mathscr{R}$對差運算封閉 $\begin{aligned} &\bigcup_{i=1}^nI_{i}^1-\bigcup_{j=1}^mI_j^2=\bigcup_{i=1}^n(I_i^1-\bigcup_{j=1}^mI_j^2)=\bigcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^m(I_i^1-I_j^2) \end{aligned}$因爲全體左開右閉區間構成 $R$上的半環，對任意的 $i=1,\cdots,n,j=1,\cdots,m$，存在有限個兩兩不交的左開右閉區間 $I_1^{ij},I_2^{ij},\cdots,I_{n_{ij}}^{ij}$，有 $I_i^1-I_j^2=\bigcup_{k=1}^{n_{ij}}I_k^{ij}$就有 $\begin{aligned} &\bigcup_{i=1}^nI_{i}^1-\bigcup_{j=1}^mI_j^2=\bigcup_{i=1}^n(I_i^1-\bigcup_{j=1}^mI_j^2)=\bigcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^m\bigcup_{k=1}^{n_{ij}}I_k^{ij}\\ =&\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{k_1=1}^{n_{i1}}\cdots\bigcup_{k_m=1}^{n_{im}}(I_{k_1}^{i1}\cap\cdots\cap I_{k_m}^{im}) \end{aligned}$由構造，分解式右邊兩兩不交，故 $\mathscr{R}$對差運算封閉

例1.6 固然，例1.5也能夠推廣到通常的半環，若是 $\mathscr{A}$是 $X$上的半環，則 $\mathscr{R}=\bigcup_{n=1}^\infty\{\bigcup_{k=1}^nA_k:A_1,\cdots,A_n是\mathscr{A}中的兩兩不交的集合\}$是 $X$上的環，只要把例1.5中的左開右閉區間換成 $\mathscr{A}$中的抽象集合便可

所謂集系的生成，即從簡單集係獲得複雜集系， $\mathscr{A}$是一個 $X$的簡單集系，它未必對集合的某些運算封閉，但咱們要求找到一個 $X$的集系 $\mathscr{R}$，它對某些運算封閉，而且 $\mathscr{A}\subseteq \mathscr{R}$。不只如此，咱們還但願 $\mathscr{R}$是最小的，一些多餘的集合排除出 $\mathscr{R}$。這就是集系生成的概念。

定義1.2 $\mathscr{A}$是 $X$的集系，若是 $X$的環（單調系、 $\lambda$系、 $\sigma$代數） $\mathscr{R}$知足：
(1) $\mathscr{A}\subset \mathscr{R}$
(2)若是 $X$的環（單調系、 $\lambda$系、 $\sigma$代數） $\mathscr{F}$也知足 $\mathscr{A}\subset \mathscr{F}$，則 $\mathscr{R}\subset \mathscr{F}$
則稱 $\mathscr{F}$是由 $\mathscr{A}$生成的環（單調系、 $\lambda$系、 $\sigma$代數），記爲 $r(\mathscr{A})(m(\mathscr{A}),\lambda(\mathscr{A}),\sigma(\mathscr{A}))$

那麼咱們首先要問的是存在性

定理1.2 對任意 $X$的集系 $\mathscr{A}$，由 $\mathscr{A}$生成的環（單調系、 $\lambda$系， $\sigma$系）存在

證：咱們僅證實存在任意集系生成的環，單調系， $\lambda$系和 $\sigma$系的證實是相似的。
記 $\mathcal{S}$爲全體包含 $\mathscr{A}$的環的集合，固然 $\mathcal{S}$非空，令 $\mathscr{R}=\bigcap_{\mathscr{B}\in\mathcal{S}}\mathscr{B}$容易驗證 $\mathscr{R}$是環，且對任意的 $\mathscr{B}\in\mathcal{S}$，由構造顯然有 $\mathscr{R}\subseteq \mathscr{B}$

例1.7 $\mathscr{A}$是 $X$的半環，則 $r(\mathscr{A})$是例1.6構造的集合，即 $r(\mathscr{A})=\bigcup_{n=1}^\infty\{\bigcup_{k=1}^nA_k:A_1,\cdots,A_n是\mathscr{A}中的兩兩不交的集合\}$這由生成的環的定義能夠直接驗證

集合形式的單調類定理

下面咱們證實一個重要的定理

定理1.3 (1) $\mathscr{R}$是 $X$上的代數，則 $\sigma(\mathscr{R})=m(\mathscr{R})$
(2) $\mathscr{P}$是 $X$上的 $\pi$系，則 $\sigma(\mathscr{P})=\lambda(\mathscr{P})$

