瞭解紅黑樹的起源，理解紅黑樹的本質

前言

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你好，我是彤哥。

前面兩節，咱們一塊兒學習了關於跳錶的理論知識，並手寫了兩種徹底不一樣的實現，咱們放一張圖來簡單地回顧一下：

實現跳錶的關鍵之處是在有序鏈表的基礎上加上各層索引，經過這些索引能夠作到O(log n)的時間複雜度快速地插入、刪除、查找元素。

提及跳錶，咱們就不得不提另外一種很是經典的數據結構——紅黑樹，紅黑樹相對於跳錶來講，雖然時間複雜度都是O(log n)，可是紅黑樹的使用場景相對更普遍一些，在早期的Linux內核中就一直存在紅黑樹的實現，也運用在了更高效的多路複用器Epoll中。

因此，紅黑樹是每個程序員不得不會的知識點，甚至有些變態的面試官，還會讓你手寫紅黑樹的一部分實現，好比左旋、右旋、插入平衡的過程、刪除平衡的過程，這些內容很是複雜，靠死記硬背每每很難完全掌握。

彤哥也是一直在尋找一種紅黑樹的記憶法，總算讓我找到了那麼一種還算不錯的方式，從紅黑樹的起源出發，理解紅黑樹的本質，再從本質出發，完全掌握不用死記硬背的方法，最後再把它手寫出來。

從本節開始，我也將把這種方法傳遞給你，所以，紅黑樹的部分，我會分紅三個小節來說解：

• 從紅黑樹的起源，到紅黑樹的本質
• 從紅黑樹的本質，找到不用死記硬背的方法
• 不靠死記硬背，手寫紅黑樹

好了，下面咱們就進入第一小節。

紅黑樹的起源

二叉樹

提及樹，咱們不得不說最有名的樹，那就是二叉樹，什麼是二叉樹呢？

二叉樹（binary tree），是指樹中的每一個節點最多隻有兩個子節點的樹。

固然，二叉樹自己彷佛沒什麼用，咱們平時說的二叉樹基本上都是指二叉查找樹，或者叫有序二叉樹、二叉搜索樹、二叉排序樹。

二叉查找樹

二叉查找樹（BST，binary search tree），就是在二叉樹的基礎上增長有序性，這個有序性通常是指天然順序，有了有序性，咱們就可使用二叉樹來快速的查找、刪除、插入元素了。

好比，上面這顆二叉查找樹，查找元素的平均時間複雜度爲O(log n)。

可是，二叉查找樹有個很是嚴重的問題，試想，仍是這三個元素，若是按照A、B、C的順序插入元素會怎樣？

這是啥？單鏈表？沒錯，當按照元素的天然順序插入元素的時候，二叉查找樹就退化成單鏈表了，單鏈表的插入、刪除、查找元素的時間複雜度是多少？O(n)。

因此，在極限狀況下，二叉查找樹的時間複雜度是很是差的。

既然，插入元素後有可能致使二叉查找樹的性能變差，那麼，咱們是否能夠增長一些手段，讓插入元素後的二叉查找樹依然性能良好呢？

答案是確定的，這種手段就叫作平衡，這種能夠自平衡的樹就叫作平衡樹。

平衡樹

平衡樹（self-balancing or height-balanced binary search tree），是指插入、刪除元素後能夠自平衡的二叉查找樹，使得它的時間複雜度能夠一直漸近於O(log n)。

好比，上面那顆樹，按A、B、C插入元素後，作一次旋轉操做，就能夠再次變成查找時間複雜度爲O(log n)的樹。

可是，平衡樹一直只是一個概念，直到1962年才由兩個蘇聯人發明了第一種平衡樹——AVL樹。

嚴格來講，平衡樹是指能夠自平衡的二叉查找樹，三個關鍵詞：自平衡、二叉、查找（有序）。

AVL樹

AVL樹（由發明者Adelson-Velsky 和 Landis 的首字母縮寫命名），是指任意節點的兩個子樹的高度差不超過1的平衡樹。

好比，上面這顆樹，就是一顆AVL樹，不信你能夠數數看，是否是每一個節點的兩個子樹的高度差都不超過1。

是否是很難發現它真的是一顆AVL樹，沒錯，這是AVL樹的第一個缺點，不夠直觀，特別是節點個數多的時候。

第二個缺點，就是插入、刪除元素的時候自平衡的過程很是複雜，好比，上面這顆樹插入一個節點T：

咱們從T往上找，它的父節點U，U的兩顆子樹的高度差爲1，知足AVL樹的規則，再往上，S的兩顆子樹的高度差爲1，也知足規則，再往上，V的兩顆子樹的高度差爲2，不知足規則，此時，須要一個自平衡的過程，該如何自平衡呢？

