博弈論進階之Multi-SG

時間 2019-11-06

標籤博弈論進階 multi 简体版

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Multi-Nim

從最簡單的Nim模型開始html

它的定義是這樣的spa

有\(n\)堆石子，兩我的能夠從任意一堆石子中拿任意多個石子(不能不拿)或把一堆數量很多於\(2\)石子分爲兩堆不爲空的石子，無法拿的人失敗。問誰會勝利code

這個問題的本質仍是Nim遊戲，能夠利用SG定理來解釋htm

經過觀察不難不發現，操做一與普通的Nim遊戲等價blog

操做二其實是將一個遊戲分解爲兩個遊戲，根據SG定理，咱們能夠經過異或運算把兩個遊戲鏈接到一塊兒，做爲一個後繼狀態遊戲

煮個栗子get

SG(3)的後繼狀態有\(\{ (0),(1),(2),(1,2) \}\)他們的SG值分別爲\(\{ 0,1,2,3 \}\)，所以\(SG(3)=mex\{ 0,1,2,3 \}=4\)class

另外這種遊戲還有一個很是神奇的性質方法

\[SG\left( x\right) =\begin{cases}x-1\left( x\mod4=0\right) \\ x\left( x\mod4=1 \lor 2\right) \\ x+1\left( x\mod4=3\right) \end{cases}\]im

而後把這個結論背過就好啦233

根據上面的遊戲，咱們定義Multi-SG遊戲

注意在這裏要分清楚後繼與多個單一遊戲

對於一個狀態來講，不一樣的劃分方法會產生多個不一樣的後繼，而在一個後繼中可能含有多個獨立的遊戲

一個後繼狀態的SG值即爲後繼狀態中獨立遊戲的異或和

該狀態的SG值即爲後繼狀態的SG值中未出現過的最小值

難度跨度好大啊QWQ。。

直接放題解吧

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