測度論與機率論筆記4：測度空間上的積分（上）

測度空間上的積分

• 測度空間的積分
• 非負簡單函數的積分
• 非負可測函數的積分
• 通常可測函數的積分
• 積分的性質
• 三大積分極限定理
• Levi漸升列定理
• Fatou引理
• Lebesgue控制收斂定理

測度空間的積分

接下來咱們定義測度空間上的積分，方法仍是採用典型方法，須要三步：
第一步：定義非負簡單函數的積分
第二步：因爲非負可測函數均可由漸升非負簡單函數列逼近，由此定義非負可測函數的積分
第三步：將通常可測函數分解爲正負部，其積分爲正部的積分減去負部的積分
接下來的討論，如無特別說明，測度空間爲 $(X,\mathscr{F},\mu)$， $\mathscr{F}$中的集合稱爲可測集

非負簡單函數的積分

對非負簡單函數 $\displaystyle f=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k}$， $E_1,\cdots,E_n$爲兩兩不交的可測集， $\displaystyle X=\bigcup_{k=1}^nE_k$， $c_1,\cdots,c_n$爲非負實數，定義其積分爲 $\int_Xfd\mu=\sum_{k=1}^nc_k\mu(E_k)$

1. 實際上，非負簡單函數的表示方法不惟一，所以要證實這必定義是良定義，也就是說，不論表示爲什麼種形式，積分的定義是惟一。
   咱們設 $\displaystyle f=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k}=\sum_{k=1}^md_kI_{F_k}$，其中， $E_1,\cdots,E_n$爲兩兩不交的可測集， $F_1,\cdots,F_m$爲兩兩不交的可測集， $\displaystyle X=\bigcup_{k=1}^nE_k=\bigcup_{k=1}^m F_k$， $c_1,\cdots,c_n,d_1,\cdots,d_m$都是非負實數。設 $\displaystyle I_1=\sum_{k=1}^nc_k\mu(E_k),I_2=\sum_{k=1}^md_k\mu(F_k)$。則 $f$還能夠表示爲 $f=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_iI_{E_i\cap F_j}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md_jI_{E_i\cap F_j}$這兩種方法是同一種表示方法¹，在該表示法下的積分爲 $I_3=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_i\mu(E_i\cap F_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md_j\mu(E_i\cap F_j)$²而 $\{E_i\cap F_j:i=1,2,\cdots,n,j=1,2,\cdots,m\}$是兩兩不交的可測集，而且 $\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^mE_i\cap F_j$，而 $I_3=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_i\mu(E_i\cap F_j)=\sum_{i=1}^nc_i\sum_{j=1}^m\mu(E_i\cap F_j)=\sum_{i=1}^nc_i\mu(E_i)=I_1$同理可證 $I_3=I_2$，故 $I_1=I_2$

2. 非負簡單函數積分的性質：
   性質1: $A$是可測集，則 $\displaystyle\int_X I_Ad\mu=\mu(A)$
   性質2: 對任意的非負簡單函數 $f$， $\displaystyle \int_X fd\mu\ge 0$
   性質3:（半線性性質） 對任意的非負簡單函數 $f,g$，對任意的非負實數 $a,b$， $af+bg$也是非負簡單函數，而且 $\int_X(af+bg)d\mu=a\int_Xfd\mu+b\int_Xgd\mu$ 性質4：（不等式性質） $f,g$是非負簡單函數， $f\le g$，則 $\int_X fd\mu\le \int_X gd\mu$ 性質5： $\{f_n\}$是漸升的非負簡單函數列， $g$是非負簡單函數，而且 $\displaystyle g\le \lim_{n\to\infty} f_n$，則有 $\int_Xgd\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu$