證：
(1)(2)的證實是相似的，所以咱們只證實(1)，(2)的證實能夠仿照(1)進行
因爲全部 $\sigma$代數都是單調系，所以， $m(\mathscr{R})\subset\sigma(\mathscr{R})$，只要證實 $\sigma(\mathscr{R})\subset m(\mathscr{R})$，實際上，由定理1.1，咱們只要驗證 $m(\mathscr{R})$是代數便可。首先因爲 $\mathscr{R}\subset m(\mathscr{R})$，而且 $\mathscr{R}$是代數，故 $X\in m(\mathscr{R})$，其次，咱們須要驗證 $m(\mathscr{R})$對有限並和差運算封閉。對於任意的 $A\in \mathscr{R}$，定義： $\mathscr{S}(A)=\{B\in m(\mathscr{R}):A\cup B\in m(\mathscr{R})\}$若是 $A\in m(\mathscr{R})$，那麼顯然，因爲 $\mathscr{R}$是一個代數，就有 $\mathscr{R}\subset \mathscr{S}(A)$其次，因爲 $m(\mathscr{R})$是單調系，容易驗證 $\mathscr{S}(A)$也是單調系（按定義驗證便可），所以就有 $m(\mathscr{R})\subset \mathscr{S}(A)$這說明對任意的 $A\in m(\mathscr{R})$，有 $\mathscr{R}\subset \mathscr{S}(A)$而 $\mathscr{S}(A)$是單調系，故 $m(\mathscr{R})\subset \mathscr{S}(A)$從而就證得了 $m(\mathscr{R})$對有限並封閉，同理可證 $m(\mathscr{R})$對差運算封閉，故 $m(\mathscr{R})$是代數，所以 $m(\mathscr{R})$是 $\sigma$代數，所以， $\sigma(\mathscr{R})\subset m(\mathscr{R})$，故 $\sigma(\mathscr{R})=m(\mathscr{R})$

定理1.3是證實中很是實用的定理，好比咱們證實了在一個代數 $\mathscr{R}$上的任意集合都知足性質 $P$，咱們要證實 $\sigma(\mathscr{R})$上的全部集合都知足性質 $P$，咱們能夠直接證實，對知足性質 $P$的任何單調列 $\{A_n\}$， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n$也知足性質 $P$，那麼知足性質 $P$的集合構成一個包含 $\mathscr{R}$的單調性，設這個集係爲 $\mathscr{S}$，則由定理1.3，就有 $\sigma(\mathscr{R})=m(\mathscr{R})\subset \mathscr{S}$故 $\sigma(\mathscr{R})$上全部的集合都知足性質 $P$。咱們把以上的思路，整理爲下面的很實用的推論

推論1.1 (1) $\mathscr{R}$是 $X$的代數， $\mathscr{S}$是知足 $\mathscr{R}\subset \mathscr{S}$的一單調系，則 $\sigma(\mathscr{R})\subset\mathscr{S}$
(2) $\mathscr{P}$是 $X$的一個 $\pi$系， $\mathscr{S}$是知足 $\mathscr{P}\subset \mathscr{S}$的一 $\lambda$系，則 $\sigma(\mathscr{P})\subset\mathscr{S}$

這一推論稱爲集合形式的單調類定理。利用推論1.1進行證實的證實方法稱爲單調系方法及 $\lambda$系方法。

可測空間

可測空間定義

定義1.3 $\mathscr{F}$是 $X$上的 $\sigma$代數，則稱二元組 $(X,\mathscr{F})$爲一個可測空間， $\mathscr{F}$中的集合稱爲可測集

假設 $X$是一個拓撲空間， $\mathscr{O}$爲其拓撲，記 $\mathscr{B}_X=\sigma(\mathscr{O})$，則 $\mathscr{B}_X$爲 $X$的Borel代數或Borel集合系，其中的集合稱爲 $X$的Borel集，可測空間 $(X,\mathscr{B}_X)$稱爲拓撲可測空間。如今咱們來考察 $R$的Borel代數：

