從紅黑樹的本質出發，完全理解紅黑樹！

前言

早上好，我是彤哥。

上一節，咱們一塊兒從二叉樹、二叉查找樹、平衡樹、AVL樹、2-3樹、2-3-4樹、B樹，一路講到紅黑樹，最後得出紅黑樹的本質：紅黑樹就是2-3-4樹，請看下圖：

咱們知道2-3-4的插入、刪除、查找元素的原理是至關簡單的，那麼，咱們是否是能夠利用2-3-4樹來記憶紅黑樹呢？

答案是確定的，本節，咱們就來看看如何利用2-3-4樹來快速掌握紅黑樹，不再用死記硬背了~~

好了，讓咱們進入今天的學習吧。

再憶2-3-4樹

咱們給出一張圖簡單地回顧一下上一節關於2-3-4樹插入元素N的過程：

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左傾紅黑樹、右傾紅黑樹、AA樹

在正式講解紅黑樹以前呢，彤哥先來給你們普及幾個有意思的概念，分別是左傾紅黑樹、右傾紅黑樹、AA樹。

圖片過小？試試橫屏！

請看上圖，其實按照紅黑樹的概念，上面3顆樹都是紅黑樹，並且元素也是如出一轍，能夠說是同一顆紅黑樹的不一樣變種。

細心的同窗會發現①和②是同一顆2-3-4樹演化而來，③是這顆2-3-4樹縮小成2-3樹的樣子。

那麼，到底什麼是紅黑樹呢？

紅黑樹是每一個節點都帶有顏色屬性的二叉查找樹，顏色或紅色或黑色。

首先，紅黑樹是一顆二叉查找樹，另外，它還必須知足如下五點要求：

1. 節點是紅色或黑色；
2. 根節點是黑色；
3. 全部葉子節點是黑色；（葉子節點是NULL節點）
4. 每一個紅色節點的兩個子節點都是黑色；（從根節點到每一個葉子節點的路徑上不能有兩個連續的紅節點）
5. 從任何一個節點到每一個葉子節點的全部路徑都包含相同數目的黑色節點；

你們不用記這個概念哈，由於確實很難記得住哈，下面彤哥會教你們更簡單的方法。

因此，你看上面三個圖是否是都是紅黑樹呢？

並非啊，由於葉子節點有的是紅色的呀。

其實，它們都是紅黑樹，讓我把葉子節點補齊：

你再仔細看看，是否是知足上面五條規則了？！

因此，你看，隨便畫一顆樹，它均可能知足紅黑樹的定義，所以，爲了方便記憶，咱們將紅黑樹分紅這麼幾種類型：左傾紅黑樹、右傾紅黑樹、AA樹。

左傾紅黑樹（LLRB，Left-Learning Red-Black Tree），一個節點若是有紅色子節點，那麼，它的紅色子節點是向左傾斜的。

怎麼理解呢？

咱們仍是把上面的null節點幹掉哈，葉子節點都是null節點，那是經典紅黑樹的講法，到彤哥這裏，徹底不存在這種要求。

咱們來看，一個節點要麼有一個子節點，要麼有兩個子節點，對吧。

若是這個節點有紅色的子節點呢，也是一個或者兩個，若是隻有一個紅色子節點的話，那麼，這個子節點只能在左邊，若是是有兩個紅色子節點，那就不用管。

因此，整顆紅黑樹中，若是存在紅色節點，那麼只能是下面這兩種形態：

同理，右傾紅黑樹（RLRB，Right-Learning Red-Black Tree），也是同樣的道理，即紅色子節點向右傾斜，它的紅色子節點只能是下面這兩種形態：