非負簡單函數性質的證實：僅證實性質3和性質5，性質4的證實思路和性質3相似，而性質1,2是顯然的
性質3的證實：設 $\displaystyle f=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k},g=\sum_{k=1}^md_kI_{F_k}$，其中 $E_1,\cdots,E_n$爲兩兩不交的可測集， $F_1,\cdots,F_m$爲兩兩不交的可測集，而且 $\displaystyle X=\bigcup_{k=1}^nE_k=\bigcup_{k=1}^mF_k$， $c_1,\cdots,c_n,d_1,\cdots,d_m$爲非負實數，則 $af+bg=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(ac_i+bd_j)I_{E_i\cap F_j}$則 $\begin{aligned} &\int_X(af+bg)d\mu=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(ac_i+bd_j)\mu(E_i\cap F_j)\\ =&a\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_i\mu(E_i\cap F_j)+b\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md_j\mu(E_i\cap F_j)\\ =&a\sum_{i=1}^nc_i\sum_{j=1}^m\mu(E_i\cap F_j)+b\sum_{j=1}^md_j\sum_{i=1}^n\mu(E_i\cap F_j)\\ =&a\sum_{i=1}^nc_i\mu(E_i)+b\sum_{j=1}^md_j\mu(F_j)\\ =&a\int_X fd\mu+b\int_X g d\mu \end{aligned}$性質5的證實： 對於任意的 $c\in (0,1)$，定義 $A_n=\{f_n\ge cg\}\\ B_n=\{f_n < cg\}$則 $\int_X f_nd\mu =\int_Xf_nI_{A_n}d\mu+\int_X f_nI_{B_n}d\mu\ge \int_Xf_nI_{A_n}d\mu$因爲 $\{f_n\}$是漸升列，故 $E_1\subset E_2\subset E_3\subset \cdots\subset E_n\subset \cdots$，而且， $E_n\uparrow X$，咱們證實 $\displaystyle \int_X gI_{A_n}d\mu\uparrow \int_X g d\mu$，設 $\displaystyle g=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k}$，其中 $E_1,\cdots,E_n$爲兩兩不交的可測集，而且 $\displaystyle X=\bigcup_{k=1}^n E_k$， $c_1,\cdots,c_n$爲非負實數，則 $gI_{A_n}=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k\cap A_n}+0.I_{B_n}$則 $\int_XgI_{A_n}d\mu=\sum_{k=1}^n c_k \mu(E_k\cap A_n)$由測度的下連續性，就有
$\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\int_XgI_{A_n}d\mu=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n c_k \mu(E_k\cap A_n)\\=&\sum_{k=1}^n c_k\lim_{n\to\infty}\mu(E_k\cap A_n)=\sum_{k=1}^nc_k\mu(E_k)=\int_Xgd\mu \end{aligned}$而且 $\int_Xf_nI_{A_n}d\mu\ge c\int_XgI_{A_n}d\mu$故 $\int_X f_nd\mu\ge c\int_XgI_{A_n}d\mu$兩邊令 $n\to\infty$，有 $\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu\ge c\int_Xgd\mu$再令 $c\to 1$，就有 $\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu\ge \int_Xgd\mu$

非負可測函數的積分

由簡單函數逼近定理，對任意非負可測函數 $f$，存在漸升的非負簡單函數列 $\{f_n\}$， $f_n\uparrow f$，則咱們能夠定義非負可測函數 $f$的積分爲 $\int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu$

1. 該定義是良定義：所謂的良定義是指：不管選取何種漸升的非負簡單函數列 $\{f_n\}$，只要 $f_n\uparrow f$，所獲得的積分值是相等的。對兩個非負漸升的簡單函數列 $\{f_n\}$和 $\{g_n\}$，而且到處成立 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n=\lim_{n\to\infty}g_n$，那麼對任意的 $m\ge 1$，都有 $f_m\le \lim_{n\to\infty} g_n\\ g_m\le \lim_{n\to\infty} f_n$所以，由非負簡單函數積分的性質，就有 $\int_Xf_md\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_X g_nd\mu\\ \int_Xg_md\mu\le \lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu$兩邊令 $m\to\infty$，就有 $\lim_{m\to\infty}\int_X f_md\mu\le \lim_{n\to\infty}\int_Xg_nd\mu\\ \lim_{m\to\infty}\int_X g_md\mu\le \lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu$這就獲得 $\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X g_nd\mu$
2. 由1，非負可測函數的積分與所選取的漸升非負簡單函數列無關，故計算積分值時，選取任意的漸升非負簡單函數列都是能夠的。若是選取的是咱們證實簡單函數逼近定理時的漸升非負簡單函數列，那麼就有 $\int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n2^n-1}\frac{k}{2^n}\mu\{\frac{k}{2^n}\le f < \frac{k+1}{2^n}\}+n\mu\{f\ge n\}\right]$這裏選取的非負簡單函數列爲 $\{h_n\}$，其中 $h_n=\sum_{k=0}^{n.2^n-1}\frac{k}{2^n}I_{\{\frac{k}{2^n}\le f < \frac{k+1}{2^n}\}}+nI_{\{f\ge n\}}$後面沿用這個記號
3. 該定義還有一個等價定義 $\int_Xfd\mu=\sup\{\int_Xgd\mu:g\le f,g是非負簡單函數\}$

