動畫 | 什麼是紅黑樹？（與2-3樹等價）

學習過2-3樹以後就知道應怎樣去理解紅黑樹了，若是直接看「算法導論」裏的紅黑樹的性質，是看不出因此然。咱們也看看一顆二分搜索樹知足紅黑的性質：

1.每一個節點或是紅色的，或是黑色的；

2.根節點是黑色的；

3.每一個葉子節點（NIL）是黑色的；

4.若是一個節點是紅色的，則它的兩個子節點都是黑色的；

5.對每一個節點，從該節點到其全部後代葉子節點的簡單路徑上，均包含相同數目的黑色節點。

若是說前面4個還算理解，那第5個性質又是怎麼去理解呢？此時咱們藉着2-3樹去理解基本的紅黑樹，固然我會在後幾篇文章介紹2-3-4樹以及基於2-3-4樹的紅黑樹。

拋開上面二分搜索樹知足紅黑的性質，咱們知道2-3樹不是二叉樹，咱們把它轉換成一顆二叉樹，2-節點很好轉，3-節點轉二叉卻有兩種，以下圖：

紅黑是指被指向節點的連接顏色，對於一顆2-3樹，由於3-節點的存在有不少不一樣的二叉樹的表示，因此咱們只考慮左傾的狀況。

左傾紅黑樹和2-3樹等價的定義

紅黑樹的定義是含有紅黑連接並知足下列條件的二分搜索樹：

1.紅連接均爲左鏈接；

2.沒有任何一個節點同時和兩條紅連接相連；

3.該樹是完美黑色平衡的，即任意空連接到根節點的路徑上的黑連接數量相同（和2-3樹等價的，任意節點到其葉子節點的高度都是相同的）。

由於2-3樹不存在永久的4-節點，4-節點終歸要分解的（在2-3-4樹中，爲了更好地插入和刪除，4-節點只存在於葉子節點，非葉子節點和2-3樹同樣的），因此在2-3樹中沒有任何一個節點能同時和兩條紅連接相連。對於第3條，2-3樹自己是絕對平衡的，將3-節點轉成二叉只增長了左紅連接，其餘黑連接沒有什麼變化，依然是黑色平衡的。

查找元素

查找命中和二分搜索樹同樣，從根節點開始，若是查找命中則返回，不然比它小的進行左遞歸查找，比它大的進行右遞歸查找，直到查找爲空。

寫插入元素和刪除元素以前，仍是要先介紹一下旋轉和顏色轉換。

旋轉

在插入或者刪除操做中可能會出現右傾或者兩條連續的紅連接，在向上變換的過程當中（恢復）都要調整爲左傾。

假設有一條紅色的右連接須要轉爲左連接，以下圖所示：

這個操做叫作左旋轉，右連接變成左連接，意味着被紅連接指向的節點會變成紅色，根節點默認是黑色。

右旋轉也同樣，不過在左傾紅黑樹中，只有出現兩條連續紅色的左鏈接纔會進行右旋轉，以下圖：

Code：左旋轉和右旋轉

顏色轉換

顏色轉換是用在臨時4-節點上的，無論是向下變換仍是向上變換。

Code：顏色轉換

插入元素

插入元素也須要先進行查找命中，查找未命中則在此節點（NIL）插入一個元素，是在紅黑樹底下插入一個紅色節點，插入元素默認是紅色節點。

若是紅黑樹目前是一顆空樹，能夠直接存儲一個元素做爲節點，而後該節點變成黑色。若是不是一顆空樹，插入元素分兩種狀況：向2-節點插入新元素和向3-節點插入新元素。

向2-節點插入新元素有兩種狀況

向2-節點插入新元素很簡單，若是新元素小於父節點的元素，直接插入紅色的節點便可；若是新元素大於父節點的元素，則產生一個紅色右連接，插完以後進行向上變換，在向上變換的過程當中（修復紅黑樹的性質）須要進行左旋轉，將右連接變成左連接，知足左傾紅黑樹的性質。

向3-節點插入新元素有三種狀況

1.新元素小於3-節點最小值

2.新元素位於3-節點最小值和最大值之間

3.新元素大於3-節點最大值

插入元素只有向上變換的過程，目的是爲了知足紅黑性質。

動畫：插入節點

算法動畫地址：B站

Code：插入元素

刪除元素

刪除元素既有向下變換也有向上變換：向下變換是爲了樹底下有一個被紅連接指向的節點能夠被刪除，不影響黑色平衡；向上變換是爲了修復基於2-3樹的左傾紅黑樹。

Code：向上變換（修復調整）

刪除元素有4個原則：

1.刪除元素的當前節點不能是2-節點；

2.向下變換不爲2-節點；

3.從樹底部刪除節點；

4.向上變換，消除右傾和4-節點。

刪除元素藉鑑了以前學的二分搜索樹刪除元素的思想，二分搜索樹刪除元素分爲刪除最小元素、刪除最大元素和刪除任意元素三種狀況：刪除最小元素是一直遞歸它的左孩子，直到左孩子爲空才進行刪除；刪除最大的元素則相反；若是是刪除任意的元素須要進行命中查找，找到了就取右子樹的最小值替換掉待刪除元素，而後進行右子樹的刪除最小元素。

紅黑樹刪除元素也是同樣的，不過是多了向下變換和向上變換的過程。由於是左傾紅黑樹，刪除最小元素是最合適的。

刪除最小元素

「算法4」裏的紅黑樹介紹了刪除最小鍵這一小節，雖沒有很詳細地介紹，但給出了沿着左連接向下變換的三種狀況：

1.若是當前節點（父節點位置）的左子節點不是2-節點，完成；

2.若是當前節點（父節點位置）的左子節點是2-節點而左子節點的兄弟節點不是2-節點，則左子節點借它的兄弟節點的一個鍵過來；

3.若是當前節點（父節點位置）的左子節點和左子節點的兄弟節點都是2-節點，將左子節點、當前節點和左子節點的兄弟節點合併成一個臨時的4-節點，使當前節點由3-節點變成2-節點或則4-節點變成3-節點。

Code：moveRedLeft

刪除最大節點思路也是同樣的，不過這是左傾紅黑樹，對刪除最大節點益處不大，甚至向下轉換的時候左傾調整爲右傾，向上轉換balance還要將右傾調整爲左傾。

動畫：刪除最小元素

算法動畫地址：B站

Code：刪除最小元素

刪除任意元素

在前面學習了刪除最小節點，刪除任意節點天然就很簡單了。咱們若是要刪除一個節點，首先進行命中查找，查找到這個待刪除元素，將右子樹的最小值替換掉這個待刪除元素，指向待刪除節點的連接顏色不能被改變。而後進行右子樹的刪除最小元素。

在命中查找過程當中，須要沿着左連接或沿着右連接進行向下轉換。前面刪除最小元素就是沿着左連接向下轉換的。

沿着右連接向下轉換也分三種狀況：

1.若是當前節點（父節點位置）的右子節點不是2-節點，將左傾轉換成右傾；

2.若是當前節點（父節點位置）的右子節點是2-節點而右子節點的兄弟節點不是2-節點，則右子節點借它的兄弟節點的一個鍵過來；

3.若是當前節點（父節點位置）的右子節點和右子節點的兄弟節點都是2-節點，將右子節點、當前節點和右子節點的兄弟節點合併成一個臨時的4-節點，使當前節點由3-節點變成2-節點或則4-節點變成3-節點。

Code：moveRedRight

Code：刪除任意元素

動畫：刪除任意元素

算法動畫地址：B站

閱讀原文可查看算法4裏的RedBlackTree.java源碼

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