從2-3樹理解紅黑樹

提及紅黑樹就頭痛，在大學時就沒搞懂，看的暈暈乎乎，理解不了。直到前幾天在極客時間的《數據結構與算法之美》專欄中的《26 | 紅黑樹（下）：掌握這些技巧，你也能夠實現一個紅黑樹 》，再次看到講解紅黑樹插入刪除如何保持平衡，很惋惜，仍是沒看明白。但在留言區看到小夥伴推薦的紅黑樹是2-3樹的變形，以2-3樹的角度去理解紅黑樹就容易多了。因而，就跑去看了2-3樹相關的文章，發現理解起來是要簡單些。

2-3樹定義

通常咱們接觸最多的是二叉樹，也就是一個父節點最多有兩個子節點。2-3樹的意思就是說，一個父節點能夠有兩個子節點，也能夠有三個子節點，而且其也知足相似二叉搜索樹的定義（父節點的值大於左子樹，但小於右子樹），全部葉子節點都在同一層。

2節點：父節點存儲一個值，最多有左右兩個子樹。假設父節點爲p，子節點爲l(左節點)、r(有節點)，且知足：

l < p < r
複製代碼

如圖所示：

3節點：父節點存儲兩個值，最多有左中右三個子樹。假設父節點分別爲p1,p2，子節點分別爲l(左節點)、m(中間節點)、r(右節點)，且知足：

l < p1
p1 < m < p2
r > p2
複製代碼

如圖所示：

2-3樹的查找

跟BST的查找相似：

從根節點開始比較，若相等，則結束。若是小於根節點，則說明它應該在左邊，選定左節點進行比較；若是大於根節點，則說明在右邊，選定右節點進行比較，如不相等，則繼續循環。如到最後訪問到空節點，則說明沒找到。

只不過對於3節點的狀況，就須要判斷左中右子樹，原理同樣。

下面以這顆樹舉例說明，要查找的值存在和不存在的狀況。

值存在

查找5。

1. 對比根節點10。因爲5<10，查找左子樹。
2. 因爲4<5<7，因此須要找中間的子樹。
3. 節點值=5，查找結束。

值不存在

查找24。

1. 對比根節點。因爲24>10，查找右子樹。
2. 24>20，繼續查找右子樹。
3. 24>22，查找右子樹。
4. 節點爲空，查找結束，未找到。

節點分裂與合併

在將插入以前，先介紹一下節點分裂與合併。

2-3樹只能存在2節點和3節點，因爲插入的時候會引入4節點，因此咱們須要將其分裂。

節點分裂

好比單個4節點，只需將中間節點往上提，左邊值做爲其左子樹，右邊值做爲其右子樹便可。

節點合併

好比有父節點的4節點，節點分裂後，需與父節點進行合併。若合併後父節點仍是4節點，則繼續分裂，直至知足定義爲止。下圖中6與3合併後，知足條件，無需再進行操做。

2-3樹的插入

插入一個節點後，也要知足2-3樹的定義。咱們須要找到一個適合的位置來插入新的值，可是和二叉樹不一樣的是，它不會生成新的葉子節點來存儲，而是找到合適的葉子節點來進行合併。

可是注意，插入的原則是儘可能保持樹的高度，也就是儘可能不要增長樹的高度。由於樹的高度越小，查找效率會更高。

下面分幾種狀況來講明不一樣的處理狀況。其關鍵字是往上分裂，從下往上生長。

空樹

生成新節點，則其爲根節點。

待插入節點爲2節點

若是不能直接放到空的子節點，則放到父節點中，此時成爲3節點，仍然知足定義。好比咱們在這棵樹中插入12。

1. 首先找到待插入節點9。

   

2. 節點9爲2節點，可直接插入。

待插入節點爲3節點

這種狀況下，稍微會複雜一些，由於涉及到分裂，且跟待插入節點的父節點有關。假定待插入節點爲p，待插入節點的父節點爲pp。

將節點強插到p中，此時p中會有三個值，咱們暫且稱之爲4節點。4節點是不知足2-3樹的定義的，所以須要將4節點中的某個節點往上抽離，與pp進行合併。這時須要考慮pp的類型了。

1. 若pp爲二節點

   將分裂的節點放到pp中，則pp成爲3節點，知足定義。好比咱們在這棵樹中插入13。

1. 找到待插入葉子節點[9,12]

2. 插入13，變成4節點

3. 進行分裂，合併到父節點，插入完成

   

2. 若pp爲三節點

   將分裂的節點放到pp中，則pp成爲了4節點，不知足定義，那麼4-節點須要提出一個值，並向上合併，這時須要從新設置新舊節點的關係。往上合併的過程就是繼續套用這幾種狀況。好的狀況是往上的過程當中遇到了2節點，且平衡，則結束；壞的狀況是一直到根節點，而且根節點是3樹，那麼只好繼續往上分裂出新的根節點，而後處理新節點與其餘節點的關係，此時樹高增長了1。

