PBR Step by Step（一）立體角

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本系列從零起步，做爲學習筆記與你們分享，從基礎的數學和圖形理論，一步一步實現基於物理的渲染。

Reference：《PBRT》、《Ray Tracing from the Ground Up》

 

因爲光源是三維空間中的輻射光能，對於其傳播範圍一般使用立體角來描述，先來看一下什麼是立體角。

立體角Solid Angles

立體角表示一個錐面所圍成的空間部分，用符號\(\omega \)表示。

立體角是以圓錐體的頂點爲心，半徑爲r的球面被錐面所截得的面積來度量的，度量單位爲「球面度」（steradian，符號∶sr）。球面度表示爲三維弧度。

 

在球座標系中，球面的極小面積\({dA}_{2}\)爲：

\({dA}_{2}=({r}\,\sin\theta\, {d}\varphi )({r\,d\theta })={r}^{2}(\sin\theta\,{d\theta }\,{d}\varphi)\)

整個球面面積爲\({dA}\)的積分： 

\({A}=\int {dA}_{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}({r}\,\sin\theta\, {d}\varphi*{r\,d\theta })={r}^{2}\int_{0}^{2\pi}{d}\varphi\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,{d}\theta\)

極小立體角定義爲球面面積與球半徑平方的比值，即：

\({d\omega} = \frac{dA}{{r}^{2}}=\sin\theta\,{d}\theta\,{d}\varphi\)

對上式積分：

\({\omega} = \int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{0}^{\pi } \sin \theta\, {d\theta }={4\pi }\)

可知，最大立體角就是單位球體的表面積。

半球積分

半球積分方程表示爲：\({I} = \int_{\omega}{f(\theta, \phi)\cos \theta \, d\omega}\)

其中，\({(\theta, \phi)} \in {[0, \frac{\pi}{2}] [0, 2\pi]}\)，\({\omega \in [0, 2\pi]}\)，\(\cos\theta \, d\omega\)表示立體角在水平面\({(x, y)}\)上的投影，又稱爲投影立體角。

當函數\({f(\theta, \phi)} = \cos^{n-1} \theta \)時，

\({I} = \int_{2\pi} \cos^{n} \theta \, {d\omega}\)

\(= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{n}\theta \sin\theta \, d\phi}\)

\(= \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{2\pi} {\cos^{n}\theta \sin\theta \, d\theta} \)

\(= {2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}\theta \, \sin\theta \, d\theta}\)

\(= {2\pi \left[\frac{{\cos\theta}^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}} = \frac{2\pi}{n+1}\)

最終得出當\({f(\theta, \phi)} = \cos^{n-1} \theta \)時，半球積分爲：\({I} = \frac{2\pi}{n+1}\)