[轉載]如何清晰的理解算法中的時間複雜度？

做者：蔡先生
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來源：知乎
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算法時間複雜度用來度量算法執行時間的多少，用大O階表示，即T(n)=O(f(n))，其中n爲問題規模，也就是問題的大小。

既然要理解時間複雜度，咱們首先理解術語中的兩個關鍵詞——「算法」和「時間」，理解了它倆就成功一半了。

首先看「算法」，算法是解決特定問題的方法，在計算機領域裏須要將算法用計算機能聽懂的語言描述給它聽，明白以後它才能使用運算能力解決問題。計算機能聽懂的語言，固然是程序代碼了(還需編譯器將代碼翻譯成2進制流)，也就是一系列的指令。

再看「時間」，此處的時間指執行算法消耗的時間，也就是計算機執行前面所說的一系列指令的時間。這個時間受

• 計算機執行每條指令的速度->硬件層面
• 編譯產生的代碼質量->軟件層面
• 算法的好壞(算法使用的策略)
• 問題規模

的影響。在給定軟硬件環境下，其實就是你在本身電腦上寫算法的時候，算法執行時間只受算法自己的好壞和要處理的問題的規模影響。這樣就將4個影響因素減小爲2個，簡化了問題。

既然執行時間受算法好壞和問題規模n的影響，那麼執行時間就是它倆的函數。

那這個函數到是啥樣的呢？

咱們繼續分析，給定問題規模n以後，優秀的算法可能哐哐哐執行幾回就搞定了，通常的算法可能吭哧吭哧執行不少不少次才搞定；當給定算法時，問題規模n很小時，可能執行幾回就搞定，而n很大時，就得執行不少次了。因此算法優劣和問題規模n改變時，執行次數（基本操做數）將改變，因此執行次數就是算法優劣和問題規模n的函數。

到此爲止，咱們得出一個簡單的結論：算法執行時間能夠用執行次數表示。

世界豐富多彩，同一個問題有不一樣的解決辦法，好比餓了，能夠吃米粉也能夠吃包子，能夠一我的吃也能夠一我的吃(hh)。對應算法領域，同一個問題也能夠用不一樣的算法解決，既然這樣，那不一樣的算法之間確定有優劣之分，如何評價呢？

最簡單的評價方法是把兩個算法拉過來比誰解決問題的速度快，誰的執行時間短，誰的執行次數少。

給定算法時，執行次數變爲問題規模n的函數。好比一個算法是a，一個算法是b，問題規模爲n，那麼執行次數分別爲Ca=f(n),Cb=g(n)。如今將比較兩個算法的執行次數的問題轉換爲比較兩個函數f(n)，g(n)的問題。那比較兩個函數的什麼性質呢？固然是比較隨着問題規模n增大，執行次數的增長狀況，也就是f(n)，g(n)的增加狀況。比如讓兩我的吃一百個包子，一我的一小時吃完，一我的一分鐘吃完，明顯一分鐘吃完的那我的能力強，效率高，吃法(算法)更先進(hh)。

要比較兩個函數的增加狀況，最好的辦法是比較函數的一階導，這樣最精確，可是考慮到不少時候只須要大致瞭解算法的優劣就能夠了，因此咱們就直接考察對增加速度影響最大的一項，這一項就是函數的最高階數。爲了說明最高階數對函數增加影響最明顯，咱們看兩幅圖。

圖中4條曲線分別表示4種不一樣的執行次數表達式，從圖中能夠看出，只要最高項的階數相同，4種表達式值受其餘項的影響很小，隨着n增大，幾乎能夠忽略不計，甚至能夠忽略與最高項相乘的常數。

既然能夠只考慮最高項的階數，以簡化問題，達到估算的目的，爲什麼不這樣作呢？

那總得給這種狀況一個恰當的表示方式吧？和其餘領域同樣，還得用符號來表示，這個符號就是大名鼎鼎的大O。

T(n)=O(f(n))

其中，T(n)就是算法的時間複雜度；

f(n)表示執行與算法優劣和問題規模有關的執行數；

O()表示一種運算符號，和+-*/相似。做用就是去除其餘項，包括與最高項相乘的常數，只保留最高項，好比f(n)=2n^2+1,O(f(n))=O(n^2)

好了，咱們已經推導出了時間複雜度的大O表示，應該對算法時間複雜度有個不錯的認識了吧。

最後回顧一下推導過程：

算法執行時間->4種因素影響->去除軟硬件因素，考慮算法優劣和問題規模n兩種因素->算法執行次數->簡化：忽略其餘項->大O表示法表示算法時間複雜度