引理1.1 $\mathscr{A}=\{I_t:t\in T\}$是一個由兩兩不交開區間構成的集系，則 $\mathscr{A}$是可數集

證：
對 $t\in T$任取有理 $q_t\in I_t$，因爲 $\mathscr{A}$中的開區間兩兩不交，故對 $t_1,t_2\in T$， $q_{t_1}\neq q_{t_2}$，記 $S=\{q_t:t\in T\}$，則構造映射 $\begin{aligned} \varphi:&\mathscr{A}&\to &S\\ &I_t&\mapsto&q_t \end{aligned}$那麼顯然 $\varphi$既是單射，又是滿射，而且 $S\subseteq Q$，而 $Q$可數，故 $\mathscr{A}$是可數集

定理1.4 $R$上任意開集可表爲可數個兩兩不交的開區間之並

證：
設 $O$是 $R$上的開集
①定義生成區間：對任意的 $x\in O$，存在鄰域 $B(x,\delta)\subseteq O$，記 $S_x^+=\{y>x:(x,y)\subseteq O\}\\ S_x^{-}=\{y<x:(y,x)\subseteq O\}\\$顯然 $S_x^+$非空，如今，咱們規定若是 $S_x^+$無上界，那麼顯然 $(x,+\infty)\subseteq O$，記 $b_x=+\infty$，不然，若是 $S_x^+$有上界，記 $\displaystyle b_x=\sup_{y\in S_x^+} y$，那麼，顯然 $(x,b^x)\subseteq O$，，一樣地能夠定義 $a_x$。開區間 $(a_x,b_x)$稱爲 $x$的生成區間，記爲 $I_x$，知足 $I_x\subseteq O$。
②對 $x\in O,y\in O$，則要麼 $I_x=I_y$，要麼 $I_x\cap I_y=\emptyset$，分類討論便可證得
③由②， $\mathscr{A}=\{I_x|x\in O\}$是兩兩不交的開區間構成的集合，由引理1.1， $\mathscr{A}$可數，而且 $O=\bigcup_{x\in O}I_x$

由定理1.4，不可貴到 $\mathscr{B}_R=\sigma\{(a,b)|a<b,a\ge -\infty,b\le +\infty\}$即全體開區間構成的集系生成的 $\sigma$代數，這是由於，咱們記 $\mathscr{F}=\sigma\{(a,b):a<b,a\ge -\infty,b\le +\infty\}$，對於任意的開集 $O$，由定理1.4，可知存在 $N$個兩兩不交的開區間 $I_1,I_2,\cdots$（ $N$爲有限數或無窮）， $\displaystyle O=\bigcup_{k=1}^N I_k$，所以， $O\in \mathscr{B}_R$（由 $\sigma$代數的定義(3)），故由最小 $\sigma$代數的定義， $\mathscr{B}_R\subseteq \mathscr{F}$，可是開區間又是開集，故任意開區間又在 $\mathscr{B}_R$內，所以 $\mathscr{F}\subseteq \mathscr{B}_R$，從而 $\mathscr{F}=\mathscr{B}_R$

由此還能夠獲得 $\mathscr{B}_R=\sigma\{(a,b)|a<b,a\in R,b\in R\}$記 $\mathscr{F}=\sigma\{(a,b):a<b,a\in R,b\in R\}$，那麼很顯然 $\mathscr{F}\subseteq \mathscr{B}_R$，其次，對任意的 $a\in R$，都有 $\displaystyle(a,+\infty)=\bigcup_{n=1}^\infty(a,a+n)$，故 $(a,+\infty)\in \mathscr{F}$，由此能夠獲得 $\mathscr{B}_R\subseteq\mathscr{F}$，故 $\mathscr{F}=\mathscr{B}_R$

進一步地 $\mathscr{B}_R=\sigma\{(a,b]|a<b,a\in R,b\in R\}$由此能夠獲得 $\mathscr{B}_R=\sigma\{(-\infty,a)|a\in R\}$而 $\displaystyle(-\infty,a]=\bigcap_{n=1}^\infty (-\infty,a+\frac{1}{n})$，由此又能夠獲得 $\begin{aligned} \mathscr{B}_R=&\sigma\{(-\infty,a]|a\in R\}\\ =&\sigma\{(-\infty,a)|a\in R\}\\ =&\sigma\{(a,+\infty)|a\in R\}\\ =&\sigma\{[a,+\infty)|a\in R\} \end{aligned}$
如今咱們在實數域 $R$上加上正負無窮 $\pm \infty$兩個點，定義廣義實數域 $\overline{R}=R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$定義運算性質爲：
(1) $a\in R$則 $a+(\pm\infty)=\pm\infty+a=\pm \infty$， $a-(\pm\infty)=\mp\infty$