好比在這顆樹中插入18。

1. 插入18，找到葉子節點插入，成爲4節點

2）向上分裂，將18插入父節點，變成4節點，需繼續分裂

3）根節點成爲3節點，插入結束

以上的插入，樹的高度都沒有變化。下面說一種樹的高度會+1的狀況。

好比在這棵樹中插入32。

1. 找到待插入的節點直接插入32

2. 分裂節點，此時父節點變成4節點，還需分裂

3. 此時根節點爲4節點，需分裂

4. 生成新的根節點，樹的高度加1

2-3樹的刪除

刪除的狀況會複雜一些，下面分幾種狀況來講。

待刪除的值在葉子節點

葉子節點爲3節點

直接刪除便可。以下圖12可直接刪除。

刪除後，3節點成2節點。

葉子節點爲2節點

這裏須要區分臨近兄弟節點的類型。先將節點刪除。

1. 兄弟節點爲3節點 此時被刪除後，節點會爲空。經過向兄弟節點借一個最近的鍵值，而後再調整該節點與父節點的值。

好比在這顆樹中刪除7。

1. 向兄弟節點借最近節點，此時大小關係不知足

2. 調整大小，8，9交換，知足定義

2. 兄弟節點爲2節點，這時須要判斷父節點類型

   a. 父節點爲3節點 此時兄弟節點不夠借，父節點降元，從3節點變成2節點，與兄弟節點合併。

好比從這棵樹中刪除36。

30與18合併，3節點變成2節點，刪除完成

b. 父節點爲2節點 將父節點和兄弟節點合併，造成新的節點，這是把新節點當作當前節點，不斷套用上述幾種狀況進行調整，直至平衡。這種狀況下，若根節點是2節點，樹的高度會減1。

例1 從這顆樹中刪除12

1. 兄弟節點和父節點都爲2節點，進行合併。此時新節點爲[8,9]。

2. 當前節點([8,9])的父節點和兄弟節點都爲2節點，還需進行合併（即節點2,5合併）合併完成以下圖。

   

例2 從這棵樹中刪除30

1. 節點30的父節點和兄弟節點爲2節點，進行合併，此時[22,25]爲新節點。

   

2. 把[22,25]看做當前節點，因爲其兄弟節點爲2節點，父節點爲3節點，套用2.a中的狀況，父節點降元，調整完成。

   

待刪除的值在父節點

將該節點與其前驅或後繼節點交換，而後刪除交換後的葉子節點，此時轉換成上一種狀況的處理。

使用中序遍歷的順序，前驅就是指其前一個節點，後繼是指其後面的一個節點。最直接的定位以下：

• 前驅節點：該節點左子樹最右節點
• 後繼節點：該節點右子樹最左節點

好比下圖，5的前驅是3，後繼是7。

那爲何要用前驅/後繼節點交換呢？

由於，用前驅/後繼節點交換後，才能保持大小順序。後繼節點是右子樹中最小的節點，與父節點交換後，排除待刪除的葉節點，仍保持左子樹<新父節點<右子樹的關係。同理，前驅節點是左子樹中最大的節點，交換後，仍能保持。

這裏咱們使用後繼節點來進行替換。

從這顆樹中刪除節點5。

因爲5的後繼節點是7，先將值進行交換。這時候目的就是刪除葉子節點5，因而能夠轉換成其父節點和兄弟節點都爲2節點的狀況進行調整。

紅黑樹定義

紅黑樹也是一種二叉平衡樹，它知足以下幾個特性（根據算法中的定義）：

1. 根節點是黑色的。
2. 紅連接均爲左連接。
3. 從任一節點到其可達葉子節點，通過的黑色節點數量同樣（黑平衡）。
4. 沒有任何一個節點同時與兩個紅連接相連。

這個定義可能跟咱們日常看到的不太同樣，因爲是以2-3樹來理解紅黑樹，定義紅鏈在左邊，這樣才能跟2-3樹徹底對應上。

紅黑樹與AVL

AVL是一種極度平衡的二叉樹，那爲何不用AVL呢？由於AVL插入刪除要保持平衡，相比紅黑樹要慢一些，須要左旋右旋等等。但實際上它的旋轉也只是幾個場景的套用，哪些場景須要怎麼旋轉，理解就好了。

而紅黑樹是近似平衡的（黑平衡），也就是說它不像AVL那樣絕對的平衡，因此添加/刪除節點後的平衡操做沒那麼多。

因此對於插入和刪除操做較多的場景，用紅黑樹效率會高一些。

將2-3樹轉換成紅黑樹

主要思想：3節點分裂成2節點。

將3節點的第一個元素，做爲第二個元素的左節點，並用紅色的線鏈接，此時紅色線鏈接的節點就至關於紅色。

將2-3樹按照以上思想轉換後，就獲得了一顆紅黑樹。用這種方式理解是否是簡單多了呢？

同時也有幾個問題值得咱們思考：

1. 爲何紅鏈規定在左邊呢？

   我以爲是前人的一個約定，爲了保持統一，簡化處理，都放在左邊。那都放右邊是否是也能夠呢？

2. 沒有任何一個節點同時與兩個紅連接相連

   由於一個紅鏈表示一個3節點，若是有2個紅鏈相連，則表示爲4節點，不符合2-3樹定義。

3. 根節點爲黑色

   只有3節點的左鏈才爲紅色。根節點沒有父節點，不可能爲紅色。

4. 根節點到葉子節點通過的黑色節點數目相同

   由於2-3樹是完美平衡的。紅黑樹中通過的黑節點數=其層數。

紅黑樹的應用

1. 散列表的衝突處理

   map的實現，底層通常會採用紅黑樹，在節點多的時候效率高。 在節點少的時候，可用鏈表方式。

2. 動態插入、刪除和查詢較多的場景