動畫 | 什麼是紅黑樹？（與2-3-4樹等價）

二分搜索樹是爲了快速查找而生，它是一顆二叉樹，每個節點只有一個元素（值或鍵值對），左子樹全部節點的值均小於父節點的值，右子樹全部的值均大於父節點的值，左右子樹也是一顆二分搜索樹，並且沒有鍵值相等的節點。它的查找、插入和刪除的時間複雜度都與樹高成比例，指望值是O(log n)。

可是插入數組如[]，二分搜索樹的缺點就暴露出來了，二分搜索樹退化成線性表，查找的時間複雜度達到最壞時間複雜度O(n)。

動畫：二分搜索樹退化成線性表

那有沒有插入和刪除操做都能保持樹的完美平衡性（任何一個節點到其葉子節點的路徑長度都是相等的）？

有，B樹。B樹是一種自平衡的樹，根節點到其葉子節點的路徑高度都是同樣的，可以保持數據有序（經過中序遍歷能獲得有序數據）。B樹一個節點能夠擁有2個以上的子樹，如2-3樹、2-3-4樹甚至2-3-4-5-6-7-8樹，它們知足二分搜索樹的性質，但它們不屬於二叉樹，也不屬於二分搜索樹。

2-3-4樹的完美平衡，每條從根節點到葉子節點的路徑的高度都是同樣的

2-3-4樹有如下節點組成：

2-節點，含有一個元素（值或鍵值對）和兩個子樹（左右子樹），左子樹全部的值均小於父節點的值，右子樹全部的值均大於父節點的值；

3-節點，含有兩個元素和三個子樹，左子樹全部的值均小於父節點最小元素的值，中間子樹全部的值均位於父節點兩個元素之間，右子樹全部的值均大於父節點最大元素的值；

4-節點，含有三個元素和四個子樹，節點之間的比較也知足二分搜索樹的性質。

2-3-4樹查找算法

2-3-4樹的查找相似二分搜索樹的查找。

2-3-4樹插入算法

2-3-4樹的插入算法是消除當前節點是4-節點，將4-節點分解成多個2-節點，中間的2-節點與父節點合併成3-節點或4-節點。

沿着連接向下進行變換分解4-節點分爲兩種狀況：

1）4-節點做爲根節點，分解成3個2-節點，中間的2-節點做爲根節點；

2）當前節點爲4-節點，分解成3個2-節點，中間的2-節點與父節點合併成3-節點或4-節點；

圖：沿着連接向下進行變換，分解4-節點

在沿着左右連接向下進行變換的同時，也會進行命中查找。若是元素是鍵值對的話，查找命中將舊的值賦值爲新的值；若是元素是一個值的話，查找命中將忽略之，由於二分搜索樹須要知足沒有相等的元素；若是須要支持重複的元素，則在元素對象添加count屬性，默認爲1。

若是查找未命中，則將待插入元素插入在葉子節點上。樹底下插入一個元素只有兩種狀況：向2-節點中插入和向3-節點中插入。

圖：樹底下插入一個元素

2-3-4樹刪除算法

2-3-4樹的刪除算法是消除當前節點是2-節點，向兄弟節點或父節點借一個元素過來。

刪除最小元素

從根節點的左孩子開始，沿着左連接向下進行變換能夠分爲三種狀況：

1）當前節點不是2-節點，跳過；

2）當前節點是2-節點，兄弟節點是2-節點，將當前節點、父節點最小元素和兄弟節點合併爲4-節點，當前節點變換成4-節點；

3）當前節點是2-節點，兄弟節點不是2-節點，將兄弟節點的最小元素移到父節點，父節點的最小元素移到當前節點，當前節點變換成3-節點。

圖：沿着左連接向下進行變換

刪除最大元素

從根節點的右孩子開始，沿着右連接向下進行變換也一樣分爲三種狀況：

1）當前節點不是2-節點，跳過；

2）當前節點是2-節點，兄弟節點是2-節點，將當前節點、父節點的最大元素和兄弟節點合併爲4-節點，當前節點變換成4-節點；

3）當前節點是2-節點，兄弟節點不是2-節點，將兄弟節點的最大元素移到父節點，父節點的最大元素移到當前節點，當前節點變換成3-節點。

圖：沿着右連接向下進行變換

刪除任意元素

學習過刪除最小元素和刪除最大元素算法以後，刪除任意元素的算法天然就簡單了。刪除任意元素算法須要先進行命中查找，若查找命中，則將右子樹的最小值替換掉待刪除元素，而後將右子樹進行刪除最小元素的算法。

