SGU 422 Fast Typing（機率DP）

 

題目大意

 

某人在打字機上打一個字符串，給出了他打每一個字符出錯的機率 q[i]。 打一個字符須要單位1的時間，刪除一個字符也須要單位1的時間。在任意時刻，他能夠花 t 的時間檢查整個打出來的字符串，而且從當前光標刪除到第一個出錯的位置（留下的字符串要麼爲空，要麼每一個字符都是對的）。問你，他正確的打完該字符串最少須要花費的時間的指望值是多少

字符串的長度小於等於3000

題意有點繞，具體能夠看看原題是怎麼描述的

 

作法分析

 

首先肯定這是一個機率DP的問題。

定義狀態 f[i] 表示正確的打完前 i 個字符之後，最少還須要多少時間正確的打完全部字符

能夠這樣轉移：日後連續打 j 個字符以後再來花時間檢查字符串，而且刪除，具體的轉移方程就是這樣的：

        對於一個具體的 j ：

        令 g[i][j]= j+t

                    +q[i+1]*(f[i]+j)  // 在第 i+1 位出錯

                    +p[i+1]*q[i+2]*(f[i+1]+j-1)  // 在第 i+2 位出錯

                    +p[i+1]*p[i+2]*q[i+3]*(f[i+2]+j-2)  // 在第 i+3 位出錯

                    +......

                    +p[i+1]*p[i+2]*p[i+3]*...*q[i+j]*(f[i+j-1]+1)  // 在第 i+j 位出錯

                    +p[i+1]*p[i+2]*p[i+3]*...*p[i+j]*f[i+j]  // 連續打的 k 個字符所有正確

上式中，p[i] 表示第 i 個字符正確的機率，q[i] 表示第 i 個字符錯誤的機率，p[i]+q[i]=1

考慮到上式須要移項來解出 f[i] 的具體表達式，而移到等式右邊的始終是 q[i+1]*f[i]，不妨對 g[i][j] 稍做修改

        令 g[i][j]= j+t

                    +q[i+1]*j  // 在第 i+1 位出錯

                    +p[i+1]*q[i+2]*(f[i+1]+j-1)  // 在第 i+2 位出錯

                    +p[i+1]*p[i+2]*q[i+3]*(f[i+2]+j-2)  // 在第 i+3 位出錯

                    +......

                    +p[i+1]*p[i+2]*p[i+3]*...*q[i+j]*(f[i+j-1]+1)  // 在第 i+j 位出錯

                    +p[i+1]*p[i+2]*p[i+3]*...*p[i+j]*f[i+j]  // 連續打的 k 個字符所有正確

        那麼，咱們就有：f[i]=min{ g[i][j] }/(1-q[i+1])=min{ g[i][j] }/p[i+1]，1≤j≤n-i

        初始狀態：f[n]=0

        目標狀態：f[0]

雖然狀態轉移方程推出來了，可是不要急，注意數據範圍：n≤3000

按照上面的式子 DP 的話，這個作法是 n³ 的複雜度，還須要作一些優化

咱們觀察 g[i][j] 和 g[i][j+1] 的關係：

         g[i][1]=1+t+q[i+1]+p[i+1]*f[i+1]

        g[i][2]=2+t+q[i+1]*2+p[i+1]*q[i+2]*(f[i+1]+1)+p[i+1]*p[i+2]*f[i+2]

                 =g[i][1]+1+q[i+1]+p[i+1]*p[i+2]*f[i+2]+(p[i+1]*q[i+2]-p[i+1])*f[i+1]+p[i+1]*q[i+2]

                 =g[i][1]+1+q[i+1]+p[i+1]*q[i+2]+p[i+1]*p[i+2]*f[i+2]-p[i+1]*p[i+2]*f[i+1]

                 =g[i][1]+1+1-p[i+1]*p[i+2]+p[i+1]*p[i+2]*f[i+2]-p[i+1]*p[i+2]*f[i+1]

                 =g[i][1]+2+p[i+1]*p[i+2]*(f[i+2]-f[i+1]-1)

同理：g[i][3]=g[i][2]+2+p[i+1]*p[i+2]*p[i+3]*(f[i+3]-f[i+2]-1)

推到這裏，規律已經呼之欲出了。運用這個規律，即可以省去一個循環，把 n³ 變成 n² 

 

寫的那麼複雜，其實代碼就幾行...

很是好的一道題目，贊一個！

 

參考代碼

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N=3006;

int n, t;
double p[N], f[N];

int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &t)!=EOF)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%lf", &p[i]), p[i]=1-p[i];
        f[n]=0;
        for(int i=n-1; i>=0; i--)
        {
            double cur=t+1+(1-p[i+1])+p[i+1]*f[i+1];
            double temp=p[i+1];
            f[i]=cur;
            for(int j=2; i+j<=n; j++)
            {
                temp*=p[i+j];
                cur+=2-temp+temp*f[i+j]-temp*f[i+j-1];
                f[i]=min(f[i], cur);
            }
            f[i]/=p[i+1];
        }
        printf("%.8lf\n", f[0]);
    }
    return 0;
}

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題目鏈接 & AC通道

 

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