B-機率論-條件機率

目錄

• 條件機率
• 1、條件機率簡介
• 2、條件機率推廣

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條件機率

1、條件機率簡介

條件機率是指事件A在另一個事件B已經發生條件下的發生機率。條件機率表示爲：\(p(A|B)\)，讀做「在B的條件下A的機率」。若只有兩個事件A，B，那麼
\[ p(A|B) = {\frac{p(AB)}{p(B)}} \]
其中\(p(AB)\)表示\(A\)和\(B\)同時發生的機率，\(p(B)\)表示\(B\)發生的機率。

2、條件機率推廣

上述乘法公式可推廣到任意有窮多個事件時的狀況。
設\(A_1,A_2,\ldots,{A_n}\)爲任意\(n\)個事件\((n\geq2)\)且\(p(A_1A_2\ldots{A_n})>0\)，經過條件機率可得
\[ \begin{align} p(A_1A_2\ldots{A_n}) & = p(A_1A_2\ldots{A_{n-1}})p(A_n|A_1A_2\ldots{A_{n-1}})\\ & = p(A_1A_2\ldots{A_{n-2}})p(A_{n-1}|A_1A_2\ldots{A_{n-2}})p(A_n|A_1A_2\ldots{A_{n-1}}) \\ & \cdots \\ & = p(A_1)p(A_2|A_1)\cdots{p(A_n|A_1A_2\ldots{A_{n-1}})} \end{align} \]