證：咱們記 $I= \int_Xfd\mu=\sup\{\int_Xgd\mu:g\le f,g是非負簡單函數\}$任取一列漸升的非負簡單函數列 $\{f_n\}$，而且 $f_n\uparrow f$，則 $f_n\le f$，由 $I$的定義，就有 $\int_X f_nd\mu\le I$令 $n\to\infty$，就有 $\int_X fd\mu \le I$反之，咱們分兩種狀況討論：
情形1：當 $I=+\infty$時，存在非負簡單函數列 $\{f_n\}$， $f_n\le f$，而且 $\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu=+\infty$令 $g_n=\max\{f_1,f_2,\cdots,f_n,h_n\}$，容易驗證 $g_n$也是非負簡單函數，而且 $\{g_n\}$是漸升的，同時，因爲 $f_1\le f,f_2\le f,\cdots,f_n\le f,h_n\le f$故 $g_n\le f$，而 $g_n\ge h_n$，由夾逼準則， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}g_n= f$，則 $\lim_{n\to\infty}\int_X g_nd\mu=+\infty=\int_X fd\mu$情形2：當 $I<+\infty$時，存在非負簡單函數列 $\{f_n\}$， $f_n\le f$，而且 $\int_X f_nd\mu>I-\frac{1}{n}$如同情形1同樣構造 $\{g_n\}$，則 $I-\frac{1}{n}<\int_Xf_nd\mu\le\int_X g_nd\mu\le I$由夾逼準則 $\lim_{n\to\infty}\int_Xg_nd\mu=\int_X fd\mu=I$

4. 若 $f$是一個非負簡單函數，則 $\displaystyle\int_Xfd\mu$是良定義的，也就是說，不管採起上節的定義，仍是本節的定義，獲得的積分值是一致的，這由注3容易驗證，這裏省略
5. 非負可測函數積分的性質：
   性質1（非負性）： $f$是非負可測函數，則 $\displaystyle\int_X fd\mu\ge 0$
   性質2（線性性質）： $f,g$是兩個非負可測函數， $a,b$是兩個非負實數，則 $\int_X(af+bg)d\mu=a\int_Xfd\mu+b\int_Xgd\mu$性質3（不等式性質） ： $f,g$是兩個非負可測函數，而且到處成立 $f\le g$，則 $\int_X fd\mu\le \int_X gd\mu$

通常可測函數的積分

對於通常的可測函數，咱們定義其積分爲 $\int_Xfd\mu=\int_X f^+d\mu-\int_X f^-d\mu$固然前提是要這個式子有意義，這個式子有意義的充要條件是 $\min\{\int_X f^+d\mu,\int_X f^-d\mu\}<+\infty$此時咱們稱 $f$積分存在，若是 $\max\{\int_X f^+d\mu,\int_X f^-d\mu\}<+\infty$則這個積分仍是實數，此時咱們稱 $f$可積

1. 任意可測集上的積分：若是 $A$是可測集， $f$是可測函數，則若是 $fI_A$積分存在或可積，就稱 $f$在 $A$上積分存在或可積，積分值記爲 $\int_Afd\mu=\int_X fI_Ad\mu$
2. 幾乎到處定義的可測函數的積分： $f$雖然不是可測函數，但其與可測函數 $h$幾乎到處相等，若是 $h$積分存在或可積，咱們稱 $f$積分存在或可積，積分值爲 $\int_X hd\mu$，後面咱們將證實這必定義是良定義