好了，左傾和右傾紅黑樹都還算比較正常的形態，還有一種變態的紅黑樹，叫做AA樹（AA Tree）。

固然，這裏的AA不是吃飯的時候你們各付各的哈，這裏的AA是其做者的名字的縮寫：Arne Andersson。

AA樹，是指紅黑樹中全部的紅色子節點必須只能是右節點，左子節點一概不容許是紅色子節點，因此，在AA樹中，紅色子節點只能是下面這一種形態：

也能夠理解爲嚴重右傾主義（我這麼說會不會被約去喝茶^^）。

其實AA樹能夠看做2-3樹的右傾演化而來，而不是2-3-4樹，你能夠畫個圖體驗一下。

好了，上面就是左傾紅黑樹、右傾紅黑樹、AA樹的概念，固然，也有可能存在一種紅黑樹，好比紅色子節點只能是左子節點，是否是叫BB樹，咱也不知道，還有一種多是像下面這種紅黑樹：

上面這顆樹，它既有左邊的紅色子節點，也有右邊的紅色子節點，其實它也知足紅黑樹的定義，這種就只是普通（經典）的紅黑樹了。

既然紅黑樹有這麼多徹底不一樣的形態，咱們要如何快速的記住它們呢？

很難，真的很難，因此，咱們只須要記住一種形態就能夠了，好比左傾紅黑樹，其它的形態都是同樣的道理，徹底不用強形記憶。

所以，下面的內容，我將所有以左傾紅黑樹來說解，跟經典的紅黑樹講法會有點出入，且跟你之前看到的全部文章都不同，請不要糾結。

有趣的插入元素

首先，讓咱們約定一件事：插入的節點必須爲紅色，但若是是根節點，就把它塗成黑色。

有了這個約定以後，咱們使用一步一圖的方式來慢慢拆解紅黑樹（左傾，下同）插入元素的過程。

1. 插入第一個元素F

   第一個元素確定是根節點，直接塗成黑色：

2. 插入第二個元素

   這裏分兩種狀況：比F小，比F大。

   （1）假設插入的元素爲D，那麼，它比F小，因此會成爲F的左子節點：

   此時，D爲紅色左子節點，因此，不須要再平衡。

   （2）假設插入的元素爲K，那麼，它比F大，因此會成爲F的右子節點：

   此時，K爲紅色右子節點，不符合左傾紅黑樹的規則，因此，須要再平衡，那麼，要如何再平衡呢？

   讓咱們迴歸紅黑樹的本質——2-3-4樹，上面包含F和K兩個元素的紅黑樹換成2-3-4樹就變成了：

   再把這個2-3-4樹轉換成左傾紅黑樹就變成了：

   讓咱們畫一張對比圖來看看：

   因此，你看，結合2-3-4樹來理解紅黑樹是否是就特別簡單了，對於2-3-4樹就是一個普通的3節點，而對於紅黑樹至關於插入一個右子節點，再作一次左旋變色便可。

3. 插入第三個元素

   咱們以上述的F K兩個元素的紅黑樹爲例，在這個基礎上再增長一個元素，這裏可能有三種狀況，咱們一一來分析：

   （1）假設插入的元素爲D，它比F小，因此會成爲F的左子節點：

   此時，顯然不符合紅黑樹的定義了，因此，須要再平衡，那麼如何平衡呢？來，上圖：

   插入元素D，對於2-3-4樹就是造成一個4節點，而對於紅黑樹樹須要通過右旋再變色的過程。

   （2）假設插入的元素爲G，它比F大，比K小，因此會成爲F的右子節點：

   顯然，它也不符合紅黑樹的定義，因此，也須要再平衡：