2-3-4樹雖知足二分搜索樹的性質，但不是一顆二分搜索樹。若是指望它是一顆二分搜索樹，就須要將3-節點和4-節點替換爲多個2-節點，還須要註明元素之間的關係（用紅連接表示）。

替換3-節點和4-節點

圖：替換3-節點

圖：替換4-節點

可是存在一個問題，2-3-4樹由於3-節點的不一樣表示會有不少種不一樣的紅黑樹，3-節點既能夠左傾，也能夠右傾。因此爲了保證樹的惟一性，3-節點只考慮左傾，固然你也能夠只考慮右傾。

這樣對於任何一顆2-3-4樹，只考慮左傾的狀況下，都能獲得惟一的一顆對應的紅黑樹，這種樹也叫左傾紅黑樹，相對比較減小了複雜性，設計更容易被實現。

紅黑樹查找算法

紅黑樹的查找算法和二分搜索樹同樣。

關於連接的顏色變換隻跟顏色轉換有關，而旋轉不會改變連接的顏色變換，只在被紅連接指向的節點變成紅色，被黑連接指向的節點變成黑色。

旋轉

旋轉是將不知足紅黑樹性質的3-節點和4-節點進行旋轉，若是3-節點出現右連接，則將右連接經過左旋轉變成左連接；若是4-節點出現一個紅節點連着兩條紅連接，則將4-節點配平。

左旋轉

圖：左旋轉

右旋轉

圖：右旋轉

圖：3-節點和4-節點的旋轉

Code：右旋轉和左旋轉

顏色轉換

顏色轉換隻應用於4-節點。

圖：顏色轉換

Code：顏色轉換

紅黑樹插入算法

回顧以前的2-3-4樹的插入算法，它有兩個過程：沿着連接向下進行分解4-節點和樹底下插入一個元素。

紅黑樹的插入算法和2-3-4樹的插入算法相似，它不只包含前面兩個過程，還增長了向上進行變換的過程，此過程是將3-節點左傾和4-節點配平。

紅黑樹插入算法會先從根節點開始，沿着左右連接向下進行變換，目的是爲了分解4-節點。若是該節點的左右孩子都是紅節點，則經過flipColors方法進行顏色轉換，接着進行下一個子節點；若是不是，則直接進行下一個子節點。

到達樹底的時候，則意味着能夠開始插入新的元素。

若是紅黑樹目前是一顆空樹，插入紅色的元素做爲第一個節點，而後該節點變成黑色。若是不是一顆空樹，插入元素分爲三種狀況：向2-節點插入新元素、向3-節點插入新元素和向4-節點插入新元素。

向2-節點插入新元素

向2-節點插入新元素很簡單，若是新元素的值小於父節點，直接插入紅色的節點便可；若是新元素的值大於父節點，則產生一個紅色右連接，插完以後則將3-節點進行左旋轉，將右連接變成左連接，被紅連接指向的節點變成紅色，被黑連接指向的節點變成黑色。

圖：向2-節點插入新元素

向3-節點插入新元素

由於前面的3-節點進行過旋轉，此時的3-節點確定知足左傾紅黑樹的性質。向3-節點插入新元素分爲三種狀況：

1）新元素的值位於3-節點中的兩元素之間；

2）新元素的值小於3-節點中的最小元素；

3）新元素的值大於3-節點中的最大元素。

圖：向3-節點插入新元素

##### 向4-節點插入新元素

向4-節點插入新元素以前須要先進行顏色轉換，才能夠進行插入新的元素。

圖：向4-節點插入新元素

插完新元素以後須要知足紅黑樹的性質，則在沿着父節點的連接向上進行變換，具體作法和向3-節點插入新元素的作法相似，經過左旋轉將3-節點左傾和左右旋轉將4-節點配平，沒有顏色轉換。