積分的性質

定理4.1（可積的充要條件） $f$爲可測函數.
(1) 若是 $f$的積分存在，則 $\displaystyle\left|\int_Xfd\mu\right|\le \int_X|f|d\mu$
(2) $f$可積當且僅當 $|f|$可積
(3) 若是 $f$可積，則 $f$幾乎到處有限

證：
（1）若是 $\displaystyle\int_Xfd\mu=+\infty$，則 $\displaystyle\int_Xf^+d\mu=+\infty,\int_Xf^-d\mu<+\infty$，所以 $\int_X|f|d\mu=\int_Xf^+d\mu+\int_Xf^-d\mu=+\infty$故 $\left|\int_Xfd\mu\right|=\int_X|f|d\mu$而 $\displaystyle\int_Xfd\mu=-\infty$時也是相似的，當 $f$可積時，由三角不等式 $\left|\int_Xfd\mu\right|=\left|\int_Xf^+d\mu-\int_Xf^-d\mu\right|\le\int_Xf^+d\mu+\int_Xf^-d\mu=\int_X|f|d\mu$（2） $f$可積的充要條件是 $\int_Xf^+d\mu<+\infty,\int_Xf^-d\mu<+\infty$而 $\int_X|f|d\mu=\int_Xf^+d\mu+\int_Xf^-d\mu$故由此不可貴出 $f$可積當且僅當 $|f|$可積
（3）若是 $f$非負， $f$不幾乎到處有限，那麼 $\displaystyle\mu\{f=+\infty\}=\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty\{f\ge n\}\right)=\delta>0$，那麼由單調性，對任意的 $n\ge 1$，都有 $\mu\{f\ge n\}\ge \mu\{f=+\infty\}=\delta$所以 $\begin{aligned} &\int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n.2^n-1}\frac{k}{n.2^n}\mu\{\frac{k}{n.2^n}\le f<\frac{k+1}{n.2^n}\}+n\mu\{f\ge n\}\right]\\\ge&\lim_{n\to\infty}n\mu\{f\ge n\}\ge \delta\lim_{n\to\infty}n=+\infty \end{aligned}$ $f$不可積，所以，若是 $f$可積，則 $f$幾乎到處有限
對通常的可測函數， $f$可積的充要條件是 $|f|$可積，則 $f$可積， $|f|$幾乎到處有限， $f$也幾乎到處有限

定理4.2 $f,g$是可測函數.
（1）對任意的可測集 $A$，而且 $\mu(A)=0$，有 $\int_Afd\mu=0$（2）若是 $f,g$積分存在且 $f\ge g \quad a.e$，則 $\displaystyle\int_Xfd\mu\ge\int_Xgd\mu$
（3）若是 $f,g$幾乎到處相等，那麼只要其中一個積分存在，另外一個積分也存在並且兩個積分值相等

證：
（1） 若是 $f$在 $A$上非負，對任意的非負簡單函數 $g\le fI_A$，則 $g$幾乎到處爲0，顯然 $\displaystyle\int_Xgd\mu=0$，故 $\displaystyle\int_Afd\mu=0$，對通常的可測函數 $f$， $f^+I_A,f^-I_A$也幾乎到處爲0，由此可得 $\displaystyle\int_X(fI_A)^+d\mu=\int_Xf^+I_Ad\mu=0,\int_X(fI_A)^-d\mu=\int_Xf^-I_Ad\mu=0$，故 $\displaystyle\int_Afd\mu=\int_XfI_Ad\mu=0$
（2） 若是 $f,g$非負， $f\ge g \quad a.e$，則令 $A=\{f\ge g\}\\ B=\{f<g\}$則 $\mu(B)=0$，而且 $\int_Xfd\mu=\int_XfI_Ad\mu+\int_XfI_Bd\mu=\int_XfI_Ad\mu\\ \int_Xgd\mu=\int_XgI_Ad\mu+\int_XgI_Bd\mu=\int_XgI_Ad\mu$而 $fI_A\ge gI_B$故 $\int_Xfd\mu=\int_XfI_Ad\mu\ge \int_XgI_Ad\mu=\int_Xgd\mu$當 $f,g$爲通常可測函數時， $f\ge g \quad a.e.$，則不難推出 $f^+\ge g^+,f^-\le g^-\quad a.e.$，就有 $\int_Xf^+d\mu\le \int_Xg^+d\mu\\ \int_Xf^-d\mu\ge \int_Xg^-d\mu$就能夠證得結論
（3） $f=g\quad a.e.$等價於 $f\ge g,f\le g\quad a.e$，再套用結論（2）便可