   插入元素G，對於2-3-4樹，只是造成一個普通的4節點，而對於紅黑樹，須要先以F左旋，變成與狀況（1）相同的狀態，再以G右旋，而後變色，最終再平衡成紅黑樹。

   （3）假設插入的元素爲N，它比K大，因此會成爲K的右子節點：

   此時，正好符合紅黑樹的定義，不須要再平衡了，可是，咱們一樣畫一張圖對比看下：

   好了，經過上面的分析，連續插入三個元素，能夠看到，對於2-3-4，都是造成一個4節點，而對於紅黑樹，最終都變成了下面這個樣子：

   因此，咱們再插入第四個元素看看。

4. 插入第四個元素

   咱們以F K N這顆紅黑樹爲例，插入第四個元素，可能會出現四種狀況，也就是分別可能會成爲F和N的四個子節點的其中之一，簡單點，咱們直接上圖：

   （1）假設爲D，其爲F的左子節點

   （2）假設爲G，其爲F的右子節點

   （3）假設爲M，其爲N的左子節點

   （4）假設爲Q，其爲N的右子節點

   好了，插入四個元素的各類狀況到此結束，能夠看到，插入第四個元素時，對於2-3-4樹，會造成一個5節點，而後再分裂，而對於紅黑樹，要通過一系列的左旋、右旋、變色，最終轉變成跟2-3-4樹對應的形態，是否是很好玩兒^^

5. 插入第五個元素

   畫圖太累，交給你了~~

刪除元素

不論是2-3-4樹仍是左傾紅黑樹刪除元素的過程都要比插入元素複雜得多，咱們先來看2-3-4樹刪除元素的過程。

2-3-4樹刪除元素

爲了方便講解，我構造了一顆下圖所示的2-3-4樹：

對於2-3-4樹，刪除3節點或4節點的葉子節點是最簡單的，好比C D和P Q R這兩個葉子節點，刪除這兩個節點中的任意一個元素直接刪除便可，4節點刪除一個元素後變成3節點，3節點刪除一個元素以後變成2節點，並不影響原來樹的平衡性，好比，刪除C以後的結果以下：

可是，刪除2節點就不同了，好比，上圖刪除A、B、F、G、H、J、L、N這幾個節點，直接刪除以後樹就不平衡了，因此，須要想一些辦法來保證刪除L以後樹依然是平衡的，怎麼辦呢？

答案是——偷！

沒錯，就是偷，從別的地方偷元素過來，把這個空缺補上，就像咱們上班划水同樣，總要找一些東西把工時補上對不對。

那麼，怎麼個偷法呢？

整體來講，分紅兩大類，子節點從父節點偷，父節點從子節點偷，偷着偷着可能還要合併或者遷移元素。

咱們來分別看一下刪除A、B、F、G、H、J、L、N這幾個節點的過程是如何偷的，如下多圖，請慎重！

（1）刪除A

刪除A元素時，先從父節點偷個B過來，此時，B位置空缺了，原來B的位置再從其右子節點偷個C過來，搞定。

（2）刪除B

刪除B就很簡單了，直接從右子節點偷個C過來就搞定了。

（3）刪除F

刪除F的過程就比較複雜了，總之，始終圍繞着一個原則：子節點偷不到就偷父節點的，偷過來的元素以後記得可能會合並或者遷移元素。

合併的規則是要始終保證整顆樹的有序性，好比，上面從父節點偷了個I過來，它自己就比H大，因此，H必須放在I的左子節點，而左子節點原來已經有G了，因此，只能把它們倆合併了。