動畫：2-3-4樹與紅黑樹的插入

Code：紅黑樹插入算法

紅黑樹刪除算法

紅黑樹刪除算法也須要進行旋轉和顏色轉換操做，在插入算法中爲了待插入元素所在的節點不是4-節點，因此在沿着左右連接向下進行變換時將4-節點分解成3個2-節點，中間的2-節點與父節點合併；而在刪除算法中爲了待刪除元素所在的節點不是2-節點，因此在沿着左右連接向下進行變換時將2-節點向其它不是2-節點的節點（兄弟節點或父節點）借一個元素過來，合併成3-節點。

因此，只要是2-節點的節點，若是兄弟節點不是2-節點，就將兄弟節點的與父節點鄰近的元素移到父節點，而父節點將與當前節點鄰近的元素移到當前節點；若是兄弟節點是2-節點，則將父節點的與當前節點鄰近的元素移到當前節點。（是否是很繞？待會在後面刪除最值算法中詳細給出）

而後刪除完一個元素以後須要進行修復調整，將這個樹知足紅黑樹的性質。若是右連接是紅色，將右連接經過左旋轉變成左連接；若是有連續的左連接，經過右旋轉配平，而後進行顏色轉換。

Code：向上變換（修復調整）

刪除最小元素

刪除最小元素算法和二分搜索樹同樣，一直遞歸它的左孩子，直到它的左孩子爲空才進行刪除這個最小元素。可是紅黑樹在遞歸的同時如何旋轉和顏色轉換是個問題。

刪除最小元素算法一直沿着左連接向下進行轉換，對照2-3-4樹，咱們能夠給出三種狀況，從根節點開始：

1）當前節點（父節點位置）的左子節點不是2-節點，直接進行下一個節點（左子節點）；

2）當前節點的左子節點和右子節點都是2-節點，則將左子節點、當前節點的最小元素和右子節點合併成4-節點，而後進行下一個節點；

3）當前節點的左子節點是2-節點，右子節點不是2-節點，則將右子節點的最小元素移到當前節點的位置，當前節點的最小元素移到左子節點，而後進行下一個節點。

圖：沿着左連接向下進行轉換

Code：沿着左連接向下變換

直到某元素左孩子爲空的時候，此時的元素是這個樹的最小元素。由於經過前面的轉換，最小元素確定被一個紅連接指向，刪除這個元素以後經過balance方法修復調整爲紅黑樹。

Code：刪除最小元素算法

刪除最大元素

刪除最大元素算法和刪除最小元素算法相似的，也分爲三種狀況：

1）當前節點（父節點位置）的右子節點不是2-節點，直接進行下一個節點（右子節點）；

2）當前節點的右子節點和左子節點都是2-節點，則將右子節點、當前節點的最大元素和左子節點合併成4-節點，而後進行下一個節點；

3）當前節點的右子節點是2-節點，左子節點不是2-節點，則將左子節點的最大元素移到當前節點的位置，當前節點的最大元素移到左子節點，而後進行下一個節點。

圖：沿着右連接向下進行變換

Code：沿着右連接向下變換

Code：刪除最大元素算法

刪除任意元素

學習過前面的刪除最小元素算法和刪除最大元素算法，刪除任意元素會變得很簡單。刪除最小元素算法會一直沿着左連接向下進行變換，刪除最大元素算法會一直沿着右連接向下進行變換，而刪除任意元素算法須要同時存在着左右連接向下進行變換。

刪除任意元素算法須要先進行命中查找，在命中查找的過程當中會進行沿着左右連接向下變換，若是查找命中則將右子樹的最小元素替換掉待刪除元素，而後進行右子樹的刪除最小元素算法；若是查找未命中，則直接返回balance函數，向上將3-節點左傾或將4-節點配平。

Code：刪除任意元素算法

動畫：2-3-4樹與紅黑樹的刪除

學習完上面的算法以後，能夠總結下紅黑樹的性質：

1）每一個節點或是紅色的，或是黑色的；

2）根節點是黑色的；

3）每一個葉子節點（NIL）是黑色的；

4）若是一個節點是紅色的，則它的兩個子節點都是黑色的（NIL節點也是黑色的）；

5）對每一個結點，從該節點到其全部後代葉子節點的簡單路徑上，均包含相同數目的黑色節點（黑連接平衡）。

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