設 $f$爲幾乎到處定義的可測函數，那麼設 $f=g=h$， $g,h$爲可測函數，那麼 $g,h$幾乎到處相等，那麼應該同時積分存在或可積，而且積分值相等，那麼對 $f$的積分定義是良定義，也就是說，不與所選擇的可測函數有關。定理4.2還說明了：若是在一個零測集上改變可測函數的值，不改變積分的存在性，不改變可積性，不改變積分的值。

定理4.3 $f$是可測函數，若是 $f$幾乎到處爲0，則 $\displaystyle\int_Xfd\mu=0$，反正，若是 $f\ge 0\quad a.e.$， $\displaystyle\int_Xfd\mu=0$，則 $f=0 \quad a.e$

證：
(1) 若是 $f = 0 \quad a.e.$，則 $f=fI_{\{f\neq 0\}}$，而 $\mu\{f\neq 0\}=0$，所以 $\int_X fd\mu=\int_X fI_{\{f\neq 0\}}d\mu=0$(2) 若是 $f\ge 0$到處成立， $\displaystyle\int_Xfd\mu=0$，若是 $f$不幾乎到處爲0，則 $\mu\{f\neq 0\}=\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty\{f\ge\frac{1}{n}\}\right)>0$則存在正整數 $n_0$，有 $\mu\{f\ge\frac{1}{n_0}\}>0$而 $f\ge \frac{1}{n_0}I_{\{f\ge \frac{1}{n_0}\}}$所以 $\int_Xfd\mu\ge\frac{\mu\{f\ge \frac{1}{n_0}\}}{n_0}>0$矛盾，所以 $f=0\quad a.e.$
而若是 $f\ge 0\quad a.e$，而且 $\displaystyle \int_X fd\mu=0$，則令 $A=\{f\ge 0\}\\ B=\{f<0\}$因爲 $\mu(B)=0$，就有 $\int_Xfd\mu=\int_XfI_Ad\mu+\int_XfI_Bd\mu=\int_XfI_Ad\mu=0$而 $fI_A\ge 0$到處成立，所以， $fI_A=0,f=fI_A\quad a.e.$，故 $f=0\quad a.e$

定理4.4 $f,g$是積分存在的可測函數.
（1）對任意的 $a\in R$， $af$的積分存在，而且 $\displaystyle\int_X (af)d\mu=a\int_Xfd\mu$
（2）若是 $\displaystyle\int_Xfd\mu+\int_Xgd\mu$有意義，那麼 $f+g$爲幾乎到處定義的可測函數，積分存在，而且 $\int_X(f+g)d\mu=\int_Xfd\mu+\int_Xgd\mu$

