算法：最大公約數的求解方法

一 寫在開頭
1.1 本節內容
本節主要內容爲幾種常見的兩個數的最大公約數（Greatest Common Divisor）的求法。

二 展轉相除法
2.1 展轉相除法原理
展轉相除法也叫歐幾里得算法，是一種很是古老的求解兩個數的最大公約數的算法。其基於的原理：兩個正整數a和b（a > b），它們的最大公約數gcd等於a除以b的餘數r和b之間的最大公約數。好比，10和25的最大公約數5等於25除以10的餘數5和10的最大公約數；再好比51和21的最大公約數3等於51除以21的餘數9和21的最大公約數，而9和21的最大公約數爲3。根據上面的原理，展轉相除法的算法流程能夠如下：
步驟1：計算a與b的餘數r。
步驟2：若是r爲0，則返回gcd = b。不然，轉到步驟3。
步驟3：使用b的值更新a的值，使用餘數r更新b的值，轉到步驟1。

2.2 展轉相除法的C語言實現

1 long GetGCD(long a, long b)
2 {
3     return (a % b == 0) ? b : GetGCD(b, a%b);
4 }

等等，爲何不對a和b的大小進行判斷呢？上面的算法原理中不是要求a大於b嗎？若是調用時a值大於b值，好比a爲51，b爲21，那麼狀況跟上述算法原理是相符的。若是調用時a值小於b值，好比a爲21，b爲51，那麼，21除以51的餘數r爲21，不爲0，因而接着調用GetGCD(51, 21)，看到了沒？這就和a > b的狀況是同樣的了。也就是說咱們根本無需判斷a和b的大小，當a值小於b值時，算法的下一次遞歸調用就可以將a和b的值交換過來。

2.3 展轉相除法的缺點
展轉相除法實現時由於使用了求餘運算的緣故致使其在面對大整數的時候性能不夠理想。咱們應儘可能避免使用求餘運算。接下來介紹另外一種最大公約數求解法。

三 更相減損術
3.1 更相減損術原理
更相減損術出自《九章算術》，其原理很簡單：兩個正整數a和b（a > b），它們的最大公約數等於a-b的差值c和較小數b的最大公約數。依次遞歸下去，直到兩個數相等。這相等兩個數的值就是所求最大公約數。

3.2 更相減損術的C語言實現

1 long GetGCD(long a, long b)
2 {
3     if (a == b)
4         return a;
5     else if (a > b)
6         return GetGCD(a-b, b);
7     else
8         return GetGCD(b-a, a);
9 }

3.3 更相減損術的缺點
更相減損術雖然避免了求餘運算，但當兩個數a和b相差太過懸殊時，遞歸的次數會很是多，嚴重影響算法性能。好比當a爲100000，b爲1時，算法要遞歸99999次。

四 終極版本
通常狀況下，以上兩個版本徹底夠用。若是追求最佳算法性能的終極版本，那就去看《編程之美》第2.7節吧。

五 參考資料
1. 《編程之美》