數學基礎系列(三)----第一中值定理、微積分基本定理、牛萊公式、泰勒公式

1、第一中值定理

若是函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，則在積分區間[a，b]上至少存在一個點$\xi $，使得$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a).(a\leqslant \xi \leqslant b)$

　　

2、微積分基本定理

積分上限函數：函數f(x)在區間[a，b]上連續，對於定積分$\int_{a}^{x}f(x)dx$每個取值的x都有一個對應的定積分值。記做：$\Phi (x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$

定理1：

　　

定理2（原函數存在定理）：

　　

3、牛頓—萊布尼茲公式

牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibniz formula），一般也被稱爲微積分基本公式，它揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯繫。

若是F(x)是連續函數f(x)在區間[a，b]上的一個原函數，則：$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

解釋：一個連續函數在區間[a，b]上的定積分等於它的任意一個原函數在區間[a，b]上的增量

幾何解釋：

　　

可得：$f(b)-f(a)=\sum dy$，因爲$dy={f}'(x)dx$，因此 $f(b)-f(a)=\sum f'(x)dx=\int_{a}^{b}f'(x)dx$

例題：求解$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(2\cos x+\sin x-1)dx$

　　

定理3（微積分基本公式）：

　　

有$f(x)\in C[a,b]$，且$F'(x)=f(x)$

　　

例題：計算由曲線y²=2x和直線y=x-4所圍成的圖形的面積

　　

 　　

4、泰勒公式

簡單來說就是用一個多項式函數去無限逼近一個給定的函數(即儘可能使多項式函數圖像擬合給定的函數圖像，如sin x，cos x等函數值的近似計算)，注意，逼近的時候必定是從函數圖像上的某個點展開。若是一個很是複雜函數，想求其某點的值，直接求沒法實現，這時候能夠使用泰勒公式去近似的求該值，這是泰勒公式的應用之一。泰勒公式在機器學習中主要應用於梯度迭代。

首先回憶微分 

若$f'(x_{0})$存在，在$x_{0}$附近有$f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\approx f'(x_{0})\Delta x$。

因爲$\Delta x=x-x_{0}$，能夠獲得$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})$，

近似可得$f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$。

接着再來引出泰勒公式，若是說咱們想要以直線來近似的代替一個曲線，以下圖所示

　　

只用一階導數看起來有點不許呀，如上圖所示，能不能在利用一些呢？答案確定是能夠的，一階導數只幫咱們定位了下一個點是上升仍是降低，而後對以後的趨勢就很難把控了。

　　

那如何定位的更準確一些呢？若是咱們再把二階導數利用上呢？

　　

咱們能夠發現，這樣的方式存在精確度不夠高，偏差不能估計等不足之處。因此，主要的問題就是尋找函數P(x)，使得f(x)≈P(x)，從而使得偏差R(x)=f(x)-P(x)可估計。

　　

分析：若是說要f(x)≈P(x)，且近似程度要好，P_n(x)應該知足什麼條件？

　　

由上圖就能夠引出泰勒公式了

　　

$P_{n}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$稱爲f(x)在點x₀關於(x-x₀)的n階泰勒多項式，這個式子只能說是獲得的值可以無限的逼近真正的函數值，可是其中還存在一個偏差項R(x)，也就是說f(x)=R(x)+P(x)，這裏的偏差項稱爲餘項。對於通常的機器學習、深度學習來講，餘項自己也用不上在加上其比較複雜，因此在這裏就不做解釋了。

5、泰勒公式詳細解釋

多項式逼近以下圖所示

　　

公式裏面的階數是什麼意思呢？

階數越高增加速度越快。觀察可發現，越高次項在越偏右側影響越大。對於一個複雜函數，給咱們的感受是在當前點，低階項能更好的描述當前點附近，對於以後的走勢就愈來愈依靠高階的了。

　　

公式裏面的階乘是什麼意思呢？

若是把9次的和2次的直接放在一塊兒，那2次的就直接不用玩了呀，它們之間的差距太大了。可是在開始的時候應該是2次的效果更好，以後纔是慢慢輪到9次的。

　　

 有了階乘(!)以後，就幫助咱們解決了這樣的問題

　　

以下圖所示，使用不一樣階的多項式函數來逼近$y=\sin x$函數

　　

能夠看到，階數越高的函數越能擬合$y=\sin x$函數。