證：
（1） $a=0$時， $af=0$，則結論是顯然的，咱們就 $a>0$的狀況給出證實， $a<0$狀況下的證實是相似的。
$af>0$等價於 $f>0$，故 $(af)^+=af^+,(af)^-=af^-$再利用非負可測函數積分的性質便可證得（1）
（2）
①先證實 $f+g$幾乎到處有定義，分三種狀況討論：
情形1： $\displaystyle \int_Xfd\mu=+\infty,\int_Xgd\mu>-\infty$，則 $\int_Xf^+d\mu=+\infty,\int_Xf^-d\mu<+\infty,\int_Xg^-d\mu<+\infty$由 $\displaystyle\int_Xf^-d\mu<+\infty$， $f>-\infty\quad a.e.$，由 $\displaystyle\int_Xg^-d\mu<+\infty$， $g>-\infty\quad a.e.$， $f+g$無心義有兩種狀況：一是 $f=+\infty,g=-\infty$，二是 $f=-\infty,g=+\infty$，令 $A=\{f=+\infty,g=-\infty\}\cup\{f=-\infty,g=+\infty\}$那麼 $\begin{aligned} 0\le& \mu(A)\le\mu\{f=+\infty,g=-\infty\}+\mu\{f=-\infty,g=+\infty\}\\\le&\mu\{g=-\infty\}+\mu\{f=-\infty\}=0 \end{aligned}$故 $\mu(A)=0$，可見 $f+g$到處有定義， $\displaystyle\int_Xfd\mu>-\infty,\int_Xgd\mu=+\infty$情形同理
情形2： $\displaystyle\int_Xfd\mu=-\infty,\int_Xgd\mu<+\infty$時，則有 $\int_Xf^-d\mu=+\infty,\int_Xf^+d\mu<+\infty,\int_Xg^+d\mu<+\infty$能夠推得 $f<+\infty,g<+\infty\quad a.e.$因而 $\mu(A)=0$， $f+g$幾乎到處有定義， $\displaystyle\int_Xfd\mu<+\infty,\int_Xgd\mu=-\infty$情形同理
情形3： $f,g$都可積，此時 $f,g$幾乎到處有限，顯然 $\mu(A)=0$， $f+g$幾乎到處有定義
$f+g=(f+g)I_{A^c}\quad a.e$故 $f+g$爲幾乎到處定義的可測函數
②再證實 $\displaystyle\int_X(f+g)d\mu=\int_Xfd\mu+\int_Xgd\mu$：
咱們證實在 $f+g$有意義的狀況下，等式 $(f+g)^++f^-+g^-=(f+g)^-+f^++g^+$成立，仍是分三種狀況討論：
情形1： $f+g=+\infty$，此時有兩種可能， $f=+\infty,g>-\infty$或 $f>-\infty,g=+\infty$，僅證實前一種狀況，後一種是相似的：
若是 $f+g=+\infty,f=+\infty,g>-\infty$，則 $(f+g)^+=+\infty,(f+g)^-=0\\ f^+=+\infty,f^-=0\\ g^+\ge0,g^-\ge 0$由此能夠獲得等式兩邊均爲 $+\infty$
情形2： $f+g=-\infty$的證實與情形1相似，等式也成立
情形3： $|f+g|<+\infty$，則 $f,g$都是實數，等式天然成立
對上面的等式兩邊積分，就能夠獲得 $\int_X(f+g)^+d\mu+\int_Xf^-d\mu+\int_Xg^-d\mu=\int_X(f+g)^-d\mu+\int_Xf^+d\mu+\int_Xg^+d\mu$分狀況討論：
情形1：若是 $\displaystyle \int_X f^+d\mu=+\infty$，那麼 $\displaystyle\int_X fd\mu=+\infty,\int_X gd\mu>-\infty$，所以， $\displaystyle\int_X f^-d\mu<+\infty,\int_X g^-d\mu<+\infty$，因爲等式成立， $\displaystyle\int_X(f+g)^+d\mu=+\infty$，而 $(f+g)^-\le f^-+g^-$所以 $\int_X(f+g)^-d\mu\le \int_X f^-d\mu+\int_X g^-d\mu<+\infty$所以 $f+g$積分存在，而且 $\int_X(f+g)d\mu=+\infty=\int_X fd\mu+\int_X gd\mu$ $\displaystyle\int_X gd\mu=+\infty$的情形也是相似的
情形2： $\displaystyle \int_X f^-d\mu=+\infty或\int_X g^-d\mu=+\infty$情形的證實同情形1相似，再也不重複
情形3： $f,g$都可積，那麼，由 $(f+g)^+\le f^++g^+\\ (f+g)^-\le f^-+g^-$能夠知道 $f+g$也可積，移項便可證得等式

定理4.5 $f,g$是可積函數.
（1）若是 $\displaystyle \int_Afd\mu \ge \int_A gd\mu$對任意可測集 $A$都成立，則 $f\ge g\quad a.e$
（2）若是 $\displaystyle \int_Afd\mu = \int_A gd\mu$對任意的可測集 $A$均成立，則 $f=g \quad a.e.$

證：
（1）若是 $f\ge g\quad a.e.$不成立，那麼 ${\displaystyle \mu \{f<g\}=\mu (\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigcup }}\{g\ge f}$