最大公約數算法解析

給定兩個正整數，求其最大公約數，相信這是每個寫代碼的同窗絕壁碰見過的練習，固然解法也很是多，下面先給出一個沒有通過任何算法處理的程序： public static int getResult(int a,int b){

int max = (a>b)?a:b;
    int result=0;
    for(int i = 1;i < max;i++){
        if(a%i == 0 && b%i == 0){
            result=i;
        }
    }
    return result;
}

這樣固然是能夠解出來的，可是要循環遍歷其中較大的正整數，若是兩個數量都很是大的話，效率是很是低的，每當遇到效率低下的程序，咱們必然會想到優化，算法優化老是很靠譜的一種方法。下面就列出幾種添加算法的方法來解決最大公約數的問題。

解法一： 展轉相除法，假設求正整數 num1,num2 的最大公約數，假設f(x,y)爲二者的最大公約數,取 k = x / y (取整)，b = x % y (取餘)；則 x = k y + b ;那麼能同時被x ，y整除的數必然也同時能被 b , y 整除，能被b ， y整除的數也能同時被x，y整除，也就是說，x，y的最大公約數就是b，y的最大公約數，則有 f (x , y) = f(y , x%y) (x>=y>0),這樣遞歸運算，好比 f(42,30) = f(30,12) = f(12 , 6) = f(6,0) = 6; 這樣將運算次數直接下降了不少。下面附上代碼： private static int gcd(int x, int y) { int result = ((y == 0) ? x : gcd(y, x % y)); return result; }

解法二： 解法一雖然很好的解決了求公約數的問題，可是算法中包含有除法，在計算機中除法的開銷是很大的，能不能不用除法呢。能夠這樣考慮，一個數能被x , y整出，必然也能被x-y，y整出，也就是一個數被x，y整出是這個數被x-y，y整出的充分必要條件。那麼f(x, y) = f(x-y , y);這樣計算的話，就能夠把大整數之間的取模運算轉換爲大整數之間的減法運算。因爲f（x，y）= f（y，x），爲了不求出一個正數和一個負數的最大公約數，要靈活運用f（x，y）= f（y，x）,迭代進行，直到一方爲0；好比： f(42,30) = f(30,12) = f(18 , 12)= f(12 , 6) = f(6,6)= f(6 , 0) = 6;這樣運算跟上面的方法比起來，優化了大數據取模的問題，可是運算次數會增大，代碼以下： private static int gcd(int x, int y) { if (y == 0) { return x; } if (x < y) { return gcd(y, x); } else { return gcd(x - y, y); } }

解法三： 解法一的不足之處在於複雜的大數據除法運算，解法二雖然幹掉了大數據的除法運算，可是增長了操做次數。兩種方法都不是很是的完美，那麼咱們就用第三種方法來解決，第三種方法使用的二進制方案，估計不少同窗看到01100100就要放棄了，千萬不要，其實這東西不難。 對於x，y來講，有x=k * x1,y = k * y1 ,則f(x ,y) = f(k * x1,k * y1) = k * f(x1 ,y1);此爲一。 另外，若是 x = p * x1,且p爲素數，y%p != 0,則f（x ，y）= f(p * x1, y) = f(x1 ,y);此爲二。

由一和二兩個公式，咱們能夠計算公約數了： 設p=2： 假設x，y都是偶數：f（x，y）= 2f(x>>1,y>>1); 假設x是偶數，y是奇數：f(x,y) = f(x>>1,y); 假設x是奇數，y是偶數：f(x,y) = f(x,y>>1); 假設x，y都是奇數：f(x,y) = f(y,x-y);---這是根據解法二中推出來的 下面還以42 和 30 爲例： f(42,30) = f(101010,11110) = 2f(10101,1111) = 2f(1111,110)=2 * f(1111,11) = 2 f (1100,11) = 2f(110,11)=2 f(11,11) = 2* f(0,11) = 2* 3=6 括號中均爲二進制表達，這樣最壞的狀況下，複雜度也就是log 2(max(x,y));----2是底數，尼瑪，這格式弄不出來。

下面附上代碼： private static int gcd(int x, int y) { if (x < y) { return gcd(y, x); } if (y == 0) { return x; } if (isEven(x)) { if (isEven(y)) { // x，y都爲偶數，f(x,y)=2f(x/2,y/2) return gcd(x >> 1, y >> 1) << 1; } else { // x偶數,y奇數，f(x,y)=f(x/2,y) return gcd(x >> 1, y); } } else { if (isEven(y)) { // x奇數，y偶數，f(x,y)=2f(x,y/2) return gcd(x, y >> 1); } else { // x，y都爲奇數，f(x,y)=f(x-y,y) return gcd(x - y, y); } } }

public static boolean isEven(int x) {
    return (x % 2 == 0) ? true : false;
}

之前根本沒有想過這麼些玩意，第一次看算法，頓時感受高大上啊，不過的確，看到這樣解決之前經常使用來解決的公約數問題，的確眼前一亮啊，但願你們多多給意見哦~