同理，遷移J元素的過程也是同樣的，J確定是要放在K的左邊，遷移到I的右子節點正好。

（4）刪除G

其實跟刪除F時從偷I開始是同樣的，就不贅述了。

（5）刪除H

與刪除F的過程如出一轍，再也不贅述。

（6）刪除J

刪除J時，從父節點先偷個K過來，此時父節點變成了3節點，因此，直接把M左邊的兩個元素合併便可。

（7）刪除L

刪除L的過程與刪除J的過程有點像，也是從父節點偷K過來，而後再把M左邊的兩個元素合併。

（8）刪除N

刪除N時，從父節點偷個O過來，父節點再從其右子節點偷個P過來，偷個屁，偷個屁呀~~

好了，到此爲止，2-3-4樹刪除元素的過程全解析完畢了，我這個示例中幾乎包含了全部的場景，請多畫圖仔細體會，雖然畫得想吐血了。

左傾紅黑樹刪除元素

注：紅黑樹的刪除稍微有點小複雜，若是強型跟2-3-4掛鉤會變得更復雜，因此，下面的內容不徹底跟2-3-4樹掛鉤。

首先，我想問一個問題：一顆二叉查找樹刪除元素以後如何還能保證它仍是二叉查找樹呢？

若是是葉子節點，刪了也就刪了，不影響，但若是是非葉子節點呢？好比，刪除M這個元素。

其實，有兩種方法：一種是找到M的前置節點並拿到M的位置，一種是找到M的後繼節點並拿到M的位置。

什麼是前置節點？什麼是後繼節點呢？好像二叉樹裏面只據說過父節點、子節點？

咱們知道二叉查找樹本質上是有序的，這個有序性指的是元素的天然順序（還有一種有序性是插入順序）。

因此，你把這顆二叉樹中的全部元素排個序（或者中序遍歷一下），在M前面的那個節點就是前置節點，在M後面的那個節點就是後繼節點。

還有一種更形象的方法，M這個節點左子樹中最大的元素就是M的前置節點，M節點右子樹中最小的元素就是M的後繼節點。

因此，刪除M後，把L或者N移到M的位置就能夠了，此時，就能保證二叉查找樹依然是二叉查找樹。

不過，你們好像都喜歡移後繼節點，即右子樹中最小的節點你若是看源碼的話，會看到一個單詞叫做successor，就是後繼節點的意思。

好了，關於二叉查找樹刪除元素咱們就講這麼多，仍是回到紅黑樹刪除元素的過程。

爲了方便講解，我構造了下面這麼一顆紅黑樹：

咱們先來看一種最簡單的狀況，若是刪除的是紅色的葉子節點，好比，上圖中的C、P、R這三個元素，若是它的父節點只有它這麼一個子節點，直接刪之，啥也不用管，好比C，若是它的父節點有兩個子節點，那麼會分紅兩種狀況，一種是刪除的右子節點，則直接刪，好比R，另外一種是刪除的左子節點，那就作一次簡單的左旋便可，好比P。

咱們這裏講的是左傾紅黑樹，若是是經典的紅黑樹，則刪除紅色葉子節點不須要旋轉。

OK，咱們再來看第二種狀況，若是刪除的是黑色的葉子節點呢？

咱們知道，黑色節點刪除以後，確定不符合紅黑樹定義了，因此，確定要進行再平衡的過程。

若是按照經典紅黑樹的說法，要看它的兄弟節點的顏色，有可能還要看它兄弟節點的子節點的顏色，狀況大概有三四種，根本不可能記得住，我這裏介紹一種更牛逼的方法，保證你看一遍就能記住。

咱們以刪除F節點爲例，我先給出圖示，下面再描述詳細步驟：

這種方法很是簡單，F是黑色節點沒錯，那就想辦法把它變成紅色節點，怎麼變呢？

那就得從它的上層節點動手，上層節點的紅色實際上是能夠向下傳遞的，傳遞以後，整顆樹其實仍是紅黑樹，並不會打破原來紅黑樹的平衡，直到F變成紅色的葉子節點，再一舉把它刪除，就很簡單了。

這種方法相比於經典紅黑樹的方法，理解起來就容易得多了。

咱們再舉個刪除L的例子，直接上圖：

好了，上面說的都是刪除葉子節點，那麼，若是刪除的是非葉子節點呢，好比刪除E。

根據二叉查找樹的特性，那麼，咱們會找到E的後繼節點F，而後，把它移到E的位置，可是，此時，不符合紅黑樹的定義了，因此，你能夠發現，其實，刪除E至關於間接地刪除F原來所在的節點位置，所以，又轉化成了上面的刪除葉子節點。

過程很簡單，最後的結果與刪除F的結果基本相同，只是原來E所在位置的元素變成了F，我就不畫圖了。

你能夠想一想刪除M的過程~

總算講完了，能看到這裏的同窗不容易，可能已經超出了一頓早餐的時間，我很抱歉！

後記

本節，咱們從紅黑樹的本質，即2-3-4樹出發，完全掌握了一種不用死記硬背的方法來理解紅黑樹，你Get到了嗎？歡迎留言評論。

有些同窗看到這裏，可能又說了：Talk is cheap, show me the code！

好，下一節，我就show you the code，敬請期待！

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