我下面給出圖示，你能夠試着理解一下：

紅色節點表示旋轉的軸。

通過兩次旋轉，讓這顆樹再次變成了AVL樹，並且這只是其中一種插入場景，真實的狀況還要根據插入的位置的不一樣作不一樣的旋轉，你能夠多插入幾個節點本身嘗試平衡一下。

一樣地，AVL樹的代碼也不是那麼好實現的，反正，到目前爲止，彤哥是沒搞懂AVL樹的各類規則。

基於這些缺點，因此，後來又發展出來了各類各樣的神奇的平衡樹。

2-3樹

2-3樹，是指每一個具備子節點的節點（內部節點，internal node）要麼有兩個子節點和一個數據元素，要麼有三個子節點和兩個數據元素的自平衡的樹，它的全部葉子節點都具備相同的高度。

簡單點講，2-3樹的非葉子節點都具備兩個分叉或者三個分叉，因此，稱做2叉-3叉樹更容易理解。

另一種說法，具備兩個子節點和一個數據元素的節點又稱做2節點，具備三個子節點和兩個數據元素的節點又稱做3節點，因此，整顆樹叫作2-3樹。

2-3樹，插入元素後自平衡的過程相對於AVL樹就要簡單得多了，好比，上面這顆樹，再插入一個元素K，它會先找到I J這個節點，插入元素K，造成臨時節點I J K，不符合2-3樹的規則，因此分裂，J往上移，F H這個節點變成了F H J了，也不符合2-3樹的規則，繼續上移H，根節點變爲D H，同時，上移的過程當中，子節點也要相應的分裂，過程大體以下：

畫圖辛苦了，關注一波：彤哥讀源碼。

能夠看到，上面自平衡的過程當中，出現了一種節點，它具備四個子節點和三個數據元素，這個節點能夠稱做4節點，若是把4節點看成是能夠容許存在的，那麼，就出現了另外一種樹：2-3-4樹。

2-3-4樹

2-3-4樹，它的每一個非葉子節點，要麼是2節點，要麼是3節點，要麼是4節點，且能夠自平衡，因此稱做2-3-4樹。

2節點、3節點、4節點的定義在上面已經說起，咱們再重申一下：

2節點：包含兩個子節點和一個數據元素；

3節點：包含三個子節點和兩個數據元素；

4節點：包含四個子節點和三個數據元素；

固然，2-3-4樹插入元素的過程也很好理解，好比，上面這顆樹，插入元素M，找到K L這個節點，插入便可，造成4節點，知足規則，不須要自平衡：

再插入元素N呢？過程與2-3樹同樣，向上分裂便可，此時，中間節點有兩個，取任意一個上移都是能夠的，咱們這裏以左中節點上移爲例，大體過程以下：

是否是挺簡單的，至少比AVL樹那種左旋右旋簡單得多。

一樣地，在2-3-4樹自平衡的過程當中出現了臨時的5節點，因此，若是容許5節點的存在呢？

嗯，2-3-4-5樹由此誕生！

一樣地，還有2-3-4-5-6樹、2-3-4-5-6-7樹……子子孫孫，無窮盡也~

因此，有人就把這一類樹概括爲一個新的名字：B樹。

B樹

B樹，表示的是一類樹，它容許一個節點能夠有多於兩個子節點，同時，也是自平衡的，葉子節點的高度都是相同的。

因此，爲了更好地區分一顆B樹到底屬於哪一類樹，咱們給它一個新的屬性：度（Degree）。

具備度爲3的B樹，表示一個節點最多有三個子節點，也就是2-3樹的定義。

具備度爲4的B樹，表示一個節點最多有四個子節點，也就是2-3-4樹的定義。

B樹，一個節點能夠存儲多個元素，有利於緩存磁盤數據，總體的時間複雜度趨向於O(log n)，原理也比較簡單，因此，常常用於數據庫的索引，包括早期的mysql也是使用B樹來做爲索引的。

可是，B樹有個大缺陷，好比，我要按範圍查找元素，以上面的2-3-4樹爲例，查找大於B且小於K的全部元素，該怎麼實現呢？

很難，幾乎無解，因此，後面又出現替代B樹的方案：B+樹。

固然了，B+樹不是本節的重點，本節的重點是紅黑樹。

納尼，紅黑樹在哪裏？寫了3000多字了，還沒見到紅黑樹的影子，我尬了~

來了來了，有意思的紅黑樹來了~~

紅黑樹

先上一張圖，請仔細體會：

看明白了沒有？紅黑樹是啥？紅黑樹就是2-3-4樹！！！

OK，本節到此結束。

後記

本節，咱們一塊兒從二叉樹出發，一路通過二叉查找樹、平衡樹、AVL樹、2-3樹、2-3-4樹、B樹，最後終於得出了紅黑樹的本質，紅黑樹的本質就是一顆2-3-4樹，換了個皮膚而已。

那麼，爲何要再造一個紅黑樹呢？直接用2-3-4樹它不香麼？

咱們下一節解答，同時，下一節，咱們將從紅黑樹的本質出發，完全理解紅黑樹插入、刪除、查找、左旋、右旋的全過程，不再用死記硬背了，還不來